山西省吕梁市孝义市2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年山西省吕梁市孝义市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式能与合并的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，则木杆折断之前的高度为(    ) A. B. C. D. 3.“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样中国汉代数学家在注释周髀算经时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”这个图形是 A. B. C. D. 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在▱的对角线与相交于点，若，，，则▱的面积为(    ) A. B. C. D. 6.某店专营某品牌运动鞋，该店老板统计了一周内不同尺码的运动鞋的销售量如图，如果每双鞋的利润相同，你认为该店老板最关注的销售数据是下列统计量中的(    ) A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 7.随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚如图是某餐厅的机器人宝宝和贝贝，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，宝宝比贝贝先出发，且速度保持不变，贝贝出发一段时间后将速度提高到原来的倍设宝宝行走的时间为，宝宝和贝贝行走的路程分别为，，，与的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是(    ) A. 客人距离厨房门口 B. 宝宝的速度为 C. 贝贝出发后将速度提高到原来的倍 D. 贝贝出发后与宝宝相遇 8.如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和则小路的长为(    ) A. B. C. D. 9.一次函数中，随的增大而减小，，则这个函数的图象不经过(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10.如图，在中，点，，分别在边，，上不与顶点重合，满足，，连接下列说法一定正确的是(    ) A. 四边形为平行四边形 B. 当平分时，四边形为矩形 C. 当时，四边形为菱形 D. 当为等腰直角三角形时，四边形为正方形 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是______． 12.如图，直线经过点请写出关于的不等式的解集为______． 13.如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，点，分别是，的中点，若，则该工件内槽宽为______． 14.如图，经过点的一束光线照射到平面镜轴上的点处，反射后的光线交轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为______． 15.如图，四边形是正方形是上一点，于点，交于点，连接若，，则的长为______． 三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算： ； ． 17.本小题分 已知，，求的值． 18.本小题分 如图，直线和直线相交于点，分别与轴相交于点和点，与轴相交于点和点． 直接写出直线的函数解析式：______； 求四边形的面积． 19.本小题分 月日，某校开展以“珍爱地球人与自然和谐共生”为主题的竞赛活动，竞赛成绩分为，，，四个等级，依次记为分，分，分，分，学校随机抽取了名学生的成绩进行整理，绘制如下统计图： 补全统计图； 此次测试中被抽查学生成绩的中位数为______分； 求被抽查学生的平均成绩； 学校决定，给成绩在分及以上的同学授予“生态保护先锋”称号根据上面的统计结果，估计该校名学生中将获得“生态保护先锋”称号的人数． 20.本小题分 阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等． 如图，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点，利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题：求作线段的中点． 思路：如图，延长到，利用网格构造线段，满足且，连接、、，则与的交点即为线段的中点依据问题：求作线段的中点． 类型二：构造角平分线 问题：求作人的平分线． 思路：如图，延长到使得，利用网格构造线段，满足且，连接、，则为的平分线． 任务： 问题中“依据”的内容是______； 请用无刻度的直尺在图中参照问题的思路，作线段的中点保留作图痕迹； 请用无刻度的直尺在图中参照问题的思路，作的平分线保留作图痕迹． 21.本小题分 项目式学习 项目主题：优化学校食堂餐盒存储方案． 项目背景：学校食堂为节省空间，优化存储综合实践小组以探究“餐盒叠放高度与数量的关系”为主题开展项目式学习． 驱动任务：探究餐盒叠放的高度与数量的关系 研究步骤： 数据测量与记录 餐盒数量个 总高度 建立模型 操作步骤： 如图，建立平面直角坐标系，横轴表示餐盒数量个，纵轴表示餐盒总高度，将上表中的数据作为坐标点逐一描出，再用平滑的曲线顺次连接起来； 观察图象特征，判断是什么函数，并求出与之间的函数表达式． 模型应用与验证 实际测量发现，叠放个餐盒时总高度为，与函数表达式预测值是否一致？并说明理由． 已知食堂的餐柜每层高度为，计算餐柜每层每列最多能叠放餐盒的数量． 22.本小题分 综合与探究 习题再现： 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线交于点求证：． 数学思考： 兴趣小组的作法：如图，取的中点，连接请你根据此辅助线写出证明过程． 深入探究： 智慧小组提出问题：如图，若点是线段上任意一点，延长到使，连接、，其它条件不变． 判断四边形的形状，并说明理由． 若正方形的边长为，为的三等分点，请你直接写出的长为______． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，它不能与合并，则不符合题意， ，它不能与合并，则不符合题意， ，它能与合并，则符合题意， ，它不能与合并，则不符合题意， 故选：． 利用二次根式的性质将各数化简，然后根据同类二次根式的定义进行判断即可． 本题考查最简二次根式，二次根式的性质，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，设折断部分的高度为， 由勾股定理，得：， 木杆折断之前的高度为：； 故选：． 设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 3.【答案】  【解析】解：这个图形是“赵爽弦图”， 故选：． 根据题意对个图形矩形判断即可得到结论． 本题考查了勾股定理的证明，正确地识别图形是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：和不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意； 与不是同类二次根式，不能合并，故B错误，不符合题意； ，故C正确，符合题意； ，故D错误，不符合题意； 故选：． 根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 5.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形，，， ， ， ， ， ， 故选：． 由平行四边形的性质得，由，得，而，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形的面积公式等知识，推导出，并且正确地求出的长是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策、引起店主最关注的统计量是众数． 故选：． 平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 7.【答案】  【解析】解：客人距离厨房门口， A正确，不符合题意； 贝贝提速前的速度为，则提速后的速度为， 根据图象，得， 解得， ， 宝宝的速度为， 不正确，符合题意； 贝贝出发后将速度提高到原来的倍， C正确，不符合题意； 设宝宝出发后与贝贝相遇， 根据图象，得， 解得， ， 贝贝出发后与宝宝相遇， D正确，不符合题意． 故选：． A.观察图象即可； B.根据速度路程时间求出贝贝提速前的速度，从而求出其提速后的速度，根据路程速度时间列关于的一元一次方程并求解，进而得到点的坐标，再根据速度路程时间求出宝宝的速度即可； C.观察图象即可； D.设宝宝出发后与贝贝相遇，根据二者相遇时各自的路程相等列关于的一元一次方程并求解，从而求出贝贝出发后多长时间与宝宝相遇． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：四边形是边长为的菱形，对角线、交于点， ，，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：． 由菱形的性质得，，，，因为，所以是等边三角形，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：一次函数中，随的增大而减小， ． ， 此函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：． 先根据一次函数的增减性判断出的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 10.【答案】  【解析】解：，， 四边形为平行四边形，故A正确，符合题意； 平分， 四边形为菱形，故B错误，不符合题意； ， 四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 为等腰直角三角形， ，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 即为等腰直角三角形时，只能证明四边形为矩形，故D错误，不符合题意； 故选：． 根据平行四边形的判定、矩形的判定定理、菱形的判定定理、等腰直角三角形的性质逐一进行判断即可得到结论． 本题考查了正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 11.【答案】对角线相等的平行四边形是矩形  【解析】解：因为门窗所构成的形状是矩形， 所以根据矩形的判定对角线相等的平行四边形为矩形可得出． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 根据已知条件和矩形的判定定理对角线相等的平行四边形为矩形解答即可． 本题主要考查矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形为矩形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：当时，函数的图象在下方， ， 关于的不等式的解集是． 故答案为：． 根据点的坐标结合函数的图象即可确定的一元一次不等式的解集． 本题主要考查了一次函数与不等式，关键是能根据函数图象得到正确信息．从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 13.【答案】  【解析】解：点，分别是，的中点，， ， ， 故答案为：． 本直接利用三角形的中位线的性质可得答案． 本题考查三角形中位线定理，解答本题的关键要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 14.【答案】  【解析】解：将坐标代入， 得， 反射光线的函数关系式为， 当时，得， 解得， ， 根据光的反射定律，点关于轴的对称点在入射光线上， 设入射光线的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 入射光线的函数关系式为． 故答案为：． 将坐标代入，求出，从而求得反射光线的函数关系式，当时，求出对应的值，从而求得点的坐标；求出点关于轴的对称点的坐标，由光的反射定律可知，点在入射光线上，进而利用待定系数法求出入射光线的函数关系式即可． 本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ≌， ，， ， ， 故答案为：． 根据正方形的性质以及勾股定理，求出的长，易证，根据正方形的性质再证≌，得，，所以，根据勾股定理即可求出的值． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 16.【答案】；   ．  【解析】 ； ． 先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； 利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17.【答案】．  【解析】解：，， ，，， ． 先根据已知条件求出，，，然后把所求式子分解因式，再代入进行计算即可． 本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 18.【答案】；   ．  【解析】将点坐标代入可得： ， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：； 如图，过点作轴于点． 把代入得，， ， ， 把代入得，， ， ， ， 把代入得，， ， ， ， ． 根据待定系数法求出直线的解析式即可； 根据直线解析式分别求出点、、坐标，再利用代入数据计算即可． 本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是关键． 19.【答案】见解答；   ；   分；   人．  【解析】等级人数为：， 此次测试中被抽查学生成绩的中位数为分， 故答案为：； 此次测试中被抽查学生的平均成绩为： 分； 根据题意得：人， 答：估计该校名学生中约有人将获得“生态保护先锋”称号． 用分别减去其它三个等级的人数，可得等级人数，进而补全统计图； 根据中位数的定义直接进行求解即可； 根据加权平均数的计算公式列出算式即可； 用该校的总人数乘以获得“优秀安全消防员”称号的学生所占的百分比即可． 本题主要考查加权平均数，中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用． 20.【答案】平行四边形的对角线互相平分；   见解析；   见解析．  【解析】平行四边形的对角线互相平分； 故答案为：平行四边形的对角线互相平分； 通过所给步骤可知根据平行四边形的对角线互相平分； 延长至格点，连接，作，交于点，连接与交于点； 延长至格点，过作，过作，交于点，连接即可． 本题考查平行线的性质，角平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 21.【答案】见解答；一次函数，；   一致，理由见解答；个．  【解析】描点并连线如图所示： 这些点分布在同一条直线上， 与之间是一次函数， 设与之间的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 实际测量值与函数表达式预测值一致．理由如下： 当时，， 实际测量值与函数表达式预测值一致． 根据题意，得， 解得， 为非负整数， 餐柜每层每列最多能叠放餐盒个． 描点并连线即可； 根据这些点的分布情况判断函数类型，再利用待定系数法求出函数关系式即可； 当时，求出对应值即可； 根据题意，列关于的一元一次不等式，求出其最大整数值即可． 本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 22.【答案】证明过程见解答；   四边形为正方形，理由见解答； 或．  【解析】四边形是正方形， ，， 点是边的中点，点是边的中点， ， ，， ， ， 为正方形外角的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ； 四边形为正方形， 理由：在边上取一点使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 即， 在中，， ， ， 为正方形外角的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ， 矩形是正方形； 当时，如图， 过点作的延长线于点， 正方形的边长， ， 为正方形外角的平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由知：， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 负值已经舍去， ； 当时，如图， 过点作的延长线于点， 正方形的边长， ， 为正方形外角的平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由知：， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 负值已经舍去， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 根据正方形的性质证明≌，得； 在边上取一点使，连接，证明≌，得，再证明≌，得，，所以，进而可得四边形为正方形； 分两种情况讨论：当时，如图，当时，如图，过点作的延长线于点，然后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题． 本题是四边形综合题，考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$