山西省部分普通高中2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

秘密★启用前 普通高中2025-2026学年（下）高二年级期末考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则 A． B． C． D． 2．在等差数列中，，，则的公差为 A． B． C． D． 3．经过抛物线与的两个交点的直线方程为 A． B． C． D． 4．若，则 A． B． C． D． 5．已知随机变量，且，则 A． B． C． D． 6．设复数与在复平面内所对应的点分别为，，若，则 A． B． C． D． 7．若函数与分别为定义在上的奇函数与偶函数，则一定有 A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 8．已知圆：与圆：．若以直线上任意一点为圆心，以点到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆有公共点，则实数的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是 A． B． C． D． 10．在某次实验中，某同学根据4个样本点，，，，利用最小二乘法得到关于的经验回归方程，设对应的回归直线为：．已知这4个样本点到的距离均不超过，记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差（注：由最小二乘法所得残差满足，，则 A．样本点对应的残差为1 B．样本点到的距离为 C． D． 11．设曲线：，过上横坐标为的点作切线，切线与坐标轴分别交于点，，记，则 A．的轨迹与轴仅有一个交点 B．的轨迹与轴仅有一个交点 C．的轨迹在第二象限仅有一个最高点 D．的轨迹在第四象限仅有一个最低点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．双曲线的离心率为__________． 13．端午节期间，某公司团建策划了“水上龙舟赛”“包粽子”“水上拔河”“挂艾草”四大活动，甲、乙、丙3名员工每人从中至少选择一个活动，且每个活动都恰有1人选择，则不同的选择方式共有__________种（用数字作答）． 14．已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，且等比数列的公比为，等差数列的公差为，的前项和为．若对任意正整数，都有，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在三棱柱中，平面，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分）在中，，，． （1）求； （2）求的外接圆的半径与的面积． 17．（15分）在某双通道通信实验中，系统每次会独立输出一个信号对，其中状态指示值，．工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信号对中的值总和为140，的值总和为150，设该样本中信号对出现的频数为，并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值． （1）直接补全下列列联表（用表示）： 单位：个 合计 合计 100 （2）若按样本频率得到的与相互独立，即． （ⅰ）求的值，并计算单次输出时满足的概率； （ⅱ）现该系统继续独立输出4个信号对，记满足的信号对个数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中． 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：，且点到的上顶点以及右顶点的距离分别为和1． （1）求的标准方程． （2）过点的直线与交于，两点，设为线段的中点． （ⅰ）证明：点在曲线上； （ⅱ）若的面积为，求的方程． 19．（17分）已知定义在上的函数的零点为，且，，． （1）试猜想数列的通项公式，并加以验证； （2）求数列的最小值与数列的最小值； （3）证明：是递增数列． 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高中2025-2026学年（下）高二年级期末考试 数学 参考答案 1．A 2．A 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 8．B 9．AC 10．BD 11．ABC 12． 13．36 14．4 15．解：（1）证明：因为平面，平面，所以，（2分） 又，，，平面，得平面．（5分） （2）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，（6分） 不妨设，可得，，，，，，，，（9分） 设平面的法向量为， 则有即取，则，（11分） 记直线与平面所成的角为，故．（13分） 16．解：（1）由余弦定理，得，（3分） 即，整理可得，解得．（6分） （2）由，得．（8分） 由正弦定理，得的外接圆的半径，（11分） 的面积．（15分） 17．解：（1）设在这100个信号对中，出现的频数为，出现的频数为， 依题意可得解得 设在这100个信号对中，出现的频数为，出现的频数为， 依题意可得解得 由信号对的频数为，可得当时，与的频数分别为与，当时，与的频数分别为与．故补全的列联表如下： 单位：个 合计 合计 （6分） （2）（ⅰ）由，得， 解得．（8分） 由上述结果可知信号对出现的频数为，故样本中满足的总频数为，将此样本频率视为概率即可得到单次输出时满足的概率．（10分） （ⅱ）由题干可知每次输出信号对相互独立，且每次满足的概率均为，由此判断随机变量服从二项分布，即．（11分） 随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，4，（12分） ，，，，． 则的分布列为 （14分） 因为，所以．（15分） 18．解：（1）椭圆：的上顶点为，右顶点为． 由点到上顶点的距离为，得，所以，又，所以．（2分） 由点到右顶点的距离为1，得，即或，又，所以．（3分） 因此椭圆的标准方程为．（4分） （2）（ⅰ）证明：当直线不垂直于轴时，设其方程为． 代入，得，整理得．（6分） 设交点，的横坐标分别为，，则，所以中点的横坐标为．因为点在直线上，所以中点的纵坐标为．（8分） 于是，即点在曲线上．（10分） 当直线垂直于轴时，直线的方程为，易得线段的中点也满足．综上，点在曲线上．（12分） （ⅱ）若直线垂直于轴，则，点，重合，不合题意． 故由（2）（ⅰ），得，而，，所以的面积为．（13分） 由题意，得，所以，即． 令，则，且，整理得，即，所以， 故或．（15分） 因此直线的方程为或，即或．（17分） 19．解：（1）由，，，得，，，（1分） 猜想数列的通项公式为，（2分） 因为，所以猜想成立．（3分） （2）设，故，（4分） 当时，，单调递减；当时，，单调递增，（5分） 而， 注意到， 结合函数的单调性，可知． 故数列的最小值为．（7分） 易知当时，， 而，， 又，， 故数列的最小值为．（9分） （3）证明：，（10分） 于是，（11分） 设，， （13分） 下面证明． 注意到，（14分） 显然， 设，则，（15分） 当时，，单调递减，当时，，单调递增． 故， 于是，则，在上单调递增， 于是是递增数列．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $