第09讲整式 2026-2027学年人教版七年级数学上册暑假预习讲义（知识点+题型精讲）

第09讲 整式 目录 知识点1 单项式的概念 2 知识点2 单项式的系数与次数 2 知识点3 多项式的概念及相关定义 2 知识点4 整式的概念 2 知识点5 多项式升幂与降幂排列 3 题型1 单项式的判断 3 题型2 单项式的系数、次数 5 题型3 写出满足某些特征的单项式 6 题型4 单项式规律题 8 题型5 多项式的判断 10 题型6 多项式的项、项数或次数 12 题型7 多项式系数、指数中字母求值 14 题型8 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 16 题型9 整式的判断 17 1. 知识目标：理解单项式、多项式、整式的核心定义，熟练掌握单项式系数、次数，多项式的项、项数、次数等基础概念，明晰三者的包含关系。 2. 能力目标：能精准判断单项式、多项式与整式，熟练求解各类整式的系数、次数；掌握整式升降幂排列方法，会解决整式规律题、含参数求值题型。 3. 素养目标：建立代数式符号意识，培养分类辨析、归纳推理能力，养成严谨规范的数学审题和解题习惯，为整式加减运算筑牢基础。 知识点1 单项式的概念 由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 核心判定规则：式子中不含加减运算、分母不含字母、根号内不含字母，纯乘积结构为单项式。 示例： 是单项式； 不是单项式。 知识点2 单项式的系数与次数 1. 系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，包含前面的符号。单独字母系数为1或-1。 2. 次数：单项式中所有字母的指数和，只算字母指数，常数不计入次数。 示例： 系数为-2，次数为3；单独数字5是常数单项式，次数为0。 知识点3 多项式的概念及相关定义 几个单项式的和叫做多项式。 1. 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，包含项前符号；不含字母的项叫做常数项。 2. 项数：多项式中单项式的个数即为项数。 3. 次数：多项式中次数最高的项的次数，就是多项式的次数。 知识点4 整式的概念 单项式和多项式统称为整式。 核心判定：分母不含字母、根号不含字母的有理代数式即为整式，分式、根式代数式不属于整式。 知识点5 多项式升幂与降幂排列 1. 降幂排列：把多项式按某个字母的指数从大到小排列； 2. 升幂排列：把多项式按某个字母的指数从小到大排列； 3. 排列规则：移动项时必须连带项前符号，只调整顺序，不改变式子本身。 题型1 单项式的判断 解题技巧（四步法）：1. 看运算：无加减运算，仅为数与字母的乘积；2. 看分母：分母绝对不含字母；3. 看形式：单独数字、单独字母均为单项式；4. 快速排除：含加号、减号、分母含字母、根号含字母的式子直接排除。 高频易错： 是常数，含的纯乘积式子属于单项式；是单项式，不是。 【典例1】．下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 【变式1】．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 【变式2】．下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ 【分析】明确是常数. 利用单项式的定义逐一判断即可. 【详解】解：由单项式的定义可知，数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式. ①是数与字母的积，属于单项式； ②可化为，是多项式，不属于单项式； ③是与的积，属于单项式； ④0是单独的一个数，属于单项式； ⑤是常数，不是字母，因此是与的积，属于单项式. 【变式3】．下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9）中，则其中单项式有___________个 【答案】3 【分析】本题考查单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．由单项式的概念，即可判断． 【详解】解：代数式（1）是数字与字母的积，是单项式； （2）是单独字母，是单项式； （3）是单独数字，是单项式； （4）分母有字母，是分式； （5）是多项式； （6）是多项式； （7）分母有字母，是分式； （8）是多项式； （9）分母有字母，是分式； 故单项式有3个； 故答案为：3． 题型2 单项式的系数、次数 解题技巧：1. 找系数：提取全部数字因数，包含正负号，带分数化为假分数，算作常数系数；2. 找次数：累加所有字母的指数，常数、不计次数；3. 特殊处理：单独字母a系数为1，-a系数为-1，切勿遗漏或多写；4. 常数单项式次数固定为0。 易错点：只看数字不看符号、重复计算常数指数、忽略为常数。 【典例2】．下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 【答案】B 【分析】根据单项式的系数、次数，同类项，多项式的项、次数的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A，单项式的系数为，次数为，选项说法错误； B，和所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正确； C，多项式的最高次项次数为，共项，该多项式是三次三项式，选项说法错误； D，多项式 的项是，和，选项说法错误． 【变式1】．单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据单项式次数的定义，计算单项式中所有字母的指数和即可得到答案． 【详解】解：根据定义，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， ∵单项式中，字母的指数为，字母的指数为， ∴该单项式的次数为． 【变式2】．a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【答案】 3 【分析】根据单项式系数与次数的定义，确定单项式的数字因数得到系数，计算所有字母的指数和得到次数． 【详解】解：单项式，其数字因数为，因此系数为； 字母的指数为，字母的指数为，所有字母指数和为 ，因此次数为． 【变式3】．单项式的系数是________． 【答案】 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此可得答案． 【详解】解：原单项式可改写为，其中数字因数为， 故系数是． 题型3 写出满足某些特征的单项式 解题技巧：按条件分步构造，精准匹配要求。1. 先定次数：根据题干总次数，拆分各字母指数和；2. 再定系数：满足正负、数值、整数等限制条件；3. 匹配字母：严格按照题干指定字母构造，不新增多余字母；4. 快速校验：写完后核对系数、次数、字母完全符合题干要求。 常用套路：给定次数，优先均分指数，调整单个字母指数即可。 【典例3】．一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数和． 【详解】解：A选项：系数为2，次数为，不符合要求； B选项：系数为3，次数为2，不符合要求； C选项：系数为，次数为，符合要求； D选项：系数为，次数为1，不符合要求． 【变式1】．已知一个单项式的系数是，次数是，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、的系数为，次数为，不符合题意； 、的系数为，次数为，符合题意； 、是多项式，不是单项式，不符合题意； 、是多项式，不是单项式，不符合题意； 故选：． 【变式2】．请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 【详解】解：符合题意的单项式可以是或． 【变式3】．请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只要写出的单项式只含有字母，并且所有字母的指数和为即可． 【详解】解：∵只含的三次单项式， ∴只需满足和的指数和为，且系数不为即可， 例如中，指数为，指数为，指数和，符合要求． 题型4 单项式规律题 解题技巧（三步归纳法）：1. 分三部分观察：符号规律、系数绝对值规律、字母指数规律；2. 符号循环：正负交替用或表示；3. 系数规律：等差、等比、平方数列单独归纳；4. 指数规律：多为依次递增1的等差规律；5. 整合三部分，写出第n个单项式，代入前3项验证。 【典例4】．一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从系数、的次数两个部分分析规律，整合后即可得到第个代数式． 【详解】解：由题可知，系数分别是1，，，，，， 即第1项系数为1，第2项系数为，第3项系数为，第4项系数为，第5项系数为， 则系数规律为； 的次数分别是，，，，，， 即第1项次数为，第2项次数为，第3项次数为，第4项次数为，第5项次数为， 则的次数规律为； 第个代数式为． 【变式1】．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别归纳系数和的指数与项数的关系，得到第个代数式的通式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 第1个系数为， 第2个系数为， 第3个系数为， ∴第个代数式的系数为， 又∵第1个中的指数为， 第2个中的指数为， 第3个中的指数为， ∴可得第个代数式中的指数为， ∴第个代数式为， 将代入得：系数为，的指数为， 因此第2026个代数式为． 【变式2】．观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】/ 【分析】观察发现，奇数项为正，偶数项为负，分母为连续奇数，分子为连续偶数，x的指数为连续自然数，则式子规律可表示为（n为正整数），即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， …， 第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 【变式3】．一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第20个单项式是________． 【答案】 【分析】分别从系数的符号、系数的绝对值、的指数三个方面，找出单项式随项数变化的规律，再将项数代入规律计算即可. 【详解】解：观察这列单项式：，，，，，，，， 可得第个单项式的规律：系数的符号：奇数项为正，偶数项为负，可表示为； 系数的绝对值：是从开始的连续奇数，可表示为； 的指数：等于项数，可表示为； 因此第个单项式可写为， 将代入得：. 题型5 多项式的判断 解题技巧：1. 基础前提：所有项均为单项式；2. 结构判定：由两个及以上单项式相加/减组成；3. 排除条件：分母含字母、根号含字母的式子一定不是多项式；4. 核心区分：有加减不一定是多项式，必须每一项都是整式单项式。 【典例5】．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 【变式1】．下列说法正确的是（  ） A．的系数是 B．多项式中二次项的系数是3 C．单项式的系数是，次数是4 D．多项式是三次二项式 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数、次数以及多项式的项、次数的定义．关键要点：单项式的系数是单项式中的数字因数(包含等常数)，次数是所有字母的指数和；多项式的次数是次数最高的项的次数，项数是多项式中单项式的个数，注意项的符号不能忽略． 【详解】解：的系数是，而非，故A错误； 多项式中的二次项是，其系数是，而非3，故B错误； 单项式的数字因数是，即系数为；次数为，故C正确； 多项式包含、、2三项，次数最高的项是，次数为，所以是三次三项式，而非三次二项式，故D错误； 故选：C． 【变式2】．已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有__；属于多项式的有__．（填序号） 【答案】 ①②⑨ ③⑤⑥ 【详解】解：其中属于单项式的有①0，②，⑨； 属于多项式的有③，⑤，⑥． 【变式3】．式子 ，，，，，中，多项式有___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的定义，根据多项式的定义，分母中不含变量且变量指数为非负整数的代数式为多项式，逐个判断给定式子即可，熟练掌握多项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：式子可化为，分母为常数，故为多项式； 中系数为字母，非常数，为单项式，故不是多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式， 因此多项式有，，，共3个， 故答案为：3． 题型6 多项式的项、项数或次数 解题技巧：1. 找项：拆分所有单项式，连带前面符号，不漏项、不丢符号；2. 数项数：统计拆分后单项式的总个数，包含常数项；3. 定次数：逐一计算每一项的次数，取最大值作为多项式次数；4. 命名规范：几次几项式，先读次数、后读项数。 易错点：忽略负项符号、误将常数项计算次数、混淆最高次项。 【典例6】．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 【答案】B 【详解】解：A、是二次三项式，原说法正确，不符合要求； B、的次数是4，原说法错误，符合要求； C、的系数是，原说法正确，不符合要求； D、的常数项是，原说法正确，不符合要求． 【变式1】．下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是多项式中单项式的个数，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、多项式有三项，且次数最高的项的次数为2，，是二次三项式，不符合题意； B、多项式有四项，且次数最高的项的次数为3，，是三次四项式，不符合题意； C、多项式有两项，且次数最高的项的次数为4，是四次二项式，不符合题意； D、多项式有三项，且次数最高的项的次数为4，是四次三项式，符合题意； 【变式2】．中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 【答案】3780 【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，标有“元”的为一次项，故图2中最上方一行表示二次项系数，结合算筹记数规则（个位纵、十位横、百位纵、千位横）解读数值即可． 【详解】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下， 图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项， 图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位， 千位为横式，表示，百位为纵式，表示，十位为横式（参考图1中千位的表示），表示，个位为，表示，该多项式的二次项系数为． 【变式3】．整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【分析】根据多项式中单项式的个数为项数，最高次项的次数为多项式的次数分析求解即可． 【详解】解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 题型7 多项式系数、指数中字母求值 解题技巧：利用定义列等式求解参数。1. 根据“几次几项式、不含某一项、最高次项”等条件列方程；2. 不含某一项：对应项的系数等于0；3. 固定次数：最高次项指数等于题干给定次数；4. 求解参数后回代验证，确保多项式类型、次数符合题意。 【典例7】．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 【变式1】．已知整式，其中为自然数，，其中为正整数，，，，均为整数，若，下列说法没有满足条件的单项式；时，有最小值；所有满足条件的整式有个．正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】先根据条件列举所有可能的n和系数组合，再逐一验证三个说法即可． 【详解】解：∵，，为自然数，为正整数， ∴取1，2，3，6， 若是单项式，则除最高次项外其余系数均为0，乘积， 因此没有满足条件的单项式，①正确． 当时，， ∴， 所有满足的有：或或， 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 当时，，最小值为， ∴时，有最小值为，正确； 枚举所有满足条件的整式： 时，，满足条件的整式有，，共个； 时，由得：满足条件的整式有个； 时，，即，满足条件的整式有，，，共个； 时，，即，满足条件的整式有，，，，共个， 总共有个，错误． 综上，正确的说法有个． 【变式2】．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 【变式3】．若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数的定义可得，根据多项式的项数的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式有三项且次数是3， ∴， ∴， 故答案为：1． 题型8 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 解题技巧：1. 锁定目标字母：只看指定字母的指数，忽略其他字母；2. 降幂：指数从大到小排列，升幂：指数从小到大排列；3. 移项规则：每一项必须连带前方符号整体移动；4. 常数项处理：降幂排在最后，升幂排在最前；5. 排列后不增项、不减项、不改变原式符号。 【典例8】．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 【变式1】．多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式按某一字母降幂排列的定义，即把多项式各项按该字母的指数从大到小的顺序排列，不含该字母的项放在最后． 【详解】解：∵多项式按字母a的降幂排列是指将各项按a的指数从大到小排列，不含a的项排在末尾， 又∵各项中a的指数分别为：中不含字母a，中a的指数为3，中a的指数为2，中a的指数为1， ∴按a的降幂排列为：， 故选：D． 【变式2】．将多项式按字母降幂排列得_____________． 【答案】 【详解】解：将多项式按字母降幂排列得． 【变式3】．把多项式按字母的降幂排列是：_____． 【答案】 【分析】先确定多项式各项中字母的指数，再按照的指数从大到小的顺序重新排列各项即可. 【详解】解：原多项式的各项分别为，，，， 各项中的指数依次为，，，， 按字母的降幂排列得： 题型9 整式的判断 解题技巧（秒杀判定法）：1. 整式包含单项式、多项式两类；2. 核心禁忌：分母含字母、根号内含字母的式子，一律不是整式；3. 快速筛选：无分母字母、无根式字母的有理代数式，直接判定为整式；4. 区分易错：是整式，不是整式。 【典例9】．下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】只需逐一判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可． 【详解】我们逐个判断每个说法： ① 根据整式的定义，单项式与多项式统称为整式，故①说法正确； ② 单项式的数字因数为，因此它的系数是，故②说法正确； ③ 多项式中，最高次项的次数为，该多项式共有个项，因此是二次三项式，故③说法正确； ④ 的次数是，不是，故④说法错误； ⑤ 多项式的项为，，，故⑤说法错误； 综上，故选：C． 【变式1】．已知整式，其中为自然数，，其中为正整数，均为整数，若，下列说法正确的个数有（   ） ①没有满足条件的单项式；②时，有最小值为；③所有满足条件的整式有10个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】先根据条件列举所有可能的n和系数组合，再逐一验证三个说法即可． 【详解】解：∵，，为自然数，为正整数， ∴取1，2，3，6， ①若是单项式，则除最高次项外其余系数均为0，乘积， 因此没有满足条件的单项式，①正确． ②当时，， ∴， 所有满足的有：或或， 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 当时，，最小值为， ∴时，有最小值为，②正确； ③枚举所有满足条件的整式： 时，，满足条件的整式有，，共2个； 时，由②得：满足条件的整式有3个； 时，，即，满足条件的整式有，，，共3个； 时，，即，满足条件的整式有，，，，共4个， 总共有个，③错误． 综上，正确的说法有2个． 【变式2】．下列各式中，哪些是整式？①；②；③；④；⑤0；⑥ 【答案】①④⑤⑥ 【分析】本题考查了整式的定义，解题的关键是明确整式是单项式和多项式的统称，分母中含字母、根号下含字母的式子不是整式． 根据整式定义，判断各式：分母含字母的式子不是整式；根号下含字母的式子不是整式；单项式和多项式是整式． 【详解】解：①是多项式，属于整式； ②分母含字母，不是整式； ③根号下含字母，不是整式； ④是多项式，属于整式； ⑤是单项式，属于整式； ⑥是多项式，属于整式； 故整式是①④⑤⑥． 【变式3】．代数式，，，，，，中，整式共有___________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握“整式是分母中不含字母的代数式（包括单项式和多项式）”是解题的关键．根据整式的定义，判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数． 【详解】解：，，，，是整式，，不是整式， 整式共个． 故答案为：． 1．下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【答案】C 【详解】解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式，因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数，因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为，因此一次项的系数为，D错误． 2．下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式是数与字母的积组成的代数式，单项式的次数为所有字母的指数和，根据定义计算各选项即可判断． 【详解】解：A、的次数为 ，是六次单项式，不符合要求； B、 的次数为 ，是三次单项式，不符合要求； C、的次数为 ，是五次单项式，符合要求； D、不是单项式，不符合要求． 3．按一定规律排列的单项式：，，，，，，，则第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由给出的单项式得出规律： 根号下被开方数满足，单项式的符号满足， 则第n个单项式是． 4．一个同时含有字母a，b，c，且系数为的五次单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数，次数的概念，关键是掌握：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；进而问题可求解． 【详解】解：一个同时含有字母，，，且系数为的5次单项式有，，，，，，共有6个． 故选：A． 5．下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法即可． 【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 6．下列说法错误的是（    ） A．由数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式． B．几个单项式的和叫做多项式． C．单项式与多项式统称整式． D．一个数字不是一个单项式，它的次数是0． 【答案】D 【分析】根据单项式、多项式、整式的定义辨析各选项的正误． 【详解】A．由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，因为单独一个数或一个字母可以看作数与字母乘积的特殊形式（如，），故该选项不符合题意； B．几个单项式的和叫做多项式，该说法符合定义，不符合题意； C．单项式与多项式统称整式，该说法符合定义，不符合题意； D．单独的一个数字是单项式，它的次数是0，故本选项说说法错误，符合题意． 7．下列说法正确的是  （    ） A．是多项式 B．的次数是 C．的常数项为 D．的系数是 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式与单项式，根据多项式、单项式的次数、常数项、系数的定义，逐一分析各选项的正误，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、，是两个单项式的和，符合多项式的定义，故该选项正确，符合题意； 、由单项式的次数是所有字母指数的和，中字母的指数为，的指数为，次数为，故该选项错误，不符合题意； 、多项式的常数项是不含字母的项，即，故该选项错误，不符合题意； 、单项式的系数是数字因数，即，故该选项错误，不符合题意； 故选：． 8．已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的多项式的定义，根据题意令的系数为即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的多项式不含项， ∴ 解得： 故选：D． 9．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数概念，需满足各项次数为非负整数且最高次为3，根据题意确定n的值，再计算代数式的值即可 【详解】解：∵ 多项式是关于x的三次多项式， ∴ 各项次数为非负整数，且最高次数为3. ∴时，解得，此时多项式为不符合题意； 时，解得，此时多项式为符合题意； ∴， 故选D． 10．已知整式，其中n，为正整数，，，…，，每个数只能取1，0，中的一个，且． 下列说法： ①当时，满足条件的整式M有：，，； ②当时，满足条件的整式M共有8种； ③若，且当时，；则． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的相关知识，理解题意，并运用分类讨论的思想是解题的关键．根据每个说法所给的条件，结合题意，分类讨论整式的系数的可能取值，即可解答． 【详解】解：当时，整式， ∵， ∴，即， 又∵为正整数，每个数只能取1，0，中的一个， ∴符合题意的有：；；， ∴满足条件的整式有：，，；故①正确； 当时，整式， ∵， ∴，即， ∵为正整数，且，每个数只能取1，0，中的一个， ∴符合题意的有：；；；；；；；， ∴符合题意的整式M共有8种，故②正确； ∵，时，， ∴，即 又∵，，…，，每个数只能取1，0，中的一个， ∴，故③错误； 综上，正确的说法有2个． 故选：C． 11．；；；；；；0；其中单项式有________个，多项式有________个． 【答案】 4 3 【分析】由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式． 【详解】解：其中单项式有，，，0，共4个； 多项式有，，，共3个． 12．我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____． 【答案】 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此即可解答． 【详解】解：由是常数，在单项式中，字母为，数字因数为，即的系数是． 13．若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据单项式系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，即可写出符合要求的单项式. 【详解】解：由题意可知，单项式的系数为，次数为，即，的指数之和为； 故单项式可以为（答案不唯一） 14．有一组单项式：，，，···，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第20个单项式为_______________． 【答案】 【分析】本题考查单项式规律问题，通过观察找出该组单项式系数、字母次数的变化规律，利用规律求解． 【详解】解：由题意知，第n个单项式为， 所以第20个单项式为，即， 故答案为：． 15．已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，多项式的项、项数或次数，多项式系数、指数中字母求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次三项式的定义，最高次项次数为且项数为，因此需满足且，以此求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴最高次项指数， 解得：或， ∵第二项系数， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先根据多项式是六次三项式确定的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． 17．已知多项式． (1)若，求的值． (2)若多项式的值与字母的值无关，求的值， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减，合并同类项，进行化简代数式，即可． （1）先根据非负性，求出，；再将多项式化简为，最后把，的值代入计算即可； （2）将多项式化简为，再根据多项式的值与字母的值无关，即可计算出的值． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴，， ∵， ∴当，时，； （2）解：由（1）得：， ∵的值与字母的值无关， ∴， ∴． 18．观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律． （1）根据题意得到所给单项式的系数，字母的指数的规律，即可求解； （2）由（1）中规律解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为，即， ∴第个单项式的系数为， ∵单项式中字母的指数依次为， ∴第个单项式中字母的指数为， ∴第个单项式为， 当时，， ∴第9个单项式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得：第9个单项式为， ∴第10个单项式为， 当时： 第9个单项式： ， 第10个单项式： ， ∴第9个单项式与第10个单项式和的值为． 19．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查多项式的定义和有理数的乘方运算，理解题目中的特殊值法是解题关键． （1）代入x的值，计算即可； （2）观察式子可知，每一项的系数均为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可； （3）观察式子可知，当的为奇数时，系数为，为偶数时，系数为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：取，则； （3）解：取，则． 20．对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）由题意可知，，根据新运算法则，先求，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）根据题意可知，，， ， ． 21．在学习了有理数的运算和代数式后，数学活动小组的同学们在研究下列等式时，发现了这些等式有规律，于是开展了如下探究活动： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： (1)请写出第个等式：___________； (2)直接用字母表示第n个等式的结果为：___________； (3)郑州地铁1号线的数轴上，点A表示“郑州火车站”，其数为多项式的一次项系数，点B表示“二七广场站”，其数为该多项式的常数项．地铁巡检机器人P从点A出发，沿数轴来回移动，移动的规律是：第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度当地铁巡检机器人P按此规律移动次时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类的规律探索，数轴上两点间的距离，多项式的项的定义，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律是解题的关键． （1）仿照题意写出第8个等式即可； （2）分别得出等式左右两边的规律即可得出等式； （3）根据多项式的项的定义得到点、表示的数，根据点移动的规律可知，点移动n次后表示的数为，据此求出点P表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第8个等式为； （2）解：由题意得，第个等式为； 故答案为：； （3）解：多项式的一次项系数是，常数项是， 点表示的数是，点表示的数是， 点第次移动后表示的数为：； 点第次移动后表示的数为：； 点第次移动后表示的数为：； ， 根据点移动的规律可知，点第次移动后表示的数为：； 当时，点移动后表示的数为， ， ， ． 22．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)① (2) (3)不一定是，理由见解析 【分析】本题考查了多项式的系数，整数倍的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． （1）根据“雅系多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； 故属于“雅系多项式”的是①， 故答案为：①； （2）解：∵关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）解：不是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“雅系多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， 当，时，， 此时， 则，不是整数， ∴不一定是的整数倍， ∴多项式不一定是关于x，y的“雅系多项式”． 23．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． (1) ， ， ； (2)在点，之间是否存在一点，使得点到的距离是点到的距离的2倍，若存在，求点在数轴上对应的数，若不存在，请说明理由； (3)点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向左运动，点先以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点到达原点后，立即以原速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求在运动过程中，的最大值． 【答案】(1)，，6 (2)存在，点在数轴上对应的数为 (3)20 【分析】（1）利用多项式的定义，即可求出，，的值； （2）存在，设点在数轴上对应的数是，根据点到的距离是点到的距离的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设运动时间为秒，分为及两种情况考虑．当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，利用数轴上两点间的距离的定义，可得出，，将其代入中，可得出，结合，可得出；当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，利用数轴上两点间的距离的定义，可得出，，将其代入中，可得出，综上，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是， ∴，，． 故答案为：，，6； （2）解：存在，理由如下： 设点在数轴上对应的数是， 根据题意得：， 解得：． ∴存在，点在数轴上对应的数为； （3）解：点C到原点的时间为秒， 设运动时间为秒， 当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴； 当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴， 综上所述，在运动过程中，的最大值为20． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，多项式的系数的概念以及列代数式，解题的关键是用代数式表示出点的位置以及线段长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 整式 目录 知识点1 单项式的概念 2 知识点2 单项式的系数与次数 2 知识点3 多项式的概念及相关定义 2 知识点4 整式的概念 2 知识点5 多项式升幂与降幂排列 3 题型1 单项式的判断 3 题型2 单项式的系数、次数 5 题型3 写出满足某些特征的单项式 6 题型4 单项式规律题 8 题型5 多项式的判断 10 题型6 多项式的项、项数或次数 12 题型7 多项式系数、指数中字母求值 14 题型8 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 16 题型9 整式的判断 17 1. 知识目标：理解单项式、多项式、整式的核心定义，熟练掌握单项式系数、次数，多项式的项、项数、次数等基础概念，明晰三者的包含关系。 2. 能力目标：能精准判断单项式、多项式与整式，熟练求解各类整式的系数、次数；掌握整式升降幂排列方法，会解决整式规律题、含参数求值题型。 3. 素养目标：建立代数式符号意识，培养分类辨析、归纳推理能力，养成严谨规范的数学审题和解题习惯，为整式加减运算筑牢基础。 知识点1 单项式的概念 由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 核心判定规则：式子中不含加减运算、分母不含字母、根号内不含字母，纯乘积结构为单项式。 示例： 是单项式； 不是单项式。 知识点2 单项式的系数与次数 1. 系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，包含前面的符号。单独字母系数为1或-1。 2. 次数：单项式中所有字母的指数和，只算字母指数，常数不计入次数。 示例： 系数为-2，次数为3；单独数字5是常数单项式，次数为0。 知识点3 多项式的概念及相关定义 几个单项式的和叫做多项式。 1. 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，包含项前符号；不含字母的项叫做常数项。 2. 项数：多项式中单项式的个数即为项数。 3. 次数：多项式中次数最高的项的次数，就是多项式的次数。 知识点4 整式的概念 单项式和多项式统称为整式。 核心判定：分母不含字母、根号不含字母的有理代数式即为整式，分式、根式代数式不属于整式。 知识点5 多项式升幂与降幂排列 1. 降幂排列：把多项式按某个字母的指数从大到小排列； 2. 升幂排列：把多项式按某个字母的指数从小到大排列； 3. 排列规则：移动项时必须连带项前符号，只调整顺序，不改变式子本身。 题型1 单项式的判断 解题技巧（四步法）：1. 看运算：无加减运算，仅为数与字母的乘积；2. 看分母：分母绝对不含字母；3. 看形式：单独数字、单独字母均为单项式；4. 快速排除：含加号、减号、分母含字母、根号含字母的式子直接排除。 高频易错： 是常数，含的纯乘积式子属于单项式；是单项式，不是。 【典例1】．下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【变式1】．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 【变式3】．下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9）中，则其中单项式有___________个 题型2 单项式的系数、次数 解题技巧：1. 找系数：提取全部数字因数，包含正负号，带分数化为假分数，算作常数系数；2. 找次数：累加所有字母的指数，常数、不计次数；3. 特殊处理：单独字母a系数为1，-a系数为-1，切勿遗漏或多写；4. 常数单项式次数固定为0。 易错点：只看数字不看符号、重复计算常数指数、忽略为常数。 【典例2】．下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 【变式1】．单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 【变式2】．a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【变式3】．单项式的系数是________． 题型3 写出满足某些特征的单项式 解题技巧：按条件分步构造，精准匹配要求。1. 先定次数：根据题干总次数，拆分各字母指数和；2. 再定系数：满足正负、数值、整数等限制条件；3. 匹配字母：严格按照题干指定字母构造，不新增多余字母；4. 快速校验：写完后核对系数、次数、字母完全符合题干要求。 常用套路：给定次数，优先均分指数，调整单个字母指数即可。 【典例3】．一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知一个单项式的系数是，次数是，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【变式3】．请写出一个只含字母的三次单项式：________． 题型4 单项式规律题 解题技巧（三步归纳法）：1. 分三部分观察：符号规律、系数绝对值规律、字母指数规律；2. 符号循环：正负交替用或表示；3. 系数规律：等差、等比、平方数列单独归纳；4. 指数规律：多为依次递增1的等差规律；5. 整合三部分，写出第n个单项式，代入前3项验证。 【典例4】．一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【变式3】．一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第20个单项式是________． 题型5 多项式的判断 解题技巧：1. 基础前提：所有项均为单项式；2. 结构判定：由两个及以上单项式相加/减组成；3. 排除条件：分母含字母、根号含字母的式子一定不是多项式；4. 核心区分：有加减不一定是多项式，必须每一项都是整式单项式。 【典例5】．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【变式1】．下列说法正确的是（  ） A．的系数是 B．多项式中二次项的系数是3 C．单项式的系数是，次数是4 D．多项式是三次二项式 【变式2】．已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有__；属于多项式的有__．（填序号） 【变式3】．式子 ，，，，，中，多项式有___________个． 题型6 多项式的项、项数或次数 解题技巧：1. 找项：拆分所有单项式，连带前面符号，不漏项、不丢符号；2. 数项数：统计拆分后单项式的总个数，包含常数项；3. 定次数：逐一计算每一项的次数，取最大值作为多项式次数；4. 命名规范：几次几项式，先读次数、后读项数。 易错点：忽略负项符号、误将常数项计算次数、混淆最高次项。 【典例6】．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 【变式1】．下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 【变式3】．整式是________次________项式． 题型7 多项式系数、指数中字母求值 解题技巧：利用定义列等式求解参数。1. 根据“几次几项式、不含某一项、最高次项”等条件列方程；2. 不含某一项：对应项的系数等于0；3. 固定次数：最高次项指数等于题干给定次数；4. 求解参数后回代验证，确保多项式类型、次数符合题意。 【典例7】．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【变式1】．已知整式，其中为自然数，，其中为正整数，，，，均为整数，若，下列说法没有满足条件的单项式；时，有最小值；所有满足条件的整式有个．正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【变式3】．若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 题型8 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 解题技巧：1. 锁定目标字母：只看指定字母的指数，忽略其他字母；2. 降幂：指数从大到小排列，升幂：指数从小到大排列；3. 移项规则：每一项必须连带前方符号整体移动；4. 常数项处理：降幂排在最后，升幂排在最前；5. 排列后不增项、不减项、不改变原式符号。 【典例8】．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．将多项式按字母降幂排列得_____________． 【变式3】．把多项式按字母的降幂排列是：_____． 题型9 整式的判断 解题技巧（秒杀判定法）：1. 整式包含单项式、多项式两类；2. 核心禁忌：分母含字母、根号内含字母的式子，一律不是整式；3. 快速筛选：无分母字母、无根式字母的有理代数式，直接判定为整式；4. 区分易错：是整式，不是整式。 【典例9】．下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．已知整式，其中为自然数，，其中为正整数，均为整数，若，下列说法正确的个数有（   ） ①没有满足条件的单项式；②时，有最小值为；③所有满足条件的整式有10个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】．下列各式中，哪些是整式？①；②；③；④；⑤0；⑥ 【变式3】．代数式，，，，，，中，整式共有___________个． 1．下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 2．下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的单项式：，，，，，，，则第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 4．一个同时含有字母a，b，c，且系数为的五次单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．不能确定 5．下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 6．下列说法错误的是（    ） A．由数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式． B．几个单项式的和叫做多项式． C．单项式与多项式统称整式． D．一个数字不是一个单项式，它的次数是0． 7．下列说法正确的是  （    ） A．是多项式 B．的次数是 C．的常数项为 D．的系数是 8．已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 9．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 10．已知整式，其中n，为正整数，，，…，，每个数只能取1，0，中的一个，且． 下列说法： ①当时，满足条件的整式M有：，，； ②当时，满足条件的整式M共有8种； ③若，且当时，；则． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．；；；；；；0；其中单项式有________个，多项式有________个． 12．我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____． 13．若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 14．有一组单项式：，，，···，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第20个单项式为_______________． 15．已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______． 16．已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 17．已知多项式． (1)若，求的值． (2)若多项式的值与字母的值无关，求的值， 18．观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 19．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 20．对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 21．在学习了有理数的运算和代数式后，数学活动小组的同学们在研究下列等式时，发现了这些等式有规律，于是开展了如下探究活动： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： (1)请写出第个等式：___________； (2)直接用字母表示第n个等式的结果为：___________； (3)郑州地铁1号线的数轴上，点A表示“郑州火车站”，其数为多项式的一次项系数，点B表示“二七广场站”，其数为该多项式的常数项．地铁巡检机器人P从点A出发，沿数轴来回移动，移动的规律是：第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度当地铁巡检机器人P按此规律移动次时，求的值． 22．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 23．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． (1) ， ， ； (2)在点，之间是否存在一点，使得点到的距离是点到的距离的2倍，若存在，求点在数轴上对应的数，若不存在，请说明理由； (3)点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向左运动，点先以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点到达原点后，立即以原速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求在运动过程中，的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $