贵州贵阳市普通中学2025-2026学年第二学期期末监测高一数学试卷

启用前★注意保密 贵阳市普通中学2025-2026学年度第二学期期末监测 高一数学 2026.7 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟． 2．答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分． 3．考试过程中不得使用计算器． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．） 1．已知复数，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知直线，，平面，，且，，，则与 A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 3．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天生产的次品数如表所示．下列说法正确的是 甲 0 1 2 0 2 乙 2 1 0 1 1 A．甲的平均次品数比乙少，甲性能更好 B．乙的平均次品数比甲少，乙性能更好 C．甲、乙平均次品数相同，甲性能更稳定 D．甲、乙平均次品数相同，乙性能更稳定 4．在中，，若，，则 A． B． C． D． 5．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别是、，则密码被成功破译的概率为 A． B． C． D． 6．如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则容器的容积为 A． B． C． D． 7．中国的桥梁建设享誉世界，贵州号称是桥梁博物馆，著名的北盘江大桥主体是一种斜拉桥结构，斜拉桥是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁．如图，已知主塔垂直于桥面，，，是桥面上共线的三点，斜拉索，与桥面所成角，，设主塔的高度为，则间的距离为 A． B． C． D． 8．若平面向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模的最大值为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．） 9．已知随机事件，的对立事件分别为，，且，，则下列结论正确的有 A．若，为互斥事件，则 B．若，为互斥事件，则 C．若事件与事件相互独立，则 D．若事件与事件相互独立，则 10．如图，在棱长为2的正方体中，点在内（含边界）且，则下列结论正确的有 A．异面直线与所成的角是 B．与平面所成的线面角的正切值为 C．与平面的交点是的重心 D．点到平面距离的取值范围是 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上．） 11．贵阳市某中学为了解同学们对“制造未来”这门校本课程的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查．已知该校高一年级学生有1200人，高二年级学生有1000人，高三年级学生有800人，则在高二年级中抽取的人数为________． 12．用平行于底面的平面去截圆锥得到一个圆台，已知圆台的上、下底面半径分别为2、6，母线长为5．则该圆台的体积为________． 13．在5张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后不放回地各抽取1张，则乙中奖的概率为________． 14．若复数是关于方程的一个根，则________． 15．某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体．已知正八面体的棱长为2，如图所示．则该正八面体的内切球表面积与外接球表面积的比值为________． （注：与正八面体的八个面都相切的唯一球体，叫做正八面体的内切球；若球面经过正八面体全部六个顶点，则该球称为这个正八面体的外接球．） 四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 16．（本小题满分8分） 设向量，，． （1）当时，求； （2）当时，若，求实数，的值． 17．（本小题满分8分） 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 18．（本小题满分8分） 为了解贵阳市某地区居民的用水情况，随机抽样调查了该地区100户居民用户的月均用水量（单位：），将数据按照、、、、、、、、分成9组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）已知该地区有60万户居民，估计该地区有多少户居民月均用水量不低于； （3）为节约用水，政府计划试行居民用户生活用水定额管理，希望的居民用户每月的用水量不超过，试估计的值，并说明理由． 19．（本小题满分8分） 如图，在三棱锥中，，底面． （1）求证：平面； （2）若，是的中点，求平面与平面所成二面角的大小． 五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分．解答应写出文字说明，条理清晰．） 20．（本小题满分8分） 贵州是我国首个国家级大数据综合试验区，素有“中国数谷”之称．在数据的多维分析和向量空间模型中，通常使用直角坐标系．但在处理某些非正交的数据时，引入“斜坐标系”往往更能简化计算． 已知，是平面内任意两个不共线的单位向量，过平面内任一点作，，以为原点，分别以射线，为，的正半轴，建立平面坐标系，我们把这个由基底，确定的坐标系，称为基底的坐标系． 当向量，不垂直时，坐标系为平面斜坐标系，简记为． 由平面向量的基本定理可知，对于平面内任一向量，存在唯一实数对，使得，称实数对为在斜坐标系下的坐标，记为. 以原点为起点，为终点的向量，则的坐标为，记为. 超算中心采用菱形网格布线，工程师建立斜坐标系，，的夹角为．两台服务器在斜坐标系中位置为点，，已知，. 定义数据在两台服务器，传输的“能耗”为． （1）求点，在该斜坐标系中的坐标； （2）当，求； （3）当，为线段上的动点时，到，“能耗”和，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学参考答案与评分建议 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D A C A C B 二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．） 题号 9 10 答案 AC BCD 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卡对应得位置上） 11．30 12． 13． 14．9 15． 四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分8分） （1）因为向量，， 当时，解得：，所以 又因为，所以 4分 （2）因为向量，，当时，解得．所以， 若，则， 由向量相等得，解得，． 8分 17．（本小题满分8分） （1）因为， 由正弦定理得：， 因为，， 所以，即， 又因为， 所以； 4分 （2）因为，．的面积为， 所以，解得， 又由余弦定理：，得， 即，所以， 故的周长为：． 8分 18．（本小题满分8分） （1）由频率分布直方图可得： 解得； 2分 （2）由频率分布直方图可得100户居民用户月均用水量不低于的频率为： 可估计60万居民用户月均用水量不低于的户数为万户， 4分 （3）前6组的频率之和为： 前5组的频率之和为： 所以，解得 则估计月用水量标准为时，的居民用户每月的用水量不超过此标准． 8分 19．（本小题满分8分） （1）证明：，， 又平面，平面， ， 又，平面，平面， 平面； 4分 （2）取的中点，的中点，连接，，， 是的中点，，又平面 平面， ，同理， ， ， 平面．， 为平面与平面所成二面角的平面角， 设， 平面，， ， 平面与平面所成二面角的大小为． 8分 五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 20．（本小题满分8分） （1）根据定义得：， 2分 （2）已知， 则 4分 （3）因为为线段为上的动点，设其中， 则 所以，则， 又，所以时，有最小值， 或时，有最大值1，所以， 又，，所以， 所以 所以的最小值为． 8分 学科网（北京）股份有限公司 $