第4章 专题突破6 圆周运动的临界极值问题(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考物理大一轮复习学案（创新版）

该高中物理高考复习讲义聚焦圆周运动临界极值问题，涵盖水平面（摩擦力、弹力）、竖直面（轻绳、轻杆模型）及斜面圆周运动三大核心考点，按考向细分考点并结合例题构建知识体系。通过考点梳理、临界条件分析、真题精讲等环节，帮助学生系统掌握解题方法，突破高考难点。 讲义突出科学思维与模型建构，如轻绳模型中通过最高点最小速度推导建立临界条件模型，斜面问题中分解重力分析向心力。设置分层例题（基础到综合）和思路点拨，培养学生运动与相互作用观念，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题突破6　圆周运动的临界极值问题 目标 要求 　 　 1.掌握圆周运动临界问题的特点及临界条件。2.会分析水平面内、竖直面内和斜面上圆周运动的临界问题。 考点一　水平面内圆周运动的运动学问题 考向1　与摩擦力有关的临界极值问题 　(2025·山东济南高三质检)如图所示，质量分别为m、2m、3m的物块a、b、c，放置在水平圆盘上随圆盘一起以角速度ω匀速转动，其中物块a、b叠放在一起。图中各接触面间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，a、b和c与转轴的距离分别为r和1.5r。下列说法正确的是(　　) A．b对a的摩擦力为μmg B．圆盘对b的摩擦力为2mω2r C．圆盘的角速度满足ω≤ D．圆盘的角速度满足ω≤ 解析：D　对物块a、b整体分析，圆盘对b的静摩擦力Ffb提供向心力，则Ffb＝(m＋2m)ω2r＝3mω2r，对a进行受力分析，b对a的静摩擦力Ffa提供向心力，则Ffa＝mω2r，且Ffa≤μmg，A、B错误；对c进行受力分析，圆盘对c的静摩擦力Ffc提供向心力，有Ffc＝3mω2×1.5r，当c恰好未相对圆盘滑动时，Ffc＝μ×3mg，可解得此时圆盘对应的角速度ωc＝，根据A、B项分析同理可知，a、b分别恰未相对圆盘滑动时，圆盘对应的角速度ωa＝，ωb＝ ，故圆盘的角速度满足ω≤ωc＝，C错误，D正确。 思路点拨 (1)物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (2)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 　(多选)(2026·山东启思大联考开学考)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(　　) A．当ω>时，A、B相对于转盘会滑动 B．当ω>时，绳子一定有弹力 C．ω在 <ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大 D．ω在0<ω<范围内增大时，A和B所受摩擦力一直变大 解析：AB　当A、B所受静摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘将会滑动，即Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得ω＝，故A正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即Kmg＝mω2·2L，解得ω＝，故B正确；当<ω<时，随角速度的增大，绳子拉力不断增大，B所受静摩擦力一直保持最大静摩擦力不变，0<ω≤时，A所受摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2L，静摩擦力随角速度增大而增大，当<ω<时，以A、B整体为研究对象，有FfA＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，可知A所受静摩擦力随角速度的增大而增大，故CD错误。 思路点拨：如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 考向2　与弹力有关的临界极值问题 　(2025·河北多校期末)细绳一端系住一个质量为m的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑水平桌面上方h高度处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g。若要小球不离开桌面，其转速不得超过(　　) A． B．2π C． 解析：D　对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力mg、水平桌面支持力FN、绳子拉力F，小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为θ，由几何关系可知R＝h tan θ，对小球受力分析可知F cos θ＋FN＝mg，F sin θ＝m＝mω2R＝4mπ2n2R＝4mπ2n2h tan θ；当球即将离开水平桌面时，FN＝0，转速n有最大值，此时nm＝，故选D。 两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 　(多选)(2025·江苏徐州七中月考)如图所示，AB为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量为m1＝5 kg的小球(可视为质点)，另一端和细绳BC(悬点为B)在结点C处共同连着一质量为m2的小球(可视为质点)，长细绳能承受的最大拉力为60 N，细绳BC能承受的最大拉力为27.6 N，圆筒顶端A到C点的距离l1＝1.5 m，细绳BC刚好被水平拉直时长l2＝0.9 m，转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度，在BC绳被拉直之前，用手拿着m1，保证其位置不变，在BC绳被拉直之后，放开m1，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．在BC绳被拉直之前，AC绳中拉力逐渐增大 B．当角速度ω＝ rad/s时，BC绳刚好被拉直 C．当角速度ω＝3 rad/s时，AC绳刚好被拉断 D．当角速度ω＝4 rad/s时，BC绳刚好被拉断 解析：ABD　转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度的过程中，AC绳与竖直方向的夹角θ逐渐增大，m2竖直方向处于平衡，由FTAcos θ＝m2g，可知在BC绳被拉直之前，AC绳中拉力逐渐增大，A正确；BC绳刚好被拉直时，由几何关系可知AC绳与竖直方向的夹角的正弦值sin θ＝，对小球m2受力分析，由牛顿第二定律可知m2g tan θ＝m2ω12l2，解得ω1＝ rad/s，B正确；当ω＝3 rad/s> rad/s，BC绳被拉直且放开了m1，m1就一直处于平衡状态，AC绳中拉力不变且为50 N，小于AC绳承受的最大拉力，AC未被拉断，C错误；对小球m2，竖直方向有m1g cos θ＝m2g，可得m2＝4 kg，当BC被拉断时有m1g sin θ＋FTBC＝m2ω22l2，解得ω2＝4 rad/s，D正确。 思路点拨：绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 考点二　竖直面内圆周运动的动力学问题 考向1　轻绳模型 　(多选)(2025·陕西延安高三质检)如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s B．当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力为15 N C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s 解析：ABC　设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v0＝2 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿第二定律有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N，故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝m，解得vm＝4 m/s，故C正确，D错误。 (1)“一绳一球”模型 (2)小球受到的弹力可能向下，也可能等于零。 (3)结论： v＝，球恰好通过最高点；v>，球所受弹力向下；v<，球不能达到最高点。 　(多选)(2025·四川德阳高三模拟)如图所示，固定在竖直平面内光滑的圆轨道半径R＝2 m，从最低点A有一质量为m＝1 kg的小球开始运动，初速度v0方向水平向右，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．若初速度v0＝8 m/s，则运动过程中，小球不会脱离圆轨道 B．若初速度v0＝5 m/s，则运动过程中，小球不会脱离圆轨道 C．小球能到达最高点B的条件是v0≥4 m/s D．若小球能通过圆轨道最高点，则小球初速度越大，在最高点时对轨道的压力一定越大 解析：BD　小球恰好能到达最高点时，根据机械能守恒有mv12，且恰好满足mg＝，解得v0＝10 m/s，若小球刚好能到圆心高度，则有mv0′2＝mgR，得v0′＝2 m/s，故若2<v0<10 m/s，小球会脱离轨道，不会到达最高点，v0≤2 m/s，小球不会到最高点，但不会脱离轨道，A、C错误，B正确；若小球能通过圆轨道最高点，则小球初速度越大，在最高点时速度越大，需要的向心力越大，对轨道的压力一定越大，D正确。 考向2　轻杆模型 　(2025·广东东莞一中月考)如图所示，有一个半径为R的内壁光滑的圆管道(管壁厚度可忽略)。现给小球一个初速度，使小球沿管道在竖直面内做圆周运动。关于小球在最高点的速度v，下列叙述中正确的是(小球可看成质点)(　　) A．v的最小值为 B．v由0逐渐增大，管道对小球的弹力逐渐增大 C．当v由逐渐增大时，管道对小球的弹力逐渐增大 D．当v由在逐渐减小时，管道对小球的弹力逐渐减小 解析：C　在最高点时，因为管道内壁可以提供支持力，则最高点的最小速度可以为0，故A错误；在最高点时，若v<，此时管道内壁对小球有弹力FN，根据牛顿第二定律得mg－FN＝m，随着速度的增大，弹力FN逐渐减小，随着速度的减小，管道对小球的弹力FN逐渐增大，故B、D错误；在最高点时，若v>，管道外壁对小球有弹力FN′，根据牛顿第二定律得mg＋FN′＝m，随着速度的增大，弹力FN′在逐渐增大，故C正确。 (1)“杆—球”模型 (2)小球受到的弹力可能向下，可能向上，也可能等于零。 (3)结论： v＝，球所受弹力为零； v>，球所受弹力向下； v<，球所受弹力向上。 　(2025·湖南长沙一模)如图，在竖直平面内，轻杆一端通过转轴连接在O点，另一端固定一质量为m的小球。小球从A点由静止开始摆下，先后经过B、C两点，A、C点分别位于O点的正上方和正下方，B点与O点等高，不考虑摩擦及空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．小球在B点受到的合力大小为2mg B．小球在C点受到的合力大小为2mg C．从A到C的过程，杆对小球的弹力最大值为5mg D．从A到C的过程，杆对小球的弹力最小值为4mg 解析：C　从A到B根据动能定理，有mgR＝mvB2，小球运动到水平位置B时，竖直方向有Fy＝mg，水平方向有Fx＝m，所以小球在B点受到的合力大小为F合＝mg，故A错误；从A到C根据动能定理，有mg×2R＝mvC2，根据牛顿第二定律，有F＝m，解得F＝4mg，此时杆的弹力最大，则有F弹－mg＝m，解得F弹＝5mg，故B错误，C正确；从A运动到C的过程中，在A点杆对小球的力沿杆向外，B点杆对球的力沿杆向内，从A到C的过程，杆对小球的弹力最小为零，故D错误。 [归纳总结]　分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 素养拓展　斜面上圆周运动的临界问题 1．问题特点：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2．解题关键——重力的分解和视图 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 　如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，长为L的细线一端固定，另一端连接质量为m的小球，小球在斜面上做圆周运动，A、B分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在A、B点做圆周运动的最小速度分别为vA、vB，重力加速度为g，则(　　) A．vA＝0 B．vA＝ C．vB＝ D．vB＝ 解析：C　在A点，对小球，临界情况是绳子的拉力为零，小球靠重力沿斜面方向的分力提供向心力，根据牛顿第二定律得mg sin θ＝m，解得A点的最小速度为vA＝，对AB段过程研究，根据机械能守恒得mvA2＋mg·2L sin 30°＝mvB2，解得B点的最小速度为vB＝，故C正确，A、B、D错误。 　(2025·重庆市西南大学附属中学月考)如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上有一长L＝0.8 m的轻杆，杆一端固定在O点，可绕O点自由转动，另一端系一质量为m＝0.05 kg的小球(可视为质点)，小球在斜面上做圆周运动，g取10 m/s2。要使小球能到达最高点A，则小球在最低点B的最小速度是(　　) A．4 m/s B．2 m/s C．2 m/s D．2 m/s 解析：A　小球恰好到达A点时的速度大小为vA＝0，此时对应B点的速度最小，设为vB，对小球从A到B的运动过程，由动能定理有mvA2＝2mgL sin α，代入数据解得vB＝4 m/s，故选A。 学科网（北京）股份有限公司 $