精品解析：贵州省六盘水市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题

六盘水市2024-2025学年度第二学期期末质量监测 高一年级数学试题卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据2，8，13，13，20的众数为（ ） A. 2 B. 8 C. 13 D. 20 2. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 3 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的终边经过点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知边长为1的正方形，动点P在以点A为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 若a，b表示两条直线，表示一个平面，则下列选项为真命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，的面积为，的面积为.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出命题“，”的否定：______. 13. 若函数在上的最大值是最小值的2倍，则______. 14. 已知函数，，则函数的零点个数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知向量，. （1）求及的值； （2）若，求的值. 16. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. （1）证明：平面PAC； （2）若，求二面角的平面角的正弦值. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）若函数为奇函数，求的最小值. 18. 为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件发生，某市开展防骗知识宣传活动，举办“网络防骗”知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中a的值； （2）根据频率分布直方图计算样本成绩的80%分位数； （3）若总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分别为：m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则.已知在的平均数是65，方差是6，在的平均数是75，方差是3，求这两组样本的总平均数和总方差. 19. 若定义域为的函数满足，则称函数为“a型”弱对称函数. （1）若函数为“1型”弱对称函数，求m的值； （2）若函数为“4型”弱对称函数，且恰有3个零点，，，求的值； （3）若函数为“2025型”弱对称函数，且恰有101个零点，当对任意满足条件的函数恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六盘水市2024-2025学年度第二学期期末质量监测 高一年级数学试题卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据2，8，13，13，20的众数为（ ） A. 2 B. 8 C. 13 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】这组数据中出现次数最多的是13，所以众数是13. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解. 【详解】由，则. 故选：B. 4. 下列图象中，有可能表示指数函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可根据指数函数的定义和性质来逐一分析选项. 【详解】指数函数的一般形式为（且），其具有以下性质： 定义域为，值域为 当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减. 图象恒过点. 观察图像可知，D有可能是指数函数图象. 故选：D 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相应函数的单调性判断与0，1的大小，即可得解. 【详解】因为在上单调递增，所以， 由在R上单调递增，则， 由在上单调递增，所以，即， 所以. 故选：A. 6. 已知角的终边经过点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数定义结合诱导公式逐一计算判断. 【详解】因为角的终边经过点，则， 对于A， ，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 7. 已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因两两垂直， 故三棱锥的外接球即是以，，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：A. 8. 已知边长为1的正方形，动点P在以点A为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点坐标原点，建立如图平面直角坐标系，设，则，利用向量坐标运算可得，利用基本不等式运算得解. 【详解】以点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系， 则，，以为圆心与相切的圆的半径为， 设，则，由， ，则， ，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为1. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，举反例说明；对B，利用作差比较法和不等式性质求解判断；对C，根据不等式性质判断；对D，根据不等式性质判断. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，若，则，所以， 即，又，故，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，又，则，故D正确. 故选：BCD. 10. 若a，b表示两条直线，表示一个平面，则下列选项为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面位置关系逐一判断. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，，则与可能平行或异面，故D错误. 故选：BC. 11. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，的面积为，的面积为.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由题可得，由三角形面积公式得解；对B，在中，由正弦定理，结合条件运算得解；对CD，在，中，分别由余弦定理，得，，得或，讨论当时不合题意，运算得解. 【详解】对于A，，， 所以，即，故A正确； 对于B，由正弦定理，得，又， 所以，即，故B正确； 对于C，D，在中，由余弦定理， ， 在中，，则， 化简整理得，又，所以， 解得或， 当时，，则，不合题意； 当时，，则，故C错误，D正确 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出命题“，”的否定：______. 【答案】 【解析】 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可． 【详解】命题“”的否定为“”. 故答案为：. 13. 若函数在上的最大值是最小值的2倍，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，可求得，再结合对数运算即可求解. 【详解】因为，所以函数在单调递增， 所以其最小值为，最大值为， 因为最大值是最小值的2倍，所以，解得或（舍）， 因此， 则. 故答案为：5. 14. 已知函数，，则函数的零点个数为______. 【答案】3 【解析】 【分析】分，和讨论，结合零点存在性定理和函数单调性判断零点个数. 【详解】当时，，所以0是的零点， 当时，， 因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 又，，则， 所以在上有且仅有1个零点， 当时，，易知在上单调递减， 又，则， 所以在上有且仅有1个零点， 综上，的零点个数为3. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求及的值； （2）若，求的值. 【答案】（1），3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模长公式及数量积的坐标运算求解； （2）由向量线性运算的坐标表示结合两向量平行的坐标关系求解. 【小问1详解】 由题，，. 【小问2详解】 因为，， 由，则，解得. 所以的值为 . 16. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. （1）证明：平面PAC； （2）若，求二面角平面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得； （2）由（1）知 ，又，所以 就是二面角 的平面角，由几何关系求出即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以. 因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 . 又因为 ，所以 就是二面角 的平面角. 设 ，因为 ，所以 . 在 中，根据勾股定理 . 根据正弦函数的定义，. 所以二面角 的平面角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）若函数为奇函数，求的最小值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用周期公式求解； （2）由，求出，利用余弦函数的单调性求解； （3）由为奇函数，得，进而求得答案. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 当时，则， 所以当，即时，， 当，即时，. 【小问3详解】 ， 若为奇函数，则，， 解得， 当时，，当时，， 所以的最小值为. 18. 为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识宣传活动，举办“网络防骗”知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中a的值； （2）根据频率分布直方图计算样本成绩的80%分位数； （3）若总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分别为：m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则.已知在的平均数是65，方差是6，在的平均数是75，方差是3，求这两组样本的总平均数和总方差. 【答案】（1） （2）86 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中 所有矩形块面积和为1，列式计算得解； （2）根据百分位数定义利用频率分布直方图计算可得结果； （3）代入总体平均数和总体方差公式，即可求解. 【小问1详解】 由，解得. 【小问2详解】 由题，成绩在的频率为， 在的频率为， 所以样本成绩的80%分位数在内，设样本成绩的80%分位数为， 则，解得， 所以样本成绩的80%分位数为86. 【小问3详解】 频率为，样本量，的频率为，样本量， 所以两组样本的总体平均数， 两组样本的总方差. 19. 若定义域为的函数满足，则称函数为“a型”弱对称函数. （1）若函数为“1型”弱对称函数，求m的值； （2）若函数为“4型”弱对称函数，且恰有3个零点，，，求的值； （3）若函数为“2025型”弱对称函数，且恰有101个零点，当对任意满足条件的函数恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）8 （3）4545 【解析】 【分析】（1）根据“1型”弱对称的条件，代入运算求得； （2）利用“4型”弱对称性，零点成对出现，结合有奇数个零点，确定必有一个零点为2，进而求得答案； （3）根据题意，设，则，讨论和，且，得到，利用基本不等式求的范围，进而求得的最大值. 【小问1详解】 因为为“1型”弱对称函数，所以， ，化简整理得恒成立， ，即. 【小问2详解】 因为为“4型”弱对称函数，所以， 若是的零点，则也是零点，而恰有3个零点， 所以2显然是其中一个零点，不妨设，则， . 【小问3详解】 由题，，且， 对于的零点，有，则， 若，则，故45必为的一个零点， 若，且，则， 所以 ， 又对任意满足条件的函数恒成立，故， 所以的最大值为4545. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$