精品解析：山东省淄博市高青县2025-2026学年 初三下学期期末考试数学试题（五四制）

2025-2026学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是位似图形，位似中心为点．若，且的面积为2，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 5. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 7. 黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图为一个“”形水槽的横截面，外框与内框均为矩形，外框矩形的长为，宽为，内框矩形的面积为，水槽三面厚度相等，设厚度为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在上，且，延长交边于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为______． 12. 如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，是等腰三角形，．若，，则的长为______． 13. 已知，是关于x的方程的两根，则的值为________． 14. 如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 15. 如图，正方形的边长为，对角线交于点，以为边作正方形，设正方形对角线交于点，再以为边作第三个正方形，如此下去，则第个正方形的面积是_____________． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．） 16. 计算与解方程： （1）计算： （2）解方程： 17. 如图，在和中，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 19. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求的度数． 20. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； （2）该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 21. 如图，在矩形中，，动点E在边上，连接，过点A作，垂足为H，交于F． （1）求证：； （2）当时，求的长． 22. 阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；． （1）填空： ； （2）请你仿照小明的方法化简． 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件，是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵ 选项A 中，未知数最高次数为1，是一元一次方程． ∴ A不符合要求． ∵ 选项B 中，含有和两个未知数． ∴ B不符合要求． ∵ 对选项C整理得 ，即 ，未知数最高次数为1． ∴ C不符合要求． ∵ 对选项D整理得 ，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． ∴ D符合要求． 2. 如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平行四边形中，证出有一个直角或对角线相等，即可判定为矩形，据此对选项进行判断． 【详解】解：选项：，无法推出或有直角，故无法证明平行四边形是矩形； 选项：，对角线相等，可证平行四边形是矩形； 选项：，则，可证平行四边形是矩形； 选项：由，则，又，，则，可证平行四边形是矩形． 3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可. 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件就是被开方数大于等于0. 4. 如图，与是位似图形，位似中心为点．若，且的面积为2，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】由位似图形的性质可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点， ∴，， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为． 5. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，求得k的取值范围，再结合各选项中的值即可判断． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 即； ∵选项A中的值，而选项B、C、D中的值均大于2.25， ∴ k的值可能是2． 故选：A． 6. 若，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入等式求出的值，最后根据二次根式的性质计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义要求被开方数为非负数， ∴，解得， 把代入原等式，得， 解得， 根据二次根式的性质，当时，， ∵， ∴． 7. 黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割比的定义，用线段总长乘以可求出线段的长度． 【详解】解：点恰好是线段的黄金分割点，且， ， ， ． 8. 如图为一个“”形水槽的横截面，外框与内框均为矩形，外框矩形的长为，宽为，内框矩形的面积为，水槽三面厚度相等，设厚度为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为内框矩形面积为，根据矩形面积公式，那么可列出关于的方程． 【详解】解：水平方向左右两侧各有厚度，因此内框的水平长度为 ； 竖直方向仅底部有厚度，因此内框的竖直长度为 ； ∵内框矩形面积为， ∴可列方程： ． 9. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在上，且，延长交边于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，，再根据对顶角和正方形的性质证明得，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在菱形中，，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据等边三角形的性质，要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小，即线段长度最小． 【详解】在菱形中，， ， 为等边三角形，， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， 点为的中点， ，， ， 要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小， 当时，为等边三角形， ， ， 则， 即线段长度的最小值为． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简二次根式能够合并，得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据同类二次根式求参数．解题的关键是得到两个最简二次根式是同类二次根式． 12. 如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，是等腰三角形，．若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的边与角的特征是解题关键． 矩形的对角线相等，每个内角都是直角，在直角中，使用勾股定理计算出，结合，计算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 13. 已知，是关于x的方程的两根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则有，，根据根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ． 14. 如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 【答案】5 【解析】 【分析】设，则，证，根据求出，，再证，根据求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∵在点B处反射后为， ∴， ∴， ∴即， 解得，即，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 15. 如图，正方形的边长为，对角线交于点，以为边作正方形，设正方形对角线交于点，再以为边作第三个正方形，如此下去，则第个正方形的面积是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以写出前几个正方形的面积，从而可以发现面积的变化规律，从而可以求得第2026个正方形的面积． 【详解】解：由题意可知，第一个正方形的面积为， 第二个正方形的面积为， 第三个正方形的面积为， ……， 第个正方形的面积为， ∴第个正方形的面积是． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．） 16. 计算与解方程： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后合并同类项即可得到结果； （2）移项后提取公因式分解因式，即可求出方程的解． 【小问1详解】  解： ， ，  ，   ， ； 【小问2详解】 ， 解：         则  或   解得 ，． 17. 如图，在和中，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ∵． ∴， ∴． ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质： （1）根据题意得，根据两角相等即可判定相似； （2）根据面积比等于相似比的平方即可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，且， ∴， ∵， ∴． 18. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）2 （2） 证明：∵关于x的方程， ∴， ∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键； （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． 【小问1详解】 解：将代入方程可得： ，解得： 【小问2详解】 略 19. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 20. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； （2）该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【答案】（1）这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； （2）不能实现目标． 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标． 21. 如图，在矩形中，，动点E在边上，连接，过点A作，垂足为H，交于F． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，利用余角的性质得到，即可证得； （2）根据矩形的性质得到，求出，利用相似三角形的性质得到，代入数值求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握各定理并进行推理论证是解题的关键． 22. 阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；． （1）填空： ； （2）请你仿照小明的方法化简． 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】（1）①45；②； （2）结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解；②由折叠的性质即可求解； （2）根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； （3）证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）略 （3）∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $