精品解析：贵州六盘水市2025-2026学年高一下学期期末质量监测数学试卷

2026年高一年级质量监测 数学试卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本测试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知平面向量，不共线，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 4. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图得到梯形（如图），其中，，，，则平面图形的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 20 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A的值为（ ） A. B. C. D. 7. 方程的实数解所在区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的周期为π B. 直线为函数的一条对称轴 C. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则 D. 当时，函数的值域为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，点Q为线段上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 动点到平面的距离为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 13. 已知，则的最小值为______. 14. 如图，已知圆台上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为，点P在圆的圆周上运动，点A，B在圆的圆周上运动，且A，B，三点共线，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若与夹角为，求的值； （2）若，求的值. 16. （1）求的值； （2）已知角的终边过点，分别求角，，的正弦函数值. 17. 函数的最小值为2. （1）求常数的值及函数的单调递增区间； （2）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，.求的外接圆的半径及的面积 18. 如图，正三棱锥所有棱长均为2. （1）证明：； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值； （3）求正三棱锥的内切球的体积. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）已知，试判断是否为“类函数”? （2）若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； （3）若为“类函数”，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一年级质量监测 数学试卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本测试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 3. 已知平面向量，不共线，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，设， 故，解得. 4. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图得到梯形（如图），其中，，，，则平面图形的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 20 【答案】D 【解析】 【详解】由斜二测法还原图形如下，，， 所以平面图形的面积． 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等性质及命题的充分必要性直接可判断. 【详解】当时，若，则，即“”不是“”充分条件； 当时，，即“”是“”必要条件， 综上所述，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 6. 已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由及余弦定理， 得， 化简得， 所以是直角三角形，. 7. 方程的实数解所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 8. 已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质和偶函数的性质，推导的对称性与周期性，再逐一验证各选项即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以对任意，有； 因为为偶函数，所以， 令可得，即的图象关于直线对称， 故对任意，. 所以， 所以，即是周期为4的周期函数. 选项A，，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，，故C错误； 选项D，，故D错误. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 10. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的周期为π B. 直线为函数的一条对称轴 C. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则 D. 当时，函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据对称轴即可得到周期；对于B，根据图象得到，再利用整体法判断即可；对于C，根据平移变换得到即可；对于D，利用整体法求值域即可． 【详解】对于A，由图可知，解得，故A正确； 对于B，，，又过， 则， ，解得， 又，所以，则， 时，，故直线不是的对称轴，故B错误； 对于C，函数的图象向左平移， 则，故C正确； 对于D，，， 则，故D正确． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，点Q为线段上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 动点到平面的距离为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由进行求解；对于B项，直线与平面所成角为或其补角进行求解；对于C项，由平面截正方体所得的截面为等腰梯形进行求解；对于D项，由平面平面进行求解． 【详解】对于A项，连接，如图所示， ，则直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角， 因为为等边三角形，所以， 即直线与直线所成的角为，故A项正确； 对于B项，连接， 则平面，记垂足为点， 则，， 直线与平面所成角为或其补角，则， 故直线与平面所成角的正弦值为，故B项正确； 对于C项，连接，如图所示： 则，得平面截正方体所得的截面为等腰梯形， ， 得等腰梯形的高为， 则等腰梯形的面积为：，故C项错误； 对于D项，依次取的中点，如图所示： 显然平面平面，则两平面间的距离为定值， 而点Q为线段上的动点，则平面， 则动点到平面的距离为定值，故D项正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 13. 已知，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知， 当且仅当，即时取得等号. 故答案为：4 14. 如图，已知圆台上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为，点P在圆的圆周上运动，点A，B在圆的圆周上运动，且A，B，三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆台的高，利用极化恒等式得到，求出，代入求解即可. 【详解】设上底面半径，下底面半径， 圆台的母线，圆台的高， A，B，三点共线，故，， 两式平方相加可得， 因为，，所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若与夹角为，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用平面向量夹角余弦公式结合数量积坐标公式计算求解； （2）先应用向量的线性运算，再应用垂直数量积为0计算求解参数. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 向量，，则， 因为， 所以，所以. 16. （1）求的值； （2）已知角的终边过点，分别求角，，的正弦函数值. 【答案】(1) ；(2) ，，. 【解析】 【分析】（1）根据指数与对数的运算法则求值. （2）先根据三角函数的定义求的三角函数值，再根据诱导公式求值. 【详解】（1）. （2）因为，所以，. 所以， ， . 17. 函数的最小值为2. （1）求常数的值及函数的单调递增区间； （2）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，.求的外接圆的半径及的面积 【答案】（1），单调递增区间为； （2）外接圆半径为，的面积为 【解析】 【分析】（1）化简，根据的最小值得到方程，求出，求出单调递增区间； （2）由得到方程，求出，由正弦定理得到外接圆半径，由余弦定理得到，得三角形面积 【小问1详解】 ， 的最小值为2，故，解得， 故，令， 解得，故单调递增区间为； 【小问2详解】 ，即，， 因为，所以，， 所以，解得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，故的外接圆的半径， 由余弦定理得，即，解得， 因为，所以，，解得或（舍去）， 所以. 18. 如图，正三棱锥所有棱长均为2. （1）证明：； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值； （3）求正三棱锥的内切球的体积. 【答案】（1）取的中点，连接，， ∵，∴，又，∴， ∴平面， ∴平面，平面，∴. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明，可证得平面，从而得证； （2）应用二面角定义结合余弦定理计算求解； （3）应用等体积法结合球的体积公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，因为是等边三角形，所以， 所以侧面与底面所成二面角为， 因为，由余弦定理得； 【小问3详解】 设正三棱锥的内切球半径为，所以， 过P作， 由（1）知平面，平面，∴， 又，所以平面， 所以是正三棱锥的高， 又因为，所以点为的中心， 所以， 所以， 所以，所以， 所以内切球的体积为. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）已知，试判断是否为“类函数”? （2）若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； （3）若为“类函数”，求实数m的取值范围. 【答案】（1）不为“类函数” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算求出满足“类函数”定义不能得出的值即可判断； （2）根据题意将题设问题转化为在上有解分析求解即可； （3）根据对数函数的性质，得到对恒成立，求得，再由为“类函数”，得到存在实数，满足，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性和最值，即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 若在定义域内存在实数，满足， 可得，即，所以方程无解，所以不是“类函数”. 【小问2详解】 因为是定义在上的“类函数”， 所以存在实数，满足， 即方程在上有解， 令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时，；当时，， 所以，解得， 所以实数的最小值为. 【小问3详解】 由函数， 可得对恒成立，即对恒成立，所以， 若函数为其定义域上的“类函数”，则存在实数，满足， ①当时，，所以，所以， 因为函数在上是增函数， 当时，可得，所以；   ②当时，，所以，矛盾； ③当时，，所以，所以， 因为函数在上是减函数， 当时，可得，所以；   综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $