精品解析：山东烟台市莱州市2026年夏适应性检测 初三数学试题

2026年夏适应性检测初三数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，26道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共12个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列二次根式的化简，错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（　　） A. B. C. D. 4. 如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 6. 如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. y随x的增大而减小 C. 若矩形的面积为2，则 D. 若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是 8. 已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 9. 菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 10. 如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形面积，则S1、S2的大小关系是（ ） A. S1>S2 B. S1=S2 C. S1<S2 D. 无法确定 11. 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（    ）米． A. 100 B. 110 C. 115 D. 120 12. 如图，在正方形中，以为边作等边，延长，分别交于点E，F，连接、，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本题共8个小题） 13. 已知，则的值是____________． 14. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__. 15. 已知函数是关于的反比例函数，则的值是______． 16. 如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 17. 已知是方程的一个根，则____________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，点A的横坐标为1，点P是x轴正半轴上一点，点B在反比例函数图象上，联结和．如果四边形是矩形，那么k的值是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为______． 22. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集为_________，直接写出以反比例函数与一次函数图象交点横坐标为两根的一元二次方程_________； （3）若点为轴上一点，的面积为10，直接写出点的坐标． 24. 为测量一建筑物的高度，如图，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到建筑物的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和建筑物顶端在一条直线上，此时测得为6米，为4米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）． 25. 某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 26. 如图，在中，，点D在射线上，连接，将绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）当点D落在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是__________，__________； ②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明； （2）当时，若，过点A作交于点N，猜想与的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年夏适应性检测初三数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，26道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共12个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列二次根式的化简，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质分别计算各选项，即可得到错误的选项． 【详解】解：选项A：，故A选项正确； 选项B：，故B选项正确； 选项C：，故C选项正确； 选项D：，故D选项错误． 2. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把常数项移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方，配成完全平方的形式，从而可得答案． 【详解】解：由原方程移项，得， 等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方得，即； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方． 4. 如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了列反比例函数解析式，根据等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，可以得到，即可得到函数解析式．正确进行计算是解题关键． 【详解】解：等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为， ， 与之间的函数关系式为． 故选：C． 5. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故选：A． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 6. 如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据平行线分线段成比例定理得出，解分式方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴线段的长为． 7. 反比例函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. y随x的增大而减小 C. 若矩形的面积为2，则 D. 若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确判断的前提． 根据反比例函数图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于图象在第二象限，因此，所以选项A不符合题意； B．y随x的增大而增大，因此选项B不符合题意； C．由|，而，所以，因此选项C符合题意； D．若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是，因此选项D不符合题意； 故选：C． 8. 已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则进行运算即可． 【详解】解： . 故应选B 9. 菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理，求出一元二次方程的解是解题的关键．先解一元二次方程求出菱形的对角线，再根据菱形对角线垂直且互相平分及勾股定理求解即可． 【详解】解方程得， 或（舍去）， 即另一条对角线长是6， 菱形的一条对角线长为8， 菱形的边长． 故选：D． 10. 如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形面积，则S1、S2的大小关系是（ ） A. S1>S2 B. S1=S2 C. S1<S2 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到PA2=PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB•AB，即可得到S1=S2． 【详解】∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB， ∴PA2=PB•AB， 又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积， ∴S1=PA2，S2=PB•AB， ∴S1=S2． 故选B． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 11. 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（    ）米． A. 100 B. 110 C. 115 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】先利用几何图形的对称性确定关键点的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据上口宽确定点的横坐标，代入解析式求出其纵坐标，该纵坐标即为冷却塔的高度． 【详解】解：由题可知，四边形是矩形，在轴上，轴垂直平分， ∵， 根据对称性可知：， ∴， ∵，且， ∴， 设所在的反比例函数解析式为， 把代入中，得， 解得， ∴所在的反比例函数解析式为， ∵，且图形关于轴对称， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴把代入中，得， ∵所在直线为轴，即地面高度为0， ∴整个冷却塔的高度为110． 12. 如图，在正方形中，以为边作等边，延长，分别交于点E，F，连接、，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由是等边三角形，正方形，可证，得，在中，，即得，判断①正确；由可判断②正确；由可判断④正确；根据， ，可得，判断③正确． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在正方形中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在 中，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴＝， ∵，在中，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴，故③正确； ∴正确的有①②③④， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握相关图形的性质和定理． 二、填空题（本题共8个小题） 13. 已知，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 14. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__. 【答案】x≥-1且x≠0 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，同时结合分式的分母不能为0，即可求x的取值范围． 【详解】由题意得， 解得x≥-1且x≠0， 故答案为：x≥-1且x≠0 【点睛】本题主要考查了二次根式的意义和性质，解答本题的关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，分式的分母不能为0，否则二次根式、分式无意义 15. 已知函数是关于的反比例函数，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，根据反比例函数的定义可得，然后求解即可，解题的关键是熟记反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数． 【详解】∵函数是关于的反比例函数， ∴，解得：， 故答案为：． 16. 如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】证明，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 17. 已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【解析】 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式​中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式：  ∵， 代入分式部分：  ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式：  ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，点A的横坐标为1，点P是x轴正半轴上一点，点B在反比例函数图象上，联结和．如果四边形是矩形，那么k的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】当，，即，如图，联结交于，过作于，则，，是中点，在中，由勾股定理求的值，证明，则，求的值，进而可得的点坐标，将点坐标代入反比例函数解析式求解值即可． 【详解】解：当，，即， 如图，联结交于，过作于， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴是中点， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴，， ∴， 将代入得，，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）先进行乘除和乘方运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘除法运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用求根公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： ， 移项得： 提公因式得：， 整理得：， 可得：或， 解得：； 【小问2详解】 解：。 整理得：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，． 21. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为______． 【答案】（1）见解析； （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查位似图形及位似变换； （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 【小问1详解】 解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； 【小问3详解】 解：∵的内部一点M的坐标为， 由（2）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 22. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 【答案】（1）k≤3；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集为_________，直接写出以反比例函数与一次函数图象交点横坐标为两根的一元二次方程_________； （3）若点为轴上一点，的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】（1）y，y＝x＋1； （2）或； （3）P的坐标是或 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的图象经过，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，进而求得的坐标，根据、点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据、的坐标，结合图象即可求得； （3）对于一次函数，令，求出点C的坐标，设，表示出的长，根据列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ∴，即 ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得，不等式的解集为或． 以，2为根的一元二次方程可以为，即． 【小问3详解】 解：对于一次函数，令，则，解得， ∴， ∵点为轴上一点， ∴设，则， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标是或． 24. 为测量一建筑物的高度，如图，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到建筑物的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和建筑物顶端在一条直线上，此时测得为6米，为4米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）． 【答案】10米 【解析】 【分析】可证，从而可得，设米，可求，再证，可得，即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ，， ， ， ， 设米， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， 答：建筑物的高度为10米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，理解题意，掌握判定方法及性质是解题的关键． 25. 某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】（1）通道的宽是2米 （2）40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【小问1详解】 解：设通道的宽是米， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米． 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得，， 解得：，， 又能优惠大众， ， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元． 26. 如图，在中，，点D在射线上，连接，将绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）当点D落在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是__________，__________； ②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明； （2）当时，若，过点A作交于点N，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）①，； ②，理由如下： ， ， 将绕着点D逆时针旋转，得到 ， ， ， ； （2）或 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）①由可证可得，即可求解； ②通过证明，可得，即可求解； （2）分两种情况讨论，由股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 ①，， ， 是等边三角形， ， 将绕点D逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ； 故答案为：，； ②略 【小问2详解】 如图，当点D在线段上时， ， ， ， ， 设，则，，， ， ， ， 如图，当点D在线段的延长线上时 ， ， ， 设，则，，， ， ， ， ； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $