第一章三角形章末检测2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 苏科版八年级数学三角形章末检测，以高铁选址、无人机飞行为情境，通过基础（三边关系）、能力（全等证明）、创新（动态探究）三级梯度，考查三角形核心知识与几何直观、推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|三边关系、垂直平分线、角平分线|第2题结合高铁选址考垂直平分线性质，体现应用意识| |填空题|6/18|中点性质、旋转、动点最值|第15题动点与正三角形结合，培养空间观念| |解答题|8/72|尺规作图、全等证明、动态探究|第24题材料阅读探究三角板叠放规律，发展创新意识|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 第一章三角形章末检测 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是() A.2,3,8 B.5,5,10 C.3,4,5 D.1,1,3 2.近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A,B,C三地 都想将高铁站的修建项目落户在当地.但是，国资委为了使A,B,C三地的民众都能享受 高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A,B,C三地距离都相等的地方，则高铁站应建 在() A B A.AB,BC两边垂直平分线的交点处 B.AB,BC两边高线的交点处 C.AB,BC两边中线的交点处 D.∠B,∠C两内角的平分线的交点处 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧分别交 AC、AB于点pQ:又分别以pQ为圆心，大于2P№为半径画弧交于点M,连接 AM交BC于点D.已知AB=5,CD=2,则△ABD的面积是() 试卷第1页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 B M A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的中线，则∠ADB的度数为() B A.110° B.100° C.95° D.90 5.如图，己知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE,BD=5,AE=12,则BC 的长为() A.7 B.5 C.12 D.6 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC,DE垂直平分AB,垂足是D,如 果EC=3cm,则AE的长为() 3v3cm A B 6cm C.6v2em D.6V3cm 7.如图，点D在AB上，点E在AC上，且AD=AE,补充下列一个条件后，仍无法判定 △ABE≌△ACD的是() 试卷第2页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 B A.∠B=∠C B.∠AEB=∠ADCC.BE=CD D.AB=AC 8.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,尺规作图如下：①以点A为圆心，适当长为半径 画弧，分别交AB、AC边于点E、F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于 点G;③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H;④延长 BH,交CD于点M、边AC于点N.则下列结论一定正确的是() M G A.BD=DM B.AN=BN C.BM=BD D.CM=AB 9.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点.若AE=3,O为对角线 AC △BEO 上的动点，则 周长的最小值为() D E B A.5 B.6 C.7 D.8 10.在直角△ABC中，BD平分∠ABC,AC⊥BC于C,DE⊥AB于E,己知AB=5, BC=4,AC=3,则△AED的周长() 试卷第3页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 B A.3 B.4 c.6 D.5 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11.已知一个三角形的三边长分别为3,6，x,若x为奇数，则x的值可以为 (写出一个即可) 12.如图，己知在△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，过点E作EF⊥AB于点F, ∠B=∠EAF+∠BCD,AE=CD,若BF=6,则AD的长为 13.如图，在△1BC中，己知D为BC上一点，五，P分别为D,BE的中点，若 S.CFE=4 则△ABC的面积为 14.己知在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,点O在直线AD上，且 OA=OB=OC,如果点B绕点0旋转60°后恰好与点C重合，那么∠BAC=度， 15.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点M是边BC上的动点，连接AM,以 AM为边在其右侧作正△AMN,连接CN.则CN的最小值为 试卷第4页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=BC,点D为AB边的中点，点E,F分别在边 上，且=CF AC,BC 在微DE,D ,F作的垂线，垂足分别为，W, E,F M.N ·分别过点 若EM+PW 2,则四边形CEDF的面积为 E AM DN 三、解答题（共8小题，满分72分） 17.在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点上. B (I)画出AB边上的高CD和中线CE: (2)画出AC边上的高BF,并直接写出BF的长（提示：AC的长等于5）. 18.如图，地块△ABC中，边AB=40m,AC=30m. 试卷第5页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里充先乡笔 (I)尺规作图：现要在地块△ABC中修建绿化带AD,使AD是△ABC的角平分线，请作出 AD,保留作图痕迹： (2)若地块△ABD的面积为320m,求地块△ACD的面积. 19.如图所示，A,D,E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE, (I)证明：BD=DE+CE (2)探究当∠ADB满足什么条件时，BD∥CE？并说明理由. 20.如图，点A,B,C,D在同一条直线上，点E,F分别在直线AB的两侧，且AE=BF, ∠A=∠B,∠DCE=∠CDF (I)求证：△ACE≌△BDF: (2)若AB=16,AC=4,求CD的长. 21.如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C在△ABC外作直线1，AM⊥1 于点M,BN⊥I于点N M D D 图① 图② 图③ (I)试说明：MN=AM十BN: (2)如图②，将(1)中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=a(90°<a<180°)，AC=BC, 请问(I)中的结论DE=AD叶BE是否还成立？请说明理由， 3)如图③，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF,∠A=∠EDF=∠B,AE=3, 试卷第6页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危先乡笔 BF=5,请直接写出AB的长. 22.如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB=20米，点A 与地面上点C(点B,C处于同一水平面上)的距离AC=25米，且BC=15米. D B ()求∠ABC的度数： (2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上， 连接CD,求这架无人机向下飞行的距离(AD的长)· 23.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8,AC=6,AB=10,动点P从点A出发以每 秒2个单位长度的速度沿A→C→B运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒1个 单位长度的速度沿B→C运动，到点C停止，若设点P运动的时间是'秒>0) B (1)点P到达点C时，t= 秒；到B时，t= 秒： (2)当CP=BO时，求t的值： (3)当点P在边BC上（不包括点B,C),点P或点Q到边AC和边AB的距离相等时，直 接写出t的值 24.【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板. 如图：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB;在△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，并 提出了相应的问题. 试卷第7页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里充先乡笔 D B D B 图1 图2 图3 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过 点A作AM⊥DF,垂足为M,过点C作CN⊥DF,垂足为N. (I)图1中，AM=2,CN=7,求MN的长.请补充小芳的过程 ∠ABC=90°， .∠ABM+∠CBN=90° ,AM⊥DF,C⊥DF, .∠AMB=90°，∠CNB=90°， ·∠ABM+∠BAM=90°， ∴.∠BAM=∠CBN, (补充小芳的过程) (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且项点A在线段EF 上时，过点C作CP⊥DE,垂足为P,猜想AE,PE,CP之间的数量关系，并说明理由. (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF 上时，若AE=7,BE=1,连接CE,请直接写出△ACE的面积. 试卷第8页，共26页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 · 第一章三角形章末检测 考试时间：120分钟        满分：120分 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．2，3，8 B．5，5，10 C．3，4，5 D．1，1，3 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，判断时只需验证两条较短边的和大于最长边即可确定能否组成三角形． 【详解】解：A．， 不能组成三角形，不符合题意； B．， 不能组成三角形，不符合题意； C．， 能组成三角形，符合题意； D．， 不能组成三角形，不符合题意； 2．近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（    ） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质可直接进行求解． 【详解】解：因为决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，所以高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处， 理由是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 故选A． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 3．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 4．如图，在中，，是的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴． 故选：D 5．如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（   ） A．7 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【知识点】线段的和与差、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和与差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差得到即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 6．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足是，如果，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质．根据已知得出，根据角平分线的性质可得，再根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，平分， ∴ ∴ 故选：B． 7．如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】先列出已有的条件，再根据补充的条件，利用全等三角形的判定定理，，，即可判断选项． 【详解】解：已有的条件为，公共角， 补充作为条件，可以根据证明， 故A不符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故B不符合题意； 补充作为条件，属于，不可以证明， 故C符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故D不符合题意． 8．如图，在中，平分．尺规作图如下：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于点、；以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点；延长，交于点、边于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、尺规作一个角等于已知角、根据等角对等边证明等腰三角形、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 由作法得，， ∵， ， ∴， ∴， ∴C选项是正确的，符合题意； 根据题意无法得到与，与，与的关系， ∴A，B，D不符合题意， 故选C． 9．如图，在边长为4的正方形中，E是边上的一点．若，Q为对角线上的动点，则周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．连接，首先解得，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线对称，故的长即为的最小值，进而可得出结论． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形为正方形，且边长为4，， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于直线对称， ∴， ∴周长， 当在同一直线上时，可有， 即的长为的最小值， ∴周长的最小值． 故选：B． 10．在直角中，平分，于，于，已知，，，则的周长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理．根据角平分线的性质可得，证明，可得，的长，根据线段的等量代换可得的周长． 【详解】解：平分，于，于， ，， 在和中， ， ， ， ， 的周长为：． 故选：B． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．已知一个三角形的三边长分别为3，6，，若为奇数，则的值可以为________．(写出一个即可) 【答案】（或，答案不唯一） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到，再结合为奇数，即可得到符合条件的的值． 【详解】解：根据三角形三边关系可得 ∴ ． ∵为奇数，所以的值可以为，7． 12．如图，已知在中，点D，E分别在边上，过点E作于点F，，若，则的长为 ____． 【答案】12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造辅助线． 在上取一点G，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．证明，由全等三角形的性质得出，证出，得出，则可得出答案． 【详解】解：在上取一点G，使得，连接，在上取一点K，使得，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：12． 13．如图，在中，已知D为上一点，E，F分别为，的中点，若，则的面积为______． 【答案】16 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】由点为的中点得出，再由点为的中点，得出，，结合图形计算即可得出结果． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴． 14．已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么______度． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据题意可得，由，，可得，结合，可推出，，再根据三角形的外角性质求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ，，，点在直线上， ， 又， ，， ， ， ， 故答案为：． 15．在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作正，连接．则的最小值为_________ ． 【答案】2 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转性质，全等三角形的性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先将绕着点逆时针旋转60度，至与重合，点的对应点为点F，连接，得，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，分析得出点是直线上的动点，当时，则有最小值，整理得，故． 【详解】解：∵是正三角形， ∴， 将绕着点逆时针旋转60度，至与重合，点的对应点为点F，连接，如图所示： ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 记所在的直线为， ∵点M是边上的动点，且，则点是直线上的动点， 当时，则有最小值， ∵，， ∴此时， ∵， ∴在中，． 故答案为：2． 16．如图，在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，连接．分别过点作的垂线，垂足分别为，若，则四边形的面积为__________． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出是等腰直角三角形，结合三线合一得，，则都是等腰直角三角形，再通过证明，则，再通过证明，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点为边的中点， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， 则， ∴， ∴，，， ∵分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴四边形的面积 即四边形的面积为 故答案为： 三、解答题（共8小题，满分72分） 17．在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、利用网格求三角形面积 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 18．如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出． （1）根据角平分线的作图步骤，作的角平分线即可； （2）利用角平分线的性质定理证明，再根据地块的面积为，求出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：作，，垂足分别为，； ∵是的角平分线， ∴， ∵边，，地块的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为． 19．如图所示，，，三点在同一条直线上，且， (1)证明：． (2)探究当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】(1) 证明：， ，， ， 即； (2)满足时， 理由是：， ， ， ． 【知识点】内错角相等两直线平行、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好． （1）根据全等三角形的性质求出，，代入求出即可； （2）根据全等三角形的性质求出，推出，根据平行线的判定求出即可． 【详解】（1） 略 （2） 略 20．如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：，，且， ， 在和中， ， ； (2)的长为8． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， 的长为8． 21．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； (2) 成立， 理由：，， ， 又∵，， ， ，， 又， ； (3)8 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得； （2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得； （3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得． 【详解】（1）略 （2）略 （3），，， ， 又，， ， ，， ，，， ． 22．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】(1) (2)米 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 23．如图，在中，，，，，动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止，若设点运动的时间是秒． (1)点到达点时，________秒；到时，________秒； (2)当时，求的值； (3)当点在边上（不包括点，），点或点到边和边的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)3，7 (2)或6 (3)或5 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据时间=路程÷速度，根据题意依次计算即可． （2）分点P在上和点P在上，两种情况，建立等式计算即可． （3）分别根据点或点在的角平分线上两种情况，根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案， 【详解】（1）解：动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，且，， ∴点到达点时，秒,；到时，, 故答案为：3，7； （2）解：∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止， ∴ 当点P在上时， ∴ ∵ ∴ ∴； 当点P在上时，， ∵ ∴ ∴， ∴或6； （3）解：点或点到边和边的距离相等时，点或点在的角平分线上， 当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点Q作于点G， 得，，， ∵，，且， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点作于点H， 此时，，， ∵，，且， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，分类思想，熟练掌握勾股定理，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 24．【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； (2) ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； (3)21 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， （2）略 （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 试卷第26页，共26页 试卷第25页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $