3.2.2第1课时函数奇偶性的概念-2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦函数奇偶性概念，通过观察具体函数图像（如f(x)=x²、|x|及奇函数图像）、填表分析函数值关系，搭建从图像特征到数量关系再到定义的认知支架，帮助学生建立完整知识脉络。 其亮点在于以思维导图梳理知识结构，结合数学抽象和直观想象，通过典例一题多解（代数法与图像法）、定向训练及课堂练习，培养学生推理能力和符号表达能力，学生能从具体到抽象理解概念，教师可利用系统探究活动提升教学效率。

3.2.2　奇偶性 第1课时　函数奇偶性的概念 素养目标 思维导图 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念(数学抽象). 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质(直观想象). 课前自主学习 问题1.(1)观察下列两个函数的图象,它们有什么共同特征? 提示:从图象上可以看出,它们的图象都是关于y轴成轴对称的. 　(2)上述特征能否用数量间的关系来体现?试着填表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x2               g(x)=|x|               提示: x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x2 9 4 1 0 1 4 9 g(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3 　(3)通过上面对应值表你发现了什么? 提示:当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相等. 问题2.(1)观察下列两个函数图象,它们有什么共同特征,与偶函数的图象特征相同吗? 提示:从图象上可以看出,它们的图象都是关于原点成中心对称的,与偶函数的图象特征是不同的. 　(2)上述特征能否用数量间的关系来体现?试着填表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x               g(x)=               提示: x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x -3 -2 -1 0 1 2 3 g(x)= - - -1   1 　(3)通过上面对应值表你发现了什么? 提示:当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值也是一对相反数. 继续探究: 问题3.(1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数吗? 提示:反例:f(x)=x2,存在x=0,f(-0)=-f(0)=0,但函数f(x)=x2不是奇函数. 　(2)存在既是奇函数又是偶函数的函数吗? 提示:存在.例如:f(x)=0,x∈R既是奇函数,又是偶函数. 　(3)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数,就是偶函数,这种说法正确吗? 提示:错误.函数f(x)=x2-2x,x∈R的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,又不是偶函数. 【核心概念】 1.偶函数 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有 _________,那么函数f(x)是偶函数. 2.奇函数 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有 __________,那么函数f(x)是奇函数. 3.图象特点 偶函数图象关于____对称;奇函数关于______对称. f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) y轴 原点 课堂合作探究 探究点一　函数奇偶性的判断 【典例1】(一题多解) 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=; (2)f(x)=(x-1); (3)f(x)=; (4)f(x)=. 【思维导引】根据函数奇偶性的概念,逐个判断即可. 【解析】(1)由,得-2≤x≤2,且x≠0,所以f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称, 所以f(x)===. 又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)因为f(x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)对于函数f(x)=,, 所以x=±1,其定义域为,关于原点对称. 因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0, 所以f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x), 所以f(x)=既是奇函数又是偶函数. (4)方法一:函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称. ①当x=0时,-x=0, 所以f(-x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0, 所以f(-x)=-f(x); ②当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-(-x)2-2(-x)-3=-(x2-2x+3)=-f(x); ③当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=-(-x2-2x-3)=-f(x). 综上,可知函数f(x)为奇函数. 方法二(图象法):画出函数f(x)= 各区间段上的函数图象,如图,观察图象的对称性,可分析图象关于原点中心对称,所以为奇函数. 　【类题通法】判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法: (2)图象法: 提醒:判断函数的奇偶性时,先判断函数的定义域是否关于原点对称. 【定向训练】 1.下列函数是偶函数的是(　　) A.y=x+ B.y=x2+ C.y= D.y= 【解析】选B.对于A,y=x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),-x+=-(x+),y=x+是奇函数; 对于B,y=x2+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),(-x)2+=x2+,y=x2+是偶函数; 对于C,y=的定义域为(0,+∞),不是偶函数; 对于D,y=的定义域为{1},不是偶函数. 2.函数f(x)=是　　　(从“奇函数”“偶函数”“既奇又偶函数”“非奇非偶函数”中选一个恰当答案填入).  【解析】由不等式10-x2>0,可得-<x<,所以f(x)的定义域为(-,),关于原点对称. 又由f(x)===,可得f(-x)=-=-f(x), 所以函数f(x)=为奇函数. 答案:奇函数 探究点二　奇、偶函数的图象问题 【典例2】已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示. (1)画出函数f(x)在区间[-5,0]上的图象. (2)写出使f(x)<0的x的取值集合. 【思维导引】利用奇函数的性质,画出函数f(x)在[-5,0]上的简图,数形结合可得结果. 【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示. (2)由图象知,使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5). 【类题通法】 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0](或[0,+∞))上对应的函数图象. 2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型:利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题. (2)策略:利用函数的奇偶性作出相应函数的图象,根据图象直接观察. 【定向训练】 1.(多选题)如图的四个函数图象中为奇函数图象的是(　　) 【解析】选BD.奇函数的函数图象关于原点对称,偶函数的函数图象关于y轴对称. 结合选项可知,A,C的图象关于y轴对称,为偶函数,故排除A,C; B,D的图象关于原点对称,为奇函数,故B,D正确. 2.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示. (1)请补全函数y=f(x)的图象; (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间; (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 【解析】(1)由题意作出函数图象如图. (2)由图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). (3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2<x<2,且x≠0}. 课堂练习 1.下列函数是偶函数的是 (　　) A.f(x)=x B.f(x)=2x2-3 C.f(x)= D.f(x)=x2,x∈(-1,1] 【解析】选B.对于A,f(-x)=-x=-f(x),是奇函数;对于B,定义域为R,满足f(x)=f(-x),是偶函数;对于C和D,定义域不关于原点对称,则不是偶函数,故B正确. √ 2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是 (　　) 【解析】选B.选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数. √ 3.若f(x)是定义在R上的奇函数,f(3)=2,则f(-3)=　　　,f(0)=　　　　.  【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(-3)=-f(3)=-2,f(0)=0. 答案:-2　0 4.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)=　　　　　.  【解析】由题意知,f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=f(1)+g(1)=4. 两式相加,解得g(1)=3. 答案:3 5.如图,已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R},且f(3)=0,则不等式f(x)<0的解集为　　　　　　.  【解析】由条件利用偶函数的性质,画出函数f(x)在R上的简图,数形结合可得不等式f(x)<0的解集为(-3,0)∪(0,3). 答案:(-3,0)∪(0,3) 谢 谢 $