专题01 全等三角形的基本模型有关的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形四大核心模型，以题型为载体系统提炼一线三等角、截长补短、倍长中线、手拉手的构造方法与逻辑推理路径，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一线三等角模型|5题（含旋转/角度变式）|一线三垂直构造全等，利用等角转化边关系|从直角到任意角的模型拓展，体现全等判定（AAS/ASA）的灵活应用| |截长补短模型|5题（含正向/反向延长）|截长法/补短法构造全等线段，转化线段和差|基于角平分线、等腰三角形性质，构建线段等量关系的推理链条| |倍长中线模型|5题（含基础/综合应用）|延长中线至等长构造全等，转移线段到同一三角形|以中点为核心，通过全等实现边、角条件的集中，强化三角形三边关系应用| |手拉手模型|5题（含等边/等腰直角）|共顶点等腰三角形旋转构造全等，证边等角等|从特殊到一般，利用旋转不变性推导线段位置（垂直）与数量关系|

专题01 全等三角形的基本模型有关的四种模型 题型一 全等三角形模型之一线三等角模型 题型二 全等三角形模型之截长补短模型 题型三 全等三角形模型之倍长中线模型 题型四 全等三角形模型之手拉手模型 题型一：全等三角形模型之一线三等角模型 1．（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）利用“”，可得，从而，，根据，等量代换即可说明； （2）利用“”，可得，从而，，再根据，等量代换即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）为等边三角形 【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答； （2）运用类比的方法，同样可以证明； （3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答． 【详解】（1）证明：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）综合与实践 在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足 (1)如图1，当时，猜想线段、、之间满足的数量关系，并进行证明； (2)如图2，当 时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证明； (3)如图3，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是，请求出△与△的面积之和． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3)4 【分析】此题考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意得，可得，有和，即可证明结论； （2）根据，得，即可证明，则有和，即有成立； （3）根据全等三角形的判定和性质定理以及三角形的面积的计算即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， 则． （2）解：仍然成立， 理由：， ， ， ， ， ，， ； （3）解：同（2）可得， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， 即 ， 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． (1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． (2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． (3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． (4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)成立，理由见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论． （1）由垂直得，由同角的余角相等得，因此根据可以证明，结合全等三角形的对应边相等证得结论； （2）根据全等三角形的判定定理推知，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得； （3）同理（2）可得，，进而即可得出； （4）同理（1）可以证明，根据全等三角形的判定定理推知． 【详解】（1）证明：， 在和中 ，， （2）证明： 在和中 ，， （3）， 同理（2）可得： ，， ． （4）成立，理由如下： 在和中 5．（25-26八年级上·湖北·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． （1）考虑一线三垂直模型，先推导得到，然后证明； （2）先大胆猜想，然后证明，利用推导得到，证得，进而得到，，通过等量替换进而完成证明； （3）作辅助线，过点作交的延长线于点，过点作于点，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】解：（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ； （2），理由如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ，同理可证明：， ， ， ， 的面积等于40． 题型二：全等三角形模型之截长补短模型 6．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． (1)请直接写出线段之间的数量关系； (2)证明（1）中的结论； (3)如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由题目条件结合半角问题，可得到猜想：； （2）延长到H，使，连接，先证明，得，；再证明，得，从而可证明结论； （3）在上截取，证明，得，，再证明，得，即． 【详解】（1）解：； （2）证明：如图，延长到H，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：不成立，，理由如下： 如图，在上截取， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·上海·月考）已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、． (1)如图1，若，，作于点，分别交、于点、． ①求证：； ②若，连接，求的度数； (2)如图2，点为上一点，交于点，连接．若，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）①由，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出证得，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②证明即可解决问题； （2）如图2，在上取，连接，推出，根据全等三角形的性质得到，，证得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：①，， 为等边三角形， 则，， ，， ， ，， ， 在与中， ， ， ； ②如图1，取的中点连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ，，， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：如图2，在上取，连接， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ． 8．（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 ［方法运用］ （2）解：，理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 9．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题． [尝试探究]：把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，证明即可得出结论； [模型建立] 将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，即可得出结论； [拓展应用] 将绕点旋转，得到，证明，得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：[尝试探究]． 证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点、、共线， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， ∴； [模型建立] 成立，如图， 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴【尝试探究】中的结论还成立，； [拓展应用]∵是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， 将绕点旋转，得到， 则：和重合，，，， ∴， ∴三点共线， 同法，可得：， ∴， ∴的周长． 10．（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 【详解】（1）若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三：全等三角形模型之倍长中线模型 11．（25-26八年级上·山东济宁·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·山东德州·月考）综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，，点D为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1．请根据小明同学的方法思考： (1)由已知条件和作辅助线，能得到，理由是________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为________． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【解决问题】 (3)如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为M，若，，试求的长度． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，解决本题的关键是掌握证明三角形全等的方法． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， 在和中， ， ， 故选A； （2）解：，即， ， ， ， 故答案为：； （3）解：延长，交于点， 平分， ， ， 在和中， ， ，． 在和中， ， ． ， ， ，， ． 13．（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2；（2）见解析；（3）,的面积为12 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 14．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 15．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】 （1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：． 【综合研究】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长． 【答案】（1）见解析；（2）米． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的性质等，熟练掌握一线三等角的全等模型和倍长中线的全等模型是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，根据等腰的性质证明，再根据倍长中线证明，最后通过等量代换求解即可． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）过点作，交的延长线于点，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）． 题型四：全等三角形模型之手拉手模型 16．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，在中，，D是BC上一点（不与点B，C重合）．以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE． (1)①试说明：； ②若，求的度数． (2)设，，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】(1)①说明见解析；② (2) 【分析】（1）①通过角的等量关系得到，再结合已知边相等，利用判定； ②先由全等得到角的关系，结合等腰直角三角形的性质推导的度数． （2）通过全等三角形的角的关系，结合三角形内角和，推导与的数量关系． 【详解】（1）解：①∵， ∴，即：． 在 和中： ∴． ②∵，， ∴． 由①知，， ∴． ∴． （2）解：由①知，，则． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 17．（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 18．（25-26八年级上·吉林·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．          (1)如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； (2)类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 【答案】(1) (2)与的数量关系是，位置关系是；见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质． （1）根据证明即可； （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即； （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中，， ∴． 故答案为：； （2）解：与的数量关系，位置关系是． 理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 【答案】（1）① ；② ；（2）与的位置关系和数量关系没有发生变化，见解析；（3）与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【分析】（1）根据题意证明，再根据全等可得，，即可求解； （2）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，，即可求解； （3）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，即可求解； 【详解】解：（1）理由：延长交于点，如图 在和中， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为： ① ；②； （2）由题意得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图；          ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的位置关系和数量关系没有发生变化； （3）设， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不垂直， ∴与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 20．（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 【答案】（1）①，；②相等；（2）①，②6． 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加适当的辅助线是本题的关键． （1）根据，都是等边三角形，把绕点A逆时针旋转得到 即可； ①证明，再由全等三角形的性质和三角形外角的性质即可证明结论，②和的边，再过D作于Y，过B作于X，构造，得相等边对应高相等，从而证明两个三角形面积相等， （2）①利用轴对称的性质求出，然后根据旋转的性质得出答案； ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出和即可解决问题． 【详解】解：（1）①结论：，． 证明：如图，设交于点，交于点， ∵ ． ∴，即， 又∵，， ， ， ， ， ，即， 综上所述：，． ②的面积与的面积相等， 如图，过D作于Y，过B作于X，   ， ∵， ， 又∵， ， ， ∵，，， ，即， 的面积与的面积相等， （2）①∵与关于对称， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， 故答案为：； ②由旋转的性质可知，， ∵与关于对称， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01全等三角形的基本模型有关的四种模型 题型归纳 题型一全等三角形模型之一线三等角模型 题型二全等三角形模型之截长补短模型 题型三全等三角形模型之倍长中线模型 题型四全等三角形模型之手拉手模型 题型专练 题型一：全等三角形模型之一线三等角模型 1.(25-26八年级下·云南玉溪开学考试)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC过点C在△ABC 外作直线I,AM⊥I于点M,BN⊥I于点N, 图① 图② (I)试说明：MN=AM+BN, (2)如图②，将(1)中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=Q(90°<Q<180),AC=BC,请问(1)中的结 论DE=AD+BE是否还成立？请说明理由. 2.(25-26八年级上广西来宾期末)(1)如图①，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，DE是过点A 的直线，BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,且BD=AE.求证：DE=BD+CE. A A E 图① 图② 图③ (2)如图②，在△ABC中，AB=CA,D,A,E三点都在直线I上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a, 且a≠9O°，请问DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由 (3)拓展与应用：如图③，D,E是D,A,E三点所在直线I上的两动点(D,A,E三点互不重合)，点 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD,CE.若 ∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断ADEF的形状. 3.(2425七年级下河南郑州期末)综合与实践 在直线m上依次取互不重合的三个点D、A、E,在直线m上方有AB=AC,且满足 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=a (I)如图1，当a=90°时，猜想线段DE、BD、CE之间满足的数量关系，并进行证明： D A E m 图1 (2)如图2，当0<a<180°时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行 证明； A E m 图2 (3)如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m 与CB的延长线交于点F,若BC=3BF,△ABC的面积是12，请求出△FBD与△ACE的面积之和. D AE m 图3 4.(25-26八年级上·云南昆明期末)一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶 点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型. 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B D E A M D N 图1 图2 图3 D E 图4 (I)如图1，在△ABC中，∠BAC=90,AB=AC,点A在直线MN上，过点B作BD⊥MN于点D,过点 C作CE⊥MN于点E,由∠DAB+∠DBA=90,∠DAB+∠CAE=90°得LDBA= 又知道 ∠BDA=∠AEC,AB=AC,可以推理得到△ABD≌△CAE,进而得到AD=CEAE= (2)当图1中的直线MW绕点A旋转到图2的位置时，求证：DE=BD-CE (3)当图1中的直线MN绕点A旋转到图3的位置时，请直接写出DE,BD,CE.之间的数量关系： (④如图4，若将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线MN上，且满足 ∠BDA=∠BAC=∠AEC=&,其中a为任意锐角或钝角，请问结论△ABD≌aCAE是否成立？若成立，请 给出证明；若不成立，请说明理由. 5.(25-26八年级上·湖北期中)(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A, 过点B,C分别向直线I作垂线，垂足分别为D,E,，求证：△ABD≌△CAE； (2)如图2，若△ABC为等腰三角形，AB=AC,点A,D,E在直线I上，满足∠CEA=∠BAC=∠ADB 猜想DE,BD,CE有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，以△ABC的边AB,AC为一边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD, AC=AE,AG是边BC上的高，延长GA交DE于点H,若AH=4,AG=I0,求△DAE的面积. H D B G 图1 图2 图3 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：全等三角形模型之截长补短模型 6.(25-26八年级上重庆开学考试)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,点E,点F分别在边 BCCD上已知2EF-DaB, ∠ABC+∠ADC=180: A B C 图1 图2 (I)请直接写出线段BE,EF,FD之间的数量关系： (2)证明(1)中的结论： (3)如图2，若点E,点F分别在边CB,DC的延长线上，其它条件不变，(1)中的结论还成立吗？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明. 7.(25-26八年级上·上海·月考)已知在△ABC中，AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线 段AC于点G、H. 图1 图2 (I)如图1，若∠ABC=60°，∠MBN=30°，作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F. ①求证：AE=BG； ②若AD=BF,连接CF,求∠CFE的度数： ②如图2，点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接CF·若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,求S的值. 8.(25-26八年级上广东珠海期末)实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣 小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1(1)，在△ABC中，AB>AC,怎样证明∠C>∠B呢？ 把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C处（如图1(2）)，由 ∠AC'D=LC,∠AC'D>∠B,可得∠C>∠B D (1) (2) 图1 【类比探究】 (I)如图2，在△ABC中，∠C>∠B,类比上述的方法，请证明AB>AC 图2 【方法运用】 (2)如图3，在△ABC中，∠C=2∠B,若AD L BC,写出AC，,CD,BD之间的数量关系并说明理由. D 图3 9.(25-26七年级下江苏盐城期末)【尝试探究】如图1，己知在正方形ABCD中（四边相等，四个内角 均为90°)，点E、F分别在边BC、DC上运动，当∠EAF=45°时，探究DF、BE和EF的数量关系，并 加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC,且∠B=∠D=90°，点E、F分别在边 DC、BC上运动，且∠BAF=∠BAD,试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明： 【拓展应用】如图3，已知△ABC是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），BD=CD, ∠BDC=120°，∠DBC=∠BCD=30°，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边AB、AC于点E、 F,连接EF,直接写出△AEF的周长， 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 图1 图2 图3 10.(25-26八年级上：吉林长春·期末)同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三 角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题 B 图① 图② 图③ 图④ (I)(1)在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C,求证：AC=AB+BD;任选下面一种方法，并写 出完整的证明过程： 方法一：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,可以得到全等三角形，进而解决问题： 方法二：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF,可以得到等腰三角形，进而解决问题 (②)如图③，在△ABC中，∠ABC=2LC,AH⊥BC交BC于点H,直接写出AB、BH、BC之间的等量关系 (3)如图④，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C,AD、BG分别为∠BAC、∠ABC的角平分线， B=5D3:AG=25 =8,直接写出GC= 题型三：全等三角形模型之倍长中线模型 11.(25-26八年级上·山东济宁·期中)在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法. E 图(1) 图(2) 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()如图1，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围.我们可以延长AD到点E,使 DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC.接下来，在△ABE中利用三角形的 三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是： (2)如图2，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，点D为BC的中点，连接AD.求证：EF=2AD」 12.(25-26八年级上·山东德州月考)综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，△ABC中，若AB=10, AC=6,点D为BC边上的中点，试求中线AD的取值范围. 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD, 连接BE，如图1.请根据小明同学的方法思考： B D M 图1 图2 (I)由已知条件和作辅助线，能得到△ADC≌△EDB,理由是 A.SAS B,ASA C.AAS D.SSS (2)由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线AD的取值范围为 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等 三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中， 【解决问题】 (3)如图2，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M是BC边的中点，已知AM平分∠BAD,且 AM⊥DM,垂足为M,若AD=7,CD=4,试求AB的长度： 13.(25-26八年级下·云南曲靖·开学考试)八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你 和他们一起活动吧. 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 【初步探索】 如图1，在△ABC中，若AB=4,BC=2,求AC边上的中线BD的取值范围. 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长BD至点E,使DE=BD,然后连接CE,利用三角形全等将边 AB转化到CE,最后在△DEC中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围. (1)在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是一；若线段BD的长度为整数，则 BD= 【灵活应用】 (2)如图2，BD是△ABC的中线，延长DB到点E,连接AE,使AE=BC,求证：∠AEB=∠DBC: 【拓展提升】 (3)如图3，在△ABC中，分别以AB,BC作等腰直角三角形△ABM和△BCW,其中∠ABM=∠CBN=90°， 连接MN,点D是MN的中点，连接DB,延长DB与AC相交于点H,BD=6,BH=2.试判断BD与 AC的数量关系，并求出△ABC的面积. 14.(25-26八年级上·山东滨州期末)【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中 个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究.古希腊数学家欧几里得《几何原本》 虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础.数学文献中，倍长中线作为标准术 语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧. D B D 图1 图2 图3 (1)【问题背景】 如图1，△ABC中，AB=8,AC=6，,AD是中线，则AD的取值范围是 (2)【变式思考】 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰在外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,AB=AE, AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，连接EF,求证：EF=2AD: (3)【探究延伸】 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,将△ABD沿着AB翻折，点D的对应点为H, ∠BAC+∠BAD=180°，点F是BC的中点，∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长. 15.(25-26八年级上陕西榆林期末)【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造 图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段 【问题探究】 (I)如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,∠C=2∠B,点K在边AB上，且AK=AC,连 接DK,试说明：AB=AC+CD D 图1 图2 【综合研究】 (2)2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推 动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在△ABC中，AC=100 米，校学生会在边AB、AC上分别取点E、F,使得点E为AB的中点，EF⊥AC于点F,在线段EF上 找点G,使得EG=30米，△BCG为等腰直角三角形，∠BGC=90°，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊 (宽度不计)，其他区域规划为展示区.为了预算，需要知道CF的长，请你帮助校学生会计算出CF的长」 题型四：全等三角形模型之手拉手模型 16.(25-26八年级上浙江嘉兴月考)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上一点（不与点B,C重 合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. B D 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)①试说明：△ABD≌△ACE: ②若∠BAC=90°，求∠BCE的度数. (②)设∠BAC=a,∠BCE=B,则a,B之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论. 17.(25-26八年级上·河南新乡·期中)(1)如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD,BE. 若BE∥CD,则∠BEC的度数是 图1 图2 图3 (2)如图2，△ABC和△CDE都是等边三角形，点A,D,E在同一条直线上，连接BE.求证： AE=BE+CE (3)如图3，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一条直线 上，CM⊥AE于点M,连接BE,求∠AEB的度数以及线段CM,AE,BE之间的数量关系. 18.(25-26八年级上吉林期中)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点， 并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图 形 图1 图2 图3 (I)如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,分别 连接BD,CE,则有△ABD≌△ (2)类比探究：如图2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC,AD=AE,且∠BAC= ∠DAE=90°，B,C,D在同一条直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明 理由： (3)问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE =90°，点A,D,E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE,若AE=7,BE=2,则 10112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CM= 19.(25-26八年级上山西朔州期中)综合与探究 问题背景：△ABE和△CDE为等腰直角三角形，∠AEB=∠CED=90°，AE=BE,CE=DE,连接 BD,AC. 图1 图2 图3 问题初探： (1)如图1，当B,E,C三点在同一条直线上时， ①BD与AC的位置关系为 ②BD与AC的数量关系为 拓展探究： (2)如图2，当B,E,C三点不在同一条直线上时，BD与AC交于点F,试判断(1)中BD与AC的位 置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由， (3)如图3，将(2)中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断(2)中BD 与AC的位置关系和数量关系是否仍然成立. 20.(25-26九年级上河南新乡~期中)【课本再现】如图，△ABD,△AEC都是等边三角形.BE与CD有 什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（不用解答） 409 E 图1 图2 图3 【探究应用】 (1)如图2，△ABD,△AEC都是等腰直角三角形，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90° ①写出BE与CD的数量关系和位置关系：-； ②△ABC的面积与△AED的面积相等吗？并说明理由. 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题解决】 (2)如图3，将△ABC绕点A逆时针旋转4O°得到△ADE,点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F.若 △ABD与△AFD关于直线AD对称，且BC=9,BD=3,则 ①∠DAE=- ②线段EF的长是-· 12112可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01全等三角形的基本模型有关的四种模型 题型归纳 题型一全等三角形模型之一线三等角模型 题型二全等三角形模型之截长补短模型 题型三全等三角形模型之倍长中线模型 题型四全等三角形模型之手拉手模型 题型专练 题型一：全等三角形模型之一线三等角模型 1. 【详解】(1)解：∠ACB=90°， ∴.∠ACM+∠BCN=90°. :AM⊥I,BN⊥I, ∴.∠AMC=∠CNB=90°， .∠ACM+∠CAM=90°， .∠CAM=∠BCN, 在△AMC和△CNB中， [∠AMC=∠CNB ∠CAM=∠BCN AC=CB .△AMC≌△CNB(AAS) .AM=CN,CM=BN, MN =CN+CM .MN AM+BN: (2)解：DE=AD+BE成立，理由如下， ∠ACB=a(90°<a<180), .∠ACD+∠BCE=180°-au, 1/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ADC=a(90°<a<180), .∠ACD+∠CAD=180°-a, ∴.∠CAD=∠BCE, 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=CB ∴.△ADC≌△CEB(AAS) .AD=CE,CD=BE, DE=CE+CD, .DE AD+BE, 2. 【详解】(1)证明：：BD⊥直线L,CE⊥直线l, .∠BDA=∠CEA=90°， ∠BAC=90° ∴.∠BAD+∠CAE=90°， ∠BAD+∠ABD=90°， .∠CAE=∠ABD 在△ADB和△CEA中， [∠BDA=∠CEA ∠CAE=∠ABD AB=AC ∴△ADB≌△CEA(AAS). .AE=BD,AD=CE, .DE=AE+AD=BD+CE: (2)解：成立，证明如下： :∠BDA=∠BAC=a, .∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-a, ∴.∠DBA=∠CAE, 在△ADB和△CEA中， 2/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BDA=∠CEA ∠CAE=∠ABD AB=AC .△ADB≌△CEA(AAS), .AE=BD,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE: (3)解：由(2)可知，△ADB≌△CEA, ∴.BD=AE,∠DBA=∠CAE,AD=CE, :△ABF和△ACF均为等边三角形， ∠ABF=∠CAF=6O°，BF=AF, ∴.∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF, .∠DBF=∠FAE, 在△DBF和△EAF中， BD=AE ∠DBF=EAF BF=AF ·ADBF≌AEAF(SAS)」 ∴.DF=EF,∠BFD=∠AFE, ∴.∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=∠BFA=6O°， ∴△DEF为等边三角形 3. 【详解】(1)解：∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°， ∴.∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°， .∠DBA=∠EAC, AB=AC, ∴.△DBA≌AEAC(AAS) ∴AD=CE,BD=AE, 则DE=AD+AE=BD+CE (2)解：DE=BD+CE仍然成立， 理由：∠BDA=∠AEC=∠BAC=a, .∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-a, 3/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DBA=∠EAC, .AB=AC, ∴.△DBA≌EAC(AAS). .AD=CE,BD=AE, ..DE=AD+AE=BD+CE; (3)解：同(2)可得aDBA≌△EAC(AAS), .S.DBA=S.EAC, 设△ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的高为h, BC=3BF,SAABC =12 .S△ABF=4, 即.SFBD+SABD=4 .S.FBD+S.ACE=4, 4. 【详解】(I)证明：：BD⊥MN,CE⊥MN,∠BAC=90°， ∴.∠BAC=∠BDA=∠CEA=90 .∠BAD+∠CAE=901 ∠BAD+∠ABD=90° .∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中 ∠ABD=∠CAE .·∠ADB=∠CEA AB=CA ∴.△ADB≌△CEA(AAS) .AD=CE,AE=BD. (2)证明：：BD⊥MN,CE⊥MN,∠BAC=90° .∠BAC=∠BDA=∠CEA=90° ∴.∠BAD+∠CAE=90 ∠BAD+∠ABD=90 ∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中 4/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「∠ABD=∠CAE ·∠ADB=∠CEA AB=CA .△ADB≌△CEA(AAS) ∴.AD=CE,AE=BD, ∴DE=AE-AD=BD-CE (3)DE=CE-BD, 同理(2)可得：AD=CE,AE=BD, .DE=AD-AE CE-BD. (4)△ABD≌aCAE成立，理由如下： .'∠ABD+∠ADB+∠BAD=180 ∠CAE+∠CAB+∠BAD=180 ∠ADB=∠CAB ∴.∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中 「∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA AB=CA ∴△ADB≌△CEA(AAS) 5. 【详解】解：(1)证明：~BD⊥直线l,CE⊥直线l, .∠BDA=∠AEC=90°， ∠DAB+∠DBA=90°， :∠BAC=90°， .∠DAB+∠EAC=90°， .∠DBA=∠EAC, 在△ABD和△CAE中， [∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠EAC AB=AC AABD≌aCAE(AAS): (2)DE=BD+CE,理由如下： 5/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠EAB是△ABD的外角， ∴.∠EAB=∠ADB+∠DBA, ,∠EAC+∠BAC=∠ADB+∠DBA, :∠ADB=∠BAC, ∴.∠EAC=∠DBA, 在△EAC和△DBA中， ∠EAC=∠DBA ∠CEA=∠ADB AB=AC .AEAC≌△DBA(AAS), ∴CE=AD,AE=BD, .DE=AE+AD=BD+CE (3)过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： M E G AG⊥BC∴.∠AGB=∠M=90°∴.∠ABG+∠BAG=90° ∠BAD=90°， .∠BAG+∠DAM=90°， ∴.∠ABG=∠DAM, 在△ABG和△DAM中， ∠AGB=∠M ∠ABG=∠DAM AB=AD △ABG≌△DAM(AAS), ∴.DM=AG,同理可证明：△AGC兰△ENA, .EN=AG. .DM=EN=AG, :SDAE=SAH+S。AHE 6/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4+54E心 =AH×AG =4×10 =40. ∴.△ADE的面积等于40， 题型二：全等三角形模型之截长补短模型 6. 【详解】(I)解：EF=BE+DF; (2)证明：如图，延长EB到H,使BH=DF,连接AH, H. :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABH=180°， ∴.∠ADC=∠ABH, 在△ABH与△ADF中， AB=AD ∠ABH=∠ADC, BH=DF .△ABH≌△ADF, ∴，AH=AF,∠BAH=∠DAF, :<Er-号DB, .∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAH+∠BAE=∠EAH, 在△AEH与△AEF中， AH=AF ∠EAH=∠EAF AE=AE ∴.△AEH≌△AEF, 7/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EF=EH=BE+BH, .EF BE+DF: (3)解：不成立，EF=DF-BE,理由如下： 如图，在DF上截取DM=EB, :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴.∠ADC=∠ABE, 在△ABE与△ADM中， AB=AD ∠ABE=∠ADC, BE=DM ,△ABE≌△ADM, .AE=AM,∠BAE=∠DAM, ∴.∠EAM=∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD, :∠EAF=∠DAB. 2 :.∠EAF=)∠EAM=∠MAF, 2 在△AEF与△AMF中， AE=AM ∠EAF=∠MAF, AF=AF ∴.△AMF≌△AEF, ∴.EF=MF=DF-DM, .EF DF-BE. D M /B C 7. 【详解】(1)解：①：AB=AC,∠ABC=60°， 8/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ABC为等边三角形， 则∠BAC=∠ACB=60°，AB=CA, :AD⊥BN,∠MBN=30°. .∠BFD=∠AFG=60°， :∠ABF+∠BAF=60°，∠BAF+∠EAC=60°， ∴∠EAC=∠GBA, 在△GBA与△EAC中， ∠GBA=∠EAC AB=CA ∠GAB=∠ECA △GBA≌△EAC(ASA, AE=BG: ②如图1，取BF的中点K连接AK, A E 图1 .·∠GBA=∠EAC .∠BAE=LCBG, ∠ABG+∠CBG=60°， ∴∠BFD=∠ABF+∠BAF=60°， :AD⊥BN, .∠ADB=90°， :∠DBF=30°， ..BF =2DF, AD =BF, :BF =2AF, AF=BK=FK-2 ∴△FAK是等腰三角形， .∠FAK=∠FKA, 9/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠BFD=∠FAK+∠FKA=2∠AKF, .∠BFD=60° ∠AKF=∠BFD=30°， 2 :△GBA≌△EAC. AG=CE,BG=AE,∠AGB=∠AEC, ∴KG=BG-BK=AE-AF=FE, 在△GAK与△EFC中， AG=CE ∠AGB=∠AEC, KG=FE .AGAK≌△EFC(SAS). ∴.∠CFE=∠AKF, ∠CFE=LAKF=30°： (2)解：如图2，在BF上取BN=AF,连接AN, B E 图2 .∠BFE=∠BAF+∠ABF ∠BFE=∠BAC, ∴.∠BAF+∠EAC=∠BAF+∠ABF, .∠EAC=∠FBA, 在△ABN与△ACF中， [AB=AC ∠ABN=∠FAC, BN=AF .△ABN≌△AFC(SAS), ∴.SABN=SACF,∠ANB=∠AFC, .·∠BFE=2∠CFE. 10/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BFE=2∠ANF, .∠BFE=2∠ANF=∠ANF+∠NAF. ∴.∠ANF=∠NAF, ∴△FAN是等腰三角形， .AF FN, :BN AF =FN, S.ABN =S.AFN, SF=S+S.AFN=2S.4N=2S.4CF: 8. 【详解】(I)证明：把△ABC翻折，使点B落在点C上，折痕分别交AB、BC于点D、E B--- C E 由翻折的性质可知，CD=BD, AD+CD>AC, .AD+BD=AB>AC,AB>AC; [方法运用] (2)解：BD=AC+CD,理由如下： 如图(3)，在BD上取E,使DE=CD,连接AE, E D (3) :DE=CD∠ADE=90°=∠ADC AD=AD ∴.△ADE≌△ADC(SAS) .AE=AC,∠AED=∠C=2∠B, ∠AED=∠B+∠BAE, ∠B=∠BAE, 11/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=AE=AC, ∴BD=BE+DE=AC+CD,即BD=AC+CD; 9. 【详解】解：[尝试探究]DF+BE=EF. 证明：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG,可使AB与AD重合， A D ,∠ABC=∠D=90°， 、.∠EBG=180°，点E、B、G共线， .∠BAG+∠EAB=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF, 即∠EAF=∠EAG AG=AF 在 和 中， ∠GAE=∠FAE △AEF △AEG AE=AE .△AEF≌aAEG(SAS), .EF =EG=EB+BG=EB+DF, ∴DF+BE=EF; [模型建立] 成立，如图，DF+BE=EF D G----- B 证明：将△ADF绕A顺时针旋转∠BAD的度数，此时，AD与AB重合， 由旋转得：BG=DF,∠I=∠2，AF=AG,∠ABG=∠D=90°， 同理得：点G,B,E在同一条直线上， 12131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 :∠E1F=2BMD, 1 .∠BAE+∠FAD=∠BAD, :∠BAE+∠GAB=)∠BAD, 2 ∴.∠EAG=∠EAF, .AF=AG,AE=AE, :.AGAE≌aFAE(SAS), ∴.EF=EG, .EF =BG+BE=DF+BE. ,【尝试探究】中的结论还成立，DF+BE=EF: [拓展应用]：△ABC是边长为8的等边三角形， .AB=AC=8,∠ABC=∠ACB=60°， ,∠DBC=∠BCD=30° ∴.∠ABD=∠ACD=90 BD=CD,∠BDC=120° 将△DCF绕点D旋转120°，得到△DBG, G 则：CD和DB重合，∠DBG=∠DCF=90°，BG=CF,DG=DF, ·.∠EBG=∠EBD+∠GBD=180°， E,B,G三点共线， 同法，可得：aGDE≌△FDE, ∴.EF=EG=BE+BG, ∴.△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+BE+BG=AE+AF+BE+CF=AB+AC=I6, 10. 【详解】(1)若选择方法一. 13/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE, :AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD 又AD=AD, .△ABD≌△AED(SAS) .BD=ED,LB=∠AED、 :∠ABC=2∠C, ∴，∠AED=2LC, :∠AED=∠EDC+∠C, ∴.∠EDC=∠C, ∴ED=EC=BD .AC=AE+EC=AB+BD 若选择方法二 证明：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF, AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD 又：BF=BD, .∠F=∠BDF .∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F, :∠ABC=2∠C, .∠F=∠C. AD=AD :△AFD≌△ACD(AAS)」 .AF AC. .AF =AB+BF =AB+BD. .AC=AB+BD (2)解：在CH上取点G,使BH=GH, 14131 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B HG 图③ ..AH L BC,BH=GH, .AB=AG, ∴.∠B=∠AGB, :∠ABC=2LC,∠AGB=∠C+∠GAC, ∴.∠C=∠GAC, ..AG=GC. .'.AB=GC, ∴CG+BG=AB+2BH=BC. 故答案为：AB+2BH=BC; (3)解：：AD平分∠BAC, ∴，点D到AC的距离等于点D到AB的距离， S△4Bm=AB :SAACD AC, S.ABD BD S,eCD' AB BD AC CD' AB AG 同理，BCCG 设CG=xCD=y,则BC=BD+CD=3+八，AC=4G+CG=25 +x 53 25 +xy,5 25 =8, 8 y+3 x 39 .. 8 :CG=39 8 39 故答案为：8· 15/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：全等三角形模型之倍长中线模型 11. 【详解】(I)解：，AD是△ABC的中线， .'BD=CD. 又：ED=AD,∠BDE=∠CDA, .△EDB≌△ADC(SAS), .'BE=AC=5, 在△ABE中，，AB-BE<AE<AB+BE, .8-5<2AD<8+5, .1.5<AD<6.5, 故答案为：1.5<AD<6.5: (2)解：如图，延长AD至G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD, A G 同理可证△ADC≌aGDB(SAS). AC=GB,∠C=∠GBD, .AC=AF, ..BG=AF, ,∠BAE=∠CAF=90°， .∠BAC+∠EAF=180° .∠BAC+∠ABC+∠C=180°， .∠BAC+∠ABC+∠GBD=180°， 即∠BAC+∠ABG=180°， .∠ABG=∠EAF, 又AB=AE, 16131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△ABG≌△EAF(SAS), ..AG=EF, ∴.EF=2AD 12. 【详解】(I)解：AD是BC边上的中线， :CD=BD, 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠CDA=LBDE, AD=DE .AADC≌aEDB(SAS), 故选A: (2)解：：AB-BE<AE<AB+BE,即10-6<AE<10+6, ∴.4<AE<16, AD-TAE, 2 .2<AD<8, 故答案为：2<AD<8: (3)解：延长DM,AB,交于点F, D M 平分 F .AM ∠BAD ∴.∠DAM=∠FAM, :AM⊥DM, ∴.∠AMD=∠AMF=90° 在△AMD和△AMF中， 「∠AMD=∠AMF AM=AM ∠DAM=∠FAM 17/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△AMD≌△AMF(ASA) ∴MF=DM,AD=AF 在△BMF和△CMD中， BM=DM ∠BMF=∠CMD, MF DM ∴.△BMF≌aCMD(SAS) :CD=BF, .AF=AD=AB+BF=AB+CD, AD=7,CD=4, ∴.AB=7-4=3 13. 【详解】解：(1I)如图1：先延长BD至点E,使DE=BD,连接CE, :BD是边AC上的中线， .AD=CD, :DE=BD,∠ADB=∠EDC, :.△ADB≌△CDE(SAS). .'CE=AB=4. 在△BCE中，CE-BC<BE<CE+BC, 2<BE<6,即2<2BD<6, .1<BD<3, ,线段BD的长度为整数， .BD=2. 故答案为：SAS,2, (2)证明：如图：延长BD到点F,使DF=BD,连接AF. B 图2 18/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BD是△ABC的中线， .AD=CD 在△ADF和△CDB中， (AD=CD ∠ADF=∠CDB DB=DE :.△ADF≌ACDB(SAS) AF=BC,∠DBC=∠F, .AE=BC,, .AF AE, ∴.∠F=∠AEB, 又∠DBC=∠F, .∠AEB=∠DBC (3)如图3：延长BD到点E,使DE=BD=6,连接ME. E M 图3 ,点D是MN的中点， .MD ND 在△BDN和△EDM中， BD=DE ∠BDN=∠EDM MD=ND .△BDN≌aEDM(SAS) .BN=EM,∠DME=∠DNB, .BN∥EM ,△BCN是等腰直角三角形， 19131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CBN=90°，BN=BC,∠BCN=45°， ∴.EM=BC ,∠ABM=90°， .∠ABC+∠MBN=180° 又：BN∥EM, .∠MBN+∠BME=180°， ∴∠ABC=∠BME, 在△ABC和△BME中， AB=BM ∠ABC=∠BME, BC=EM ·△ABC≌△BME(SAS)】 .AC=BE,∠MBE=∠CAB. .BE =2BD, ..AC=2BD :BD=6 .AC=2X6=12 .∠ABM=90°， ∴.∠MBE+∠ABH=90°. .∠CAB+∠ABH=90°， .∠AHB=90°， °△BC的面积为54C-Bh-x12×2=12】 2 14. 【详解】(1)解：延长AD到点E,使DE=AD,连接CE, D E ,AD是中线， 20131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BD=CD. 在△ABD和△ECD中， BD=CD ∠ADB=∠EDC, AD=ED .△ABD≌aECD(SAS), .'CE=AB=8. 在△ACE中，CE-AC<AE<CE+AC, .8-6<2AD<8+6, ∴.2<2AD<14, .1<AD<7, 故答案为：1<AD<7: (2)解：延长AD至点G,使DG=AD,连接CG, B :AD是中线， .BD=CD, 在△ABD和△GCD中， 「BD=CD ∠ADB=∠GDC, AD=GD .△ABD≌aGCD(SAS), :AB=GC,∠ABD=∠GCD, .AB II GC, ∴.∠BAC+∠ACG=180°， ,∠BAE=∠CAF=90° :.∠BAC+∠EAF=180°， ∴∠EAF=∠ACG. 21131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AE,AB=GC, .AE=GC, 在△AEF和△CGA中， AE=CG ∠EAF=∠ACG, AF=CA .△AEF≌△CGA(SAS), ∴.EF=AG .AG=AD+DG=2AD. ∴.EF=2AD: (3)解：延长EF到点M,使FM=EF,连接BM, H D :F是BC的中点， ∴BF=CF, 在△ECF和△MBF中， CF=BF ∠CFE=∠BFM, EF=MF .△ECF≌aMBF(SAS), ∴.CE=BM,∠CEF=∠M, ,∠CEF=∠ADB, ∠M=∠ADB, 由翻折性质可知：BD=BH,∠ADB=∠AHB,∠BAD=∠BAH, :∠BAC+∠BAD=180°， :.∠BAC+∠BAH=180°， H、A、C三点共线， ∴.∠AEB=∠CEF, 22131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AEB=∠M, 在△BEH和△EBM中， [∠AEB=∠M ∠BEH=∠EBM, BH=EM .△BEH≌△EBM(AAS), ∴.BH=EM, BD=BH, ∴.BD=BH=EM, EM=EF FM=2EF,EF=6. .BD=2×6=12 15. 【详解】解：(1)：AD平分∠BAC, .∠KAD=∠CAD ,在△ADK和△ADC中， AK=AC ∠KAD=∠CAD AD=AD :.△ADK≌△ADC(SAS), .∠AKD=∠C,KD=CD, ∠C=2∠B, ∴.∠AKD=2∠B, :∠AKD是△KBD的外角， ∴.∠AKD=∠B+∠KDB, ∴.2∠B=∠B+∠KDB, .∠B=∠KDB, ∴KD=KB, 又，KD=CD .KB=CD. ∴.AB=AK+KB=AC+CD (2)过点B作BH⊥EF,交FE的延长线于点H,如图2所示： 23131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 /G E 图2 .∠H=90°， EF⊥AC, ∴∠H=∠CFG=∠EFA=90°， ∴.∠FGC+∠FCG=90° :△BCG是等腰直角三角形，∠BGC=90°， ∴.GB=GC,∠HGB+∠FGC=90°， ∴.∠HGB=∠FCG, .在△BGH和△GCF中， ∠H=∠CFG ∠HGB=∠FCG GB=GC .△BGHH≌aGCF(AAS), ..BH=GF,GH=CF, :点E是AB的中点， ∴.BE=AE, ,在△BEH和△AEF中， ∠H=∠EFA ∠BEH=∠AEF BE=AE :.△BEH≌△AEF(AAS), ·BH=AF? ⊙I=EF三)R、 ..GF=AF, :AC=100米， .HF=HG+GF=CF+AF=100(米)， 24131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 gEH=EF)F=50米3 EG=30米， .CF=GH=EH+EG=50+30=80(米). 题型四：全等三角形模型之手拉手模型 16. 【详解】(1)解：①.∠DAE=∠BAC, .LDAE-LDAC=∠BAC-LDAC,即：LBAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中： AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS). ②：AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠B=∠ACB=45°. 由①知，△ABD≌△ACE, ∴.∠ACE=∠B=45°. .∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90 (2)解：由①知，△ABD≌△ACE,则∠ACE=∠B AB=AC,∠BAC=a, ·∠B=∠ACB=180-a 2 ÷∠BCE=∠4CB+∠4CE=180,-a+180,-a-=180-a. 2 2 :∠BCE=B ∴.a+B=180° 17. 【详解】解：(I):△CDE都是等边三角形， .∠DCE=60°， BE∥CD, 25131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BEC=180°-∠DCE=120°： (2):△ABC和△CDE都是等边三角形， :.CA=CB,CD=CE=DE,∠ACB=∠DEC=6O° ∴.∠ACB-∠DCB=∠DEC-∠DCB,即∠ACD=∠BCE, .△ACD≌△BCE, .AD=BE, .AE=AD+DE=BE+CE: (3)由题意得：CA=CB,CD=CE ∴.∠ACB-∠DCB=∠DEC-∠DCB,即∠ACD=∠BCE, ·△ACD≌△BCE, ∴.AD=BE,∠ADC=∠BEC: ,△DCE为等腰直角三角形， .∠CDE=∠CED=45°， :点A,D,E在同一条直线上， .∠ADC=∠BEC=135°， ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=90°， CD=CE,CM⊥DE. ∴.DM=ME; .∠DCE=90°， .DM=ME =CM ..AE=AD+DE=BE+2CM 18. 【详解】(1)证明：，∠BAC=∠DAE ∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD ∴.∠BAD=∠CAE AB=AC 在 和 中， ∠BAD=∠CAE △ABD△ACE AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS). 故答案为：ACE: (2)解：BD与CE的数量关系BD=CE,位置关系是BD⊥CE. 26131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由如下： ,∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC+∠CAD=∠CAE+∠CAD」 即∠BAD=∠CAE. AB=AC 在 和 中， ∠BAD=∠CAE, △BAD△CAE AD=AE △BAD≌△CAE(SAS), .BD=CE,∠ACE=∠ABC, :△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°， .∠ABC=∠ACB=45° ∴.∠ACE=∠ABC=45°， .∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°， BD⊥CE: (3)解：由(1)的方法得，△ACD≌△BCE, :AD=BE, ,△CDE是等腰直角三角形， ∴.∠CDE=∠CED=45°， :CD=CE,CM⊥DE, ∴.DM=ME, .∠DCE=90°， .'DM ME CM CM=DE=(4E-4D)-(4-BE)-=x7-2)=25, 故答案为：2.5. 19. 【详解】解：(I)理由：延长BD交AC于点F,如图 27131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△BED和△AEC中， 「BE=AE ∠BED=∠AEC DE=CE ∴.ABED≌AAEC(SAS) .BD=AC,∠DBE=∠CAE ∴.∠BED=90° ∴.∠DBE+∠BDE=90° '∠BDE=∠ADF ∴.∠ADF+∠CAE=90° .∠AFD=180°-（∠ADF+∠CAE)=180°-90°=90°， ∴.BD⊥AC 故答案为：①BD⊥AC:②BD=AC: (2)由题意得∠AEB=∠CED=90°， ∴，∠AEB+∠AED=∠CED+∠AED. ∴.∠BED=∠AEC, 在△BED和△AEC中， BE=AE ∠BED=∠AEC DE=CE ·.△BED≌△AEC(SAS). ∴.BD=AC,∠DBE=∠CAE, ∴∠BEA=90°. 设AE与BD交于点G:如图： .∠DBE+∠BGE=90°， ∴.∠BGE=∠AGF, ∴.∠CAE+∠AGF=90°. 28131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠AFG=180°-（∠CAE+∠AGF)=180°-90°=90°， .BD⊥AC, 、BD与AC的位置关系和数量关系没有发生变化： (3)设∠AEB=∠CED=a, ∴.∠AEB+∠AED=∠CED+∠AED. :.∠BED=∠AEC, 在△BED和△AEC中， BE=AE ∠BED=∠AEC DE=CE .△BED≌△AEC(SAS). .BD=AC,∠DBE=∠CAE, ∴∠BEA=a, 设AE与BD交于点H;如图： :.∠DBE+∠BEA+∠BHE=18O°， .∠BHE=∠AHF, .∠CAE+∠AFH+∠AHF=180°， ∴.∠AFH=∠BEH≠90°. ∴BD不垂直AC, ·.BD与AC的数量关系没有发生变化：位置关系不是垂直关系： 20. 【详解】解：(1)①结论：CD=BE,CD⊥BE. 证明：如图，设BE,CD交于点H,BE,AC交于点G, 29131 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图2 :∠BAD=∠CAE=90° .∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE, 又：AB=AD,AC=AE, .△DAC2△BAE ∴.CD=BE,∠ACD=∠AEB ·.'∠CGE=∠AEB+∠CAE=∠CHE+∠ACD, :∠CAE=90°， .∠CHE=90°，即CD⊥BE, 综上所述：CD=BE,CD⊥BE. ②△ABC的面积与△AED的面积相等， 如图，过D作DY⊥EA于Y,过B作BX⊥AC于X, 】 .∠DYA=90°=∠BXA :∠DAB=∠CAE=∠YAX=90°、 .∠DAY=90°-∠BAY=∠BAX, 又：AD=AB, :.△DAY≌△BAX(AAS). ..DY=BX, m:D .CC EDr4C8x,即5m=S 30131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ABC的面积与△AED的面积相等， (2)①：△ADF与△ADB关于AD对称， .∠DAF=∠DAB=40°， ∠BAC=80°， 由旋转的性质可知，∠DAE=∠BAC=80°， 故答案为：80： ②由旋转的性质可知，BC=DE=9, ,△ADF与△ADB关于AD对称， .BD=DF=3 EF=DE-DF=9-3=6, 故答案为：6. 31131