第17讲 直线、射线、线段（5类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

第17讲 直线、射线、线段 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 线段、射线、直线的联系与区别 题型2 点与线的位置关系 题型3 两点确定一条直线 题型4 直线相交的交点个数问题 题型5 画直线、射线、线段 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 线段、射线、直线、端点、延伸、表示方法、两点确定一条直线。 1. 在现实情境中理解线段、射线、直线的概念，能用自己的语言描述它们的特征。 2. 掌握线段、射线、直线的表示方法（用两个大写字母或一个小写字母），能正确读、写并识别图形。 3. 理解线段、射线、直线的区别与联系（如线段有两个端点，射线有一个端点并向一方延伸，直线无端点并向两方延伸）。 4. 掌握“两点确定一条直线”的基本事实，能用它解释和解决实际生活中的问题。 学习重点：线段、射线与直线的概念及表示方法，理解它们之间的区别与联系。 学习难点：理解“两点确定一条直线”的几何事实，并能灵活运用它解决实际问题；正确区分射线（注意端点字母在前）的表示方法。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的概念与性质 1.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD 基本概念： 名称 直线 射线 线段 图形 B A A B B A 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA） 作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 2.直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 【易错提醒】 直线概念性质易错警示：无端点，向两方无限延伸，不能度量。性质：两点确定一条直线（存在且唯一）。两条直线相交只有一个交点。表示方法：用两个大写字母或一个小写字母。勿与射线、线段混淆。 即时即练1．下列说法错误的是（　　） A．  直线l经过点A B．  点C在线段上 C．  射线与线段有公共点 D．  直线a，b相交于点A 2．如图，建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，请用所学的数学知识解释它这样操作的原因是 知识点02 射线、线段的概念 1.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的一个大写字母，前面必须加“射线”两字 2.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 【易错提醒】 射线与线段易错警示：射线一个端点，向一方延伸，不能度量；线段两个端点，可度量。表示时射线端点在前（如射线OA），线段用两个端点字母。注意：射线长度无限，线段长度有限，线段中点将线段二等分。勿混淆。 即时即练1．根据如图所示的图形填空： (1)点B在直线_________，点C在直线_________； (2)点E是直线_________与直线_________的交点，直线与直线相交于点_________； (3)过点A的直线有_________条，分别是__________________． 题型1 线段、射线、直线的联系与区别 【例1】下列直线的表示方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 【技巧归纳】 直线无端点向两方无限延伸，射线有一个端点向一方延伸，线段有两个端点有长度。区别在于端点数和延伸方向，联系：线段和射线是直线的一部分。注意表示方法：线段AB、射线OA、直线l。解题时根据条件画图。 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．延长直线 D．直线与直线是同一条直线 【变式1-2】下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 点与线的位置关系 【例3】正方形网格中，直线经过的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例4】如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 【技巧归纳】 点在直线上（属于）或直线外（不属于）。判断时，若点在直线上则满足直线方程；用几何画图可直观。不在同一直线上的三点确定一个平面（立体）。解题时分类：点在线段上（包括端点）或延长线上。注意“射线”方向：点在射线上需满足方向。多用图形辅助。 【变式2-1】如图，下列说法中，错误的是（  ） A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段的延长线上 【变式2-2】如图，下面说法中错误的是（   ）    A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段上 题型3 两点确定一条直线 【例5】如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是 ． 【例6】李明值日时，发现桌子不整齐，他想了一下，先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿就把课桌摆整齐了．这是因为 ． 【技巧归纳】 过两点有且只有一条直线。应用：作图时连接两点；判断三点共线时，只需验证其中两点确定的直线是否过第三点。若给出多个点，求直线条数：n个点最多有n(n-1)/2条（无三点共线）。最短路径：两点之间线段最短。常见于生活应用。 【变式3-1】小明在设计黑板报时，想在黑板上画一条笔直的参照线，由于尺子不够长，他想出了如下办法：①在一根长度合适的毛线上涂满粉笔末；②由两个同学分别按住毛线的两端，并绷紧；③捏起毛线后松开，便可在黑板上弹出一条笔直的参照线．上述“画参照线”方法的依据是 ． 【变式3-2】墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 题型4 直线相交的交点个数问题 【例7】如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有 个交点． 【例8】如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则七条直线相交最多有 个交点． 【技巧归纳】 n条直线最多交点数为n(n-1)/2（无平行、无三线共点）。若平行，交点减少；若三线共点，交点减少。计算时考虑特殊情况。如4条最多6个。也可由已知交点反推直线条数。注意“同一平面内”前提。使用组合数C(n,2)计算。分类讨论。 【变式4-1】一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【变式4-2】观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有 个交点，……，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分． 题型5 画直线、射线、线段 【例9】如图．已知A，B，C，D四个点． (1)画直线，相交于点P； (2)连接和并延长和相交于点Q； (3)连接，相交于点O； (4)以点C为端点的射线有 条． 【例10】如图，在同一平面内有四个点，，，，请按要求直接完成下列问题． 画直线； 作射线与直线相交于点； 连接； 连接并延长至点，使． 【技巧归纳】 画线段：连接两点，标端点；画射线：从端点出发向一个方向延伸，标端点；画直线：过两点向两端延伸，不标端点。使用直尺，虚线表示延长部分。注意标注字母。根据题目要求，区分延伸方向。射线有方向性，直线无方向。尺规作图保持清晰。 【变式5-1】如下图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画直线交于点． (2)画线段交于点． (3)画射线． (4)连接交于点． (5)连接，并将其反向延长． (6)取一点，使点既在直线上又在直线上． 【变式5-2】如图，已知四点，按下列语句画出图形： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，交于点O； (4)图中线段有______条，射线有______条，直线有______条． 一、单选题 1．如图是生活中打靶瞄准现象，对于这个现象的解释正确的是（     ） A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．线动成面 2．如图，下列说法不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．射线和射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．直线与直线为同一条直线 3．某铁路线共设有5个不同的站点，要保证每两个站点之间都有火车可乘，则需要印制不同的火车票共（    ） A．8种 B．种 C．种 D．种 4．如图，点A、B、C是直线上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（   ）    A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6 5．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．线段有两个端点，射线有____个端点，直线有____个端点； 7．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是______． 8．如图，图中直线有________条；以点为端点的射线有________条；线段有________条． 9．如图，已知，在角的边上标有四点，在角的边上标有、四点，线段中（整数），把不相交的两线段称为一组“友谊线段”，如线段与线段是一组“友谊线段”，则线段组中一共有“友谊线段”__________组． 10．平面内有不重合的4个点，过每两个点可以画一条直线，则共能画出______条直线． 三、解答题 11．如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 12．如图，棋盘上有4枚黑棋标记为点A、B、C、D，4枚白棋标记为点E、F、G、H，经过两枚棋子画一条直线，若这条直线上还有第三枚棋子，就称“三棋共线”． (1)请画出连接黑棋A与白棋F的线段． (2)图中满足“三棋共线”的直线有几条？分别是哪几条？ 13．如图，已知线段． (1)【探究新知】 ①在上取1个点，图中共有__________条线段； ②在上取2个点，图中共有__________条线段； ③在上取3个点，图中共有__________条线段； (2)【归纳结论】 在上取个点，共有条线段，试写出与的关系式：__________； (3)【实际应用】 鲁南高铁与京沪高铁、济青高铁、青盐铁路共同构成山东省内的高铁环线，其中最先开通的日照至曲阜段在运行途中需停靠的8个车站依次是：日照西→厉家寨→莒南北→临沂北→费县北蒙山→泗水南→曲阜东，那么要为这趟列车制作的车票一共有__________种． 14．（1）规律探究：平面内有个点且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？已知平面内有2个点时，可以画1条直线；平面内有3个点时，可画3条直线；平面内有4个点时，可画______________条直线；平面内有5个点时，可画_________条直线；……，则平面内有个点时，可画_______________条直线． （2）知识迁移：元旦晚会上，某班有位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握____________次手，若共握了55次手，则有____________人参加了此次握手活动． （3）问题解决：2025年“江西足球城市联赛”（简称赣超）将11支球队分成南区和北区两个小组，小组内实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛）．比赛规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知九江队分在北区小组（共5支球队），在小组赛中总共负了1场，最终获得15分． ①本届赣超北区小组赛共有_________场比赛，九江队进行了_________场小组赛． ②求九江队在北区小组赛中获胜的场数． 15．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 直线、射线、线段 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 线段、射线、直线的联系与区别 题型2 点与线的位置关系 题型3 两点确定一条直线 题型4 直线相交的交点个数问题 题型5 画直线、射线、线段 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 线段、射线、直线、端点、延伸、表示方法、两点确定一条直线。 1. 在现实情境中理解线段、射线、直线的概念，能用自己的语言描述它们的特征。 2. 掌握线段、射线、直线的表示方法（用两个大写字母或一个小写字母），能正确读、写并识别图形。 3. 理解线段、射线、直线的区别与联系（如线段有两个端点，射线有一个端点并向一方延伸，直线无端点并向两方延伸）。 4. 掌握“两点确定一条直线”的基本事实，能用它解释和解决实际生活中的问题。 学习重点：线段、射线与直线的概念及表示方法，理解它们之间的区别与联系。 学习难点：理解“两点确定一条直线”的几何事实，并能灵活运用它解决实际问题；正确区分射线（注意端点字母在前）的表示方法。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的概念与性质 1.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD 基本概念： 名称 直线 射线 线段 图形 B A A B B A 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA） 作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 2.直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 【易错提醒】 直线概念性质易错警示：无端点，向两方无限延伸，不能度量。性质：两点确定一条直线（存在且唯一）。两条直线相交只有一个交点。表示方法：用两个大写字母或一个小写字母。勿与射线、线段混淆。 即时即练1．下列说法错误的是（　　） A．  直线l经过点A B．  点C在线段上 C．  射线与线段有公共点 D．  直线a，b相交于点A 【答案】B 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、点与线的位置关系、直线相交的交点个数问题 【分析】根据点和直线的位置关系，相交线的有关内容判断即可． 【详解】解：A、由图可得，点A在直线l上，故直线l经过点A，故本选项不符合题意； B、由图可得，点C在线段的上方，故点A不在线段上，故本选项符合题意； C、由图可得，射线与线段有交点，故射线与线段有公共点，故本选项不符合题意； D、由图可得，点A为直线a、b的公共点，故直线a、b相交于点A，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．如图，建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，请用所学的数学知识解释它这样操作的原因是 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】此题主要考查直线的性质：两点确定一条直线，熟记性质是解题的关键． 【详解】建筑工人砌墙时经常先在两端立桩、拉线，然后沿着线砌出笔直的墙，其依据的基本事实是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 知识点02 射线、线段的概念 1.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的一个大写字母，前面必须加“射线”两字 2.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 【易错提醒】 射线与线段易错警示：射线一个端点，向一方延伸，不能度量；线段两个端点，可度量。表示时射线端点在前（如射线OA），线段用两个端点字母。注意：射线长度无限，线段长度有限，线段中点将线段二等分。勿混淆。 即时即练1．根据如图所示的图形填空： (1)点B在直线_________，点C在直线_________； (2)点E是直线_________与直线_________的交点，直线与直线相交于点_________； (3)过点A的直线有_________条，分别是__________________． 【答案】(1)上，外 (2) (3)3，直线，直线，直线 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟练掌握点与直线的位置关系是解题的关键． （1）观察图形，根据点与直线的位置关系进行判断即可； （2）确定经过点E的直线是哪两条即可得出结论；观察图形确定直线与直线的交点即可； （3）观察图形确定过点A的直线即可解答． 【详解】（1）解：点B在直线上，点C在直线外， 故答案为：上，外； （2）解：点E是直线与直线的交点，直线与直线相交于点F， 故答案为：； （3）解：过A点的直线有3条，分别是直线，直线，直线， 故答案为：3，直线，直线，直线． 题型1 线段、射线、直线的联系与区别 【例1】下列直线的表示方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线的表示方法．解题的关键在于熟练掌握：直线有两种表示方法： ①可以用一个小写字母表示，如直线a； ②用直线上任意两点的大写字母表示，如直线或直线．根据直线的表示方法作答即可． 【详解】解：由题意知，图中直线的表示方法正确的是直线． 故选：B． 【例2】如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 【答案】A 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中有线段、线段、线段，共3条线段，故错误，符合题意； B．直线与直线表示的是同一条直线，正确，不符合题意； C．射线与射线表示的是同一条射线，正确，不符合题意； D．线段与线段表示的是同一条线段，正确，不符合题意． 故选：A． 【技巧归纳】 直线无端点向两方无限延伸，射线有一个端点向一方延伸，线段有两个端点有长度。区别在于端点数和延伸方向，联系：线段和射线是直线的一部分。注意表示方法：线段AB、射线OA、直线l。解题时根据条件画图。 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．延长直线 D．直线与直线是同一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质，掌握相关知识是解题的关键． 根据相关知识逐项分析判断即可， 【详解】解：、射线和射线的端点不同，不是同一条射线，原选项说法错误，不符合题意； 、延长线段和延长线段的含义是不相同的，原选项说法错误，不符合题意； 、直线向两端无限延伸，因此直线不可延长，原选项说法错误，不符合题意； 、直线与直线是同一条直线，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 【变式1-2】下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确判断的关键．根据线段的性质，射线、直线、线段的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，因此（1）正确； （2）由于射线是无限长的，无法度量其长度，因此（2）不正确； （3）线段和线段是同一条线段，因此（3）正确； （4）射线和射线是两条不同的射线，因此（4）不正确； （5）直线和直线是同一条直线，因此（5）正确， 综上所述，错误的结论有（2）（4），共2个， 故选：B． 题型2 点与线的位置关系 【例3】正方形网格中，直线经过的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】此题考查了网格作图，延长线段即可得到答案． 【详解】解：如图，可知直线经过的点是点， 故选：C． 【例4】如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 【答案】B 【分析】本题考查了线段，射线，直线的关系．根据线段，射线，直线的特点判断即可． 【详解】解：A、点在直线外，说法正确，本选项不符合题意； B、点在直线外，原说法不正确，本选项符合题意； C、点在线段的反向延长线上，说法正确，本选项不符合题意； D、直线与线段相交于点，说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 【技巧归纳】 点在直线上（属于）或直线外（不属于）。判断时，若点在直线上则满足直线方程；用几何画图可直观。不在同一直线上的三点确定一个平面（立体）。解题时分类：点在线段上（包括端点）或延长线上。注意“射线”方向：点在射线上需满足方向。多用图形辅助。 【变式2-1】如图，下列说法中，错误的是（  ） A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段的延长线上 【答案】D 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线和线段的概念．根据直线、线段的概念求解即可． 【详解】A．点B在直线上，正确，不符合题意； B．点A在直线外，正确，不符合题意； C．点C在线段上，正确，不符合题意； D．点M在线段的延长线上，原表述不正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】如图，下面说法中错误的是（   ）    A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查点与线的位置关系，解题的关键是掌握点与线的位置关系．根据点与线的位置关系求解即可． 【详解】解：A、点B在直线上，本选项说法正确； B、点A在直线外，本选项说法正确； C、点C在线段上，本选项说法正确； D、点M在射线上，本选项说法错误． 故选：D 题型3 两点确定一条直线 【例5】如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键；根据两点确定一条直线进行求解即可． 【详解】解：由题意可知这样做的依据是两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 【例6】李明值日时，发现桌子不整齐，他想了一下，先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿就把课桌摆整齐了．这是因为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质，即两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题关键． 根据直线的性质即可求解． 【详解】解：根据两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【技巧归纳】 过两点有且只有一条直线。应用：作图时连接两点；判断三点共线时，只需验证其中两点确定的直线是否过第三点。若给出多个点，求直线条数：n个点最多有n(n-1)/2条（无三点共线）。最短路径：两点之间线段最短。常见于生活应用。 【变式3-1】小明在设计黑板报时，想在黑板上画一条笔直的参照线，由于尺子不够长，他想出了如下办法：①在一根长度合适的毛线上涂满粉笔末；②由两个同学分别按住毛线的两端，并绷紧；③捏起毛线后松开，便可在黑板上弹出一条笔直的参照线．上述“画参照线”方法的依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，正确把握直线的性质是解题关键．直接利用直线的性质分析得出答案． 【详解】解：上述“画参照线”方法的依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【变式3-2】墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．根据直线的性质，即可解答． 【详解】解：墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．木工师傅这样做的道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 题型4 直线相交的交点个数问题 【例7】如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有 个交点． 【答案】 【分析】本题考查相交线与平行线，当直线与其中一条平行时可得交点最少．掌握相交线与平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 当直线平行于直线时，直线和原来三条直线有个交点（如上左图）； 当直线与已知的三条直线都不平行时，直线和原来三条直线有个交点（如上右图）； 综上所述，直线和原来三条直线最少有个交点． 故答案为：． 【例8】如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则七条直线相交最多有 个交点． 【答案】21 【分析】本题考查了图形的变化，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 四条直线相交最多的交点个数可通过画图得出交点个数，通过继续增加直线的条数可以找出规律即可解答； 【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即； 三条直线相交最多有3个交点，即； 四条直线相交最多有6个交点，即， 五条直线相交最多有10个交点，即， …… ∴n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且）． ∴当时，最多有个交点 故答案为：． 【技巧归纳】 n条直线最多交点数为n(n-1)/2（无平行、无三线共点）。若平行，交点减少；若三线共点，交点减少。计算时考虑特殊情况。如4条最多6个。也可由已知交点反推直线条数。注意“同一平面内”前提。使用组合数C(n,2)计算。分类讨论。 【变式4-1】一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点，…，总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有3个交点；而； 4条直线两两相交，最多有6个交点；而， 5条直线两两相交，最多有10个交点；而， …； ∴在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴10条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【变式4-2】观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有 个交点，……，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分． 【答案】 3 6 28 7 11 37 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数； （2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分． 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点； 5条直线相交最多有个交点； 6条直线相交最多有个交点； 7条直线相交，最多有个交点， 8条直线相交，最多有个交点， … n条直线相交最多有个交点； 故答案为：，，， （2）1条直线最多把平面分成部分； 2条直线最多把平面分成部分； 3条直线最多把平面分成部分； 4条直线最多把平面分成部分； 5条直线最多把平面分成部分； 6条直线最多把平面分成部分； 7条直线最多把平面分成部分； 8条直线最多把平面分成部分； … n条直线最多把平面分成； 故答案为：，，，； 题型5 画直线、射线、线段 【例9】如图．已知A，B，C，D四个点． (1)画直线，相交于点P； (2)连接和并延长和相交于点Q； (3)连接，相交于点O； (4)以点C为端点的射线有 条． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)3 【分析】本题考查了直线、线段的画法，及射线、线段的定义，熟知直线的画法，正确理解射线及线段的定义是解题的关键． （1）根据直线的画法作出即可； （2）根据线段及其延长线的画法作出即可； （3）根据线段的画法作出即可； （4）结合图形，根据射线的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示为所求； （2）解：如图所示为所求； （3）解：如图所示为所求； （4）解：以点C为端点的射线有3条，分别是：射线、射线、射线， 故答案为：3． 【例10】如图，在同一平面内有四个点，，，，请按要求直接完成下列问题． 画直线； 作射线与直线相交于点； 连接； 连接并延长至点，使． 【答案】见解析 【分析】用直尺连接点,点,并向两端无限延伸； 用直尺连接点,点，并向方向无限延伸； 用直尺连接点,点，得到线段； 用直尺连接点,点,沿的方向延长，使延长的线段长度等于，延长后端点标记为． 本题考查了作图知识以及把几何语言转化为几何图形的能力，掌握几何初步认识中的直线，射线，线段的定义是解题关键． 【详解】解：所求图形，如图所示． 【技巧归纳】 画线段：连接两点，标端点；画射线：从端点出发向一个方向延伸，标端点；画直线：过两点向两端延伸，不标端点。使用直尺，虚线表示延长部分。注意标注字母。根据题目要求，区分延伸方向。射线有方向性，直线无方向。尺规作图保持清晰。 【变式5-1】如下图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画直线交于点． (2)画线段交于点． (3)画射线． (4)连接交于点． (5)连接，并将其反向延长． (6)取一点，使点既在直线上又在直线上． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查尺规作图，准确根据题意画图是解题的关键． （1）根据题意尺规作图即可； （2）根据题意尺规作图即可； （3）根据题意尺规作图即可； （4）根据题意尺规作图即可； （5）根据题意尺规作图即可； （6）根据题意尺规作图即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： （4）解：如图所示： （5）解：如图所示： （6）解：如图所示： 【变式5-2】如图，已知四点，按下列语句画出图形： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，交于点O； (4)图中线段有______条，射线有______条，直线有______条． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)8，6，1 【分析】本题考查直线、射线、线段的定义，画图关键是理解相关定义． （1）根据直线定义，连接，并向两端延长即可； （2）根据射线定义，以点A为端点，连接，并延长即可； （3）根据线段定义，连接即可； （4）根据直线、射线、线段的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：如图，射线即为所求作； （3）解：线段、点O即为所求作； （4）解：如图，线段有、、、、、、、，共8条； 射线有射线、射线、射线、射线、射线、射线，共6条； 直线有直线，共1条， 故答案为：8，6，1． 一、单选题 1．如图是生活中打靶瞄准现象，对于这个现象的解释正确的是（     ） A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．线动成面 【答案】B 【详解】解：打靶瞄准时，是通过准星和缺口两个点来确定射击方向（视线）， 这个现象解释了两点确定一条直线． 2．如图，下列说法不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．射线和射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．直线与直线为同一条直线 【答案】B 【详解】解：、线段和射线都是直线的一部分，说法正确，故本选项不符合题意； 、射线和射线不是同一条射线，说法不正确，故本选项符合题意； 、线段与线段是同一条线段，说法正确，故本选项不符合题意； 、直线与直线为同一条直线，说法正确，故本选项不符合题意． 3．某铁路线共设有5个不同的站点，要保证每两个站点之间都有火车可乘，则需要印制不同的火车票共（    ） A．8种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数，掌握相关知识是解决问题的关键．火车票有方向性，共有5个站点，每个站点需要到其他4个站点有票，据此计算即可． 【详解】解：∵ 共有5个站点，每个站点需要到其他4个站点有票， ∴ 总票数为种． 故选：D． 4．如图，点A、B、C是直线上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（   ）    A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6 【答案】C 【分析】本题考查了直线、线段、射线的数量问题，理解题意，结合图中信息，以及线段和射线定义进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，观察图中， 则有线段，线段，线段，射线，射线，射线，射线，射线，射线， ∴图中共有线段、射线条数分别是3，6 故选：C 5．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平面内直线相交的点的个数，根据题目中提供的条件得到规律是解题关键． 先根据两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……得到n条直线相交最多有个交点，再把代入即可求值． 【详解】解：2条直线相交最多有1个交点，， 3条直线相交最多有3个交点，， 4条直线相交最多有个交点，， 5条直线相交最多有个交点，， … n条直线相交最多有交点的个数是：． 20条直线相交最多有交点的个数是：． 二、填空题 6．线段有两个端点，射线有____个端点，直线有____个端点； 【答案】 1 0 【分析】本题考查了线段、射线、直线的基本概念，解题的关键是掌握线段、射线、直线的端点特征． 根据线段、射线、直线的定义，分析它们端点的数量，进而得出答案． 【详解】解：线段：直线上两个点和它们之间的部分为线段，有2个端点； 射线：将线段的一端无限延长得到射线，射线仅有1个端点（另一端无限延伸）； 直线：将线段的两端都无限延长得到直线，直线向两方无限延伸，没有端点，即0个端点． 故答案为：1；0． 7．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是______． 【答案】两点确定一条直线 【分析】首先将弹出的墨线看作是一条直线；接下来，依据直线的性质解答即可． 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线． 8．如图，图中直线有________条；以点为端点的射线有________条；线段有________条． 【答案】 2 3 5 【分析】本题考查直线，射线，线段的识别，根据定义列举即可． 【详解】解：根据图形可知直线有：直线、直线共2条； 以点为端点的射线有：射线、射线、射线共3条； 线段有：线段、线段、线段、线段、线段共5条； 故答案为2，3，5． 9．如图，已知，在角的边上标有四点，在角的边上标有、四点，线段中（整数），把不相交的两线段称为一组“友谊线段”，如线段与线段是一组“友谊线段”，则线段组中一共有“友谊线段”__________组． 【答案】36 【分析】本题考查了线段数量问题；根据题意，在两边各取两点，四点构成一个四边形，其对边恰有一对“友谊线段”，分别计算出从，上各取两点的方法数，即可求解． 【详解】解：在两边各取两点，四点恰有一对“友谊线段”， 从上任取两点，有种方法， 从上任取两点，有种方法， 线段组中一共有“友谊线段”共（组）． 故答案为：36． 10．平面内有不重合的4个点，过每两个点可以画一条直线，则共能画出______条直线． 【答案】 1或4或6 【分析】根据平面内四个不重合点的不同位置关系分类讨论，分为四点共线、三点共线、任意三点不共线三种情况，分别计算得到直线的总条数． 【详解】解：分三种情况讨论： 当四个点共线时，平面内只存在条直线； 当四个点中有三个点共线，另一个点不在该直线上时，共可画出条直线； 当四个点中任意三点都不共线时，任意两点确定一条直线，总条数为条直线． 综上，共能画出或或条直线． 三、解答题 11．如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 【答案】(1)解：如图所示． (2)解：如图所示． (3)6 【分析】（1）利用直尺即可作出图形； （2）利用直尺即可作出图形； （3）根据线段的定义即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：图中有线段，一共6条． 12．如图，棋盘上有4枚黑棋标记为点A、B、C、D，4枚白棋标记为点E、F、G、H，经过两枚棋子画一条直线，若这条直线上还有第三枚棋子，就称“三棋共线”． (1)请画出连接黑棋A与白棋F的线段． (2)图中满足“三棋共线”的直线有几条？分别是哪几条？ 【答案】(1)图见解析 (2)4条：直线，直线，直线，直线 【分析】本题考查三点共线，画线段，熟练掌握相关定义，数形结合是解题的关键： （1）根据要求，连接即可； （2）根据题意，找到符合题意的直线即可． 【详解】（1）解：由题意，画图如下： （2）解：观察可知，满足“三棋共线”的直线有4条，分别为直线，直线，直线，直线． 13．如图，已知线段． (1)【探究新知】 ①在上取1个点，图中共有__________条线段； ②在上取2个点，图中共有__________条线段； ③在上取3个点，图中共有__________条线段； (2)【归纳结论】 在上取个点，共有条线段，试写出与的关系式：__________； (3)【实际应用】 鲁南高铁与京沪高铁、济青高铁、青盐铁路共同构成山东省内的高铁环线，其中最先开通的日照至曲阜段在运行途中需停靠的8个车站依次是：日照西→厉家寨→莒南北→临沂北→费县北蒙山→泗水南→曲阜东，那么要为这趟列车制作的车票一共有__________种． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段的应用，有理数的运算及应用，图形类规律等知识点，找到规律是解决此题的关键， （1）根据要求作图依次查出线段的数量即可得解； （2）由（1）的线段数量与线段上取点个数，观察即可找到规律； （3）将站点看作取点个数，根据（2）的规律结合车票有往返之分解答即可． 【详解】（1）解：①如图， 在上取1个点，图中有共条线段， ②如图， 在上取2个点，图中有共条线段， ③如图， 在上取3个点，图中有共条线段， 故答案为：；；； （2）解：由（1）知，可发现在上取个点，线段总数共有条线段， ∴， 故答案为：； （3）解：∵日照至曲阜段在运行途中需停靠的8个车站， ∴可以将日照和曲阜看作一条线段上的两个端点，在这条线段上取了6个点， ∴由（2）结论知，线段总数为， ∵车票有往返之分， ∴为这趟列车制作的车票一共有种， 故答案为：． 14．（1）规律探究：平面内有个点且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？已知平面内有2个点时，可以画1条直线；平面内有3个点时，可画3条直线；平面内有4个点时，可画______________条直线；平面内有5个点时，可画_________条直线；……，则平面内有个点时，可画_______________条直线． （2）知识迁移：元旦晚会上，某班有位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握____________次手，若共握了55次手，则有____________人参加了此次握手活动． （3）问题解决：2025年“江西足球城市联赛”（简称赣超）将11支球队分成南区和北区两个小组，小组内实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛）．比赛规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知九江队分在北区小组（共5支球队），在小组赛中总共负了1场，最终获得15分． ①本届赣超北区小组赛共有_________场比赛，九江队进行了_________场小组赛． ②求九江队在北区小组赛中获胜的场数． 【答案】（1）6，10，；（2），11；（3）①20，8；②九江队小组赛胜了4场． 【分析】本题考查了点的数量与直线数的关系，握手和踢球的问题，解题的关键是找出点的数量与直线数的规律． （1）通过画图，探究可知规律； （2）握手的规律与点的数量与直线数的规律是一样的，解方程，可得答案； （3）①把每支球队看作一个点，先求出单循环赛制的场数，再求出双循环赛制的场数；②列出方程，解答即可． 【详解】解：（1）通过规律探究可知： 平面上有4个点时，一共可画直线的条数为（条）， 平面上有5个点时，一共可画直线的条数为（条）， ， 平面上有n个点时，一共可画直线的条数为； （2）两两握手的规律与点的数量与直线数的规律是一样的， n位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握次手， ，解得：或（舍去）， 所以若共握了55次手，则有11人参加了此次握手活动； （3）①北区有5支球队，实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛），把每支球队看作一个点，由（1）中规律可知：单循环赛制有（场）比赛，因为是双循环赛制，所以共有20场比赛；九江队要和北区除自己之外的4支球队比赛，每两支球队之间进行主、客场两场比赛，所以九江队进行的小组赛场数为（场）比赛； ②设九江队在北区小组赛中获胜的场数为x场， 依题意可得：， 解得， 所以九江队在北区小组赛中获胜了4场． 15．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 【答案】（1）4 （2）9或10或11 解决问题：14，8 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，解题的关键是掌握分类讨论的思想和空间想象的思维． （1）根据要求构造出四边形，确定直线条数即可； （2）分类讨论，确定分割成的区域即可； 解决问题：根据要求画出图形，确定分割的区域，以及最少的交点即可． 【详解】解：（1）分割成的区域有四边形，则至少要画4条直线， 故答案为：4； （2）①如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成9个区域； ②如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成10个区域； ③如图所示， 此时，4条直线可以把平面分割成11个区域； 故答案为：9或10或11； 解决问题：如图所示，， 这些道路会分割出14个区域，至少需要建设8个红绿灯， 故答案为：14，8． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $