精品解析：山西省运城市万荣县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年第二学期期末学业水平测试八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，提交答题卡． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 作为传承中华文脉的重要场所，博物馆的标志设计在展现传统美学底蕴的同时，也融入了精密的几何构造理念．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义，即分子和分母没有公因式的分式，逐一判断各选项能否约分，即可得到结果． 【详解】解：对选项A：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； 对选项B：的分子与分母没有公因式，不能约分，是最简分式； 对选项C：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； 对选项D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 3. 运城芮城永乐宫是我国经典元代古建筑，三清殿主藻井为方套八角、内接圆形的多层结构，其中间层为正八边形，则正八边形的一个内角度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式求出正八边形的内角和，再根据正八边形的每个内角相等求解即可． 【详解】解：该正八边形的内角和为， 每一个内角的度数为． 4. 如果，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、如果，则，故A不符合题意； B、如果，则，故B不符合题意； C、如果，则，即，故C不符合题意； D、如果，则，故D符合题意． 5. 运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（ ） A. 三个角的平分线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条边的垂直平分线的交点处 D. 三条高线的交点处 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：充电点到三条路的距离相等， 充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 6. 如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理解题即可． 【详解】解：A选项：， ， 又， 四边形为平行四边形， 故A选项不符合题意； B选项：， ，， 又， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 故B选项不符合题意； C选项：，， 四边形为平行四边形， 故C选项不符合题意； D选项：一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形为平行四边形， 故D选项符合题意． 7. 运城市烈士陵园是当地重要的红色教育基地，承载着革命先烈的英勇事迹，是缅怀先烈、传承红色精神的重要场所．某校八年级师生前往该烈士陵园参观学习，一部分师生乘慢车先走，过了15分钟后，其余师生乘快车出发，结果他们同时到达．已知该校距离烈士陵园，快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先统一时间单位，再根据两车的时间关系列方程，用到路程、速度、时间的关系：时间路程速度． 【详解】解：∵慢车的速度为，且快车的速度是慢车速度的倍， ∴快车速度为， 由题意得，15分钟， ∵慢车先走15分钟，两车同时到达， ∴慢车行驶时间减去先走的时间等于快车行驶时间， 又∵慢车行驶时间为，快车行驶时间为， ∴． 8. 对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的密匙值．如当时，因式分解的结果为，则的值为2，，，由此可以得到整式的密匙值为．当时，整式的密匙值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先对整式进行因式分解，确定因式个数n，再根据密匙值的定义，取，计算所有因式的和得到结果，用到初中因式分解的提公因式法与平方差公式． 【详解】解：∵ ， ∴ 分解后得到个不能再分解的非常数因式， 根据定义取， 分别计算各因式得：，，， ∴ 密匙值为． 9. 两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】①根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可判定； ②利用“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”和中点的定义，即可判断； ③利用勾股定理，可得，再根据线段之间的关系，代换即可； ④利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判定． 【详解】解：由题可知，，则， ， 是等边三角形，故①正确； ，， ， 点F是边中点， ， ，故②正确； 在中，， 则，即， 是等边三角形，点F是边中点，， ，， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则， ， ， ， ， 在中，点F是边中点， ， ， ，则， 又， 四边形是平行四边形，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，含的特殊直角三角形等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 10. 如图，中，点，分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长，交的延长线于点，然后再结合已知条件证明，根据全等三角形的性质得到，，结合是边上的中点，得到，由，得到垂直平分，则，即可求解． 【详解】解：延长，交的延长线于点， 是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，， 是边上的中点， ， ， ， 垂直平分， ， 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将点先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平移中点的坐标变化规律：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，即可求解． 【详解】解：将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 可得点的坐标为，即． 12. 有一块周长为米的长方形菜地，若米，米，且满足．则的长为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查长方形的基本性质，勾股定理，因式分解，完全平方公式，以及代数式的整体代入求值． 根据已知代数式的值以及长方形的周长，得到，，根据完全平方公式，得到，根据勾股定理，得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵长方形的周长为， ∴，即， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴在中，． 故答案为：． 13. 如图，函数，的图象交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解∶ 变形为． 由函数的图象可知，当时，函数的图象在函数的图象的上方， 关于的不等式的解集为． 14. 若是不等于2的有理数，则我们把称为的“相伴数”．例如：1的“相伴数”是．若，是的“相伴数”，是的“相伴数”，是的“相伴数”……以此类推，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相伴数的定义计算出前几个数，得到数字的循环周期，再通过计算余数确定对应周期中的位置，得到结果． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， 可知这组数每个数为一个周期循环． 计算，余数为， 因此． 15. 如图，在中，，交于点，平分，交于点，连接，．若，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，，，，则，，而，则，所以，由，，得，则，所以，则由三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 是的中位线， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解分式方程（组） （1）； （2），并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 方程两边同乘得，， 解得：， 检验：时，， ∴是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 该不等式组的解集在数轴上表示为： 17. 如图，在等腰中，，，的垂直平分线分别交于点E、D． （1）请用直尺和圆规在图中作出直线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，等腰三角形的判定与性质，准确作图是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而得到，即． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的直线；     【小问2详解】 解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 先化简：，再从0，1，2中选择一个合适的数作为代入求值． 【答案】，－1 【解析】 【详解】解：原式， ， ，， ，， ， 当时，原式． 19. 如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作，交的延长线于点，连接交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ． ， ，． 在和中， ， ． ． ， 四边形是平行四边形 （2）1 【解析】 【分析】（1）先证明得出，结合，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ． ，， ． 在中，． 设，则， ． 解得（负值舍去）， ． ． 20. 端午节是我国的传统节日，粽子是必不可少的美食．关公礼粽、老醋红枣粽是运城本地特色美食．某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子进行销售，据了解，每袋关公礼粽的单价比老醋红枣粽的单价贵3元；花1200元购进的老醋红枣粽数量是花1200元购进关公礼粽数量的1.3倍． （1）求每袋关公礼粽、老醋红枣粽的单价各是多少元； （2）该超市计划购进这两种粽子共500袋，其中关公礼粽的数量不超过老醋红枣粽数量的1.5倍．关公礼粽每袋售价19元，老醋红枣粽每袋售价15元．若这批粽子全部售出，如何进货可使获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）每袋老醋红枣粽的单价是10元，每袋关公礼粽的单价是13元 （2）购进老醋红枣粽200袋，购进关公礼粽300袋，最大利润为2800元 【解析】 【分析】（1）设每袋老醋红枣粽的单价是元，则每袋关公礼粽的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购进老醋红枣粽袋，购进关公礼粽袋，根据题意求得的范围，设利润为元，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设每袋老醋红枣粽的单价是元，则每袋关公礼粽的单价是元． 根据题意，得：． 解得：，经检验，是原方程的解． ． 答：每袋老醋红枣粽的单价是10元，每袋关公礼粽的单价是13元． 【小问2详解】 设购进老醋红枣粽袋，购进关公礼粽袋． ． ． 设利润为元，由题意得：． ， 随的增大而减小． 当时，最大值为2800，此时． 答：购进老醋红枣粽200袋，购进关公礼粽300袋，最大利润为2800元． 21. 根据以下思考，探索完成任务． 因式分解的思考 素材 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．像这样的式子可以先分组，再分解．方法如下：；． 问题解决： （1）分解因式：； （2）实际应用：运城素有“三晋粮仓”的美誉，盐湖区某村庄要在河东农田里划分一块三角形麦田种植优质小麦，工作人员实地测量出这块三角形地块的三边长依次为，，，三边满足关系式：，请你通过因式分解判断这块三角形麦田是什么形状的三角形． 【答案】（1） （2）这块三角形麦田是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解； （2）因式分解可得，进而根据，得出，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略． 22. 阅读与思考 数学课上老师出了一道与中点有关的问题，已知：如图1，在中，，，点是的中点，点在边上，，求的长．下面是小明的解题过程： 解：取的中点，连接． 点是的中点，点是的中点， 是的中位线． ，（依据1： ）． ． ． ， 在中，（依据2： ）． 反思：在解决与中点有关的问题时，当已知条件仅给出一个中点时，我们可以像小明这样再取一边中点构造中位线基本图形，也可以延长某条线段，如图2：已知，是的中点，我们可以延长至，使，构造中位线基本图形来解决问题． 根据上面的阅读材料，完成下列问题： （1）补充上面小明解题过程的空缺部分： 依据1： ； 依据2： ． （2）如图3，在等边三角形中，是内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，取的中点，连接，，． ①试探究线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，，求的长． 【答案】（1）依据1：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 依据2：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 （2）①， 证明如下： 如图，延长至点，使，连接，， 是的中点，， 是的中位线， ， 由旋转的性质得，， ，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，以及在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半定理填空即可； （2）①延长至点，使，连接，，根据旋转的性质证明是等边三角形，结合是等边三角形，利用证明，结合三角形中位线定理证明即可； ②过点作于点，在中，由勾股定理得，进而得,由勾股定理得，根据①得，即可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②如图，过点作于点， ，， ， ，， ，， ， , ， 由①得， ． 23. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 （1）如图1，当为等边三角形时，小彤发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，请写出与的数量关系，并证明； 【类比探究】 （2）小彤尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）刘老师提出新的探究方向：当是边长为2的等边三角形，且时，将绕点顺时针旋转得到，当直线与直线互相垂直时，请画出图形，并直接写出的面积． 【答案】（1）解：，理由如下： 由旋转的性质得，，， ． 为等边三角形， ． ， 在和中 ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由旋转的性质得，，， ，． ，， ． ． ． 在和中 ． ． ， ． ． ， ． ． ． 又， 四边形是平行四边形； （3）； 【解析】 【分析】（1）由旋转得，，故为等边三角形得，所以．又，证，得． （2）由旋转得，，故，．等腰直角中，得，故．又，，，证，得．由得，故，推出，结合，得四边形是平行四边形． （3）直线与第一次垂直时，旋转角．由，，得．过作，可得，故，面积为．第二次垂直时旋转角为，同理得，面积仍为．综上面积为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当直线与直线第一次垂直时，过作，交延长线于， 此时绕点顺时针旋转，即， ， ， 由题意，,，， ， ； 如图，当直线与直线第二次垂直时，过作，交于， 此时将绕点顺时针旋转，即， ， ， ； 综上，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末学业水平测试八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，提交答题卡． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 作为传承中华文脉的重要场所，博物馆的标志设计在展现传统美学底蕴的同时，也融入了精密的几何构造理念．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 运城芮城永乐宫是我国经典元代古建筑，三清殿主藻井为方套八角、内接圆形的多层结构，其中间层为正八边形，则正八边形的一个内角度数为( ) A. B. C. D. 4. 如果，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（ ） A. 三个角的平分线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条边的垂直平分线的交点处 D. 三条高线的交点处 6. 如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 运城市烈士陵园是当地重要的红色教育基地，承载着革命先烈的英勇事迹，是缅怀先烈、传承红色精神的重要场所．某校八年级师生前往该烈士陵园参观学习，一部分师生乘慢车先走，过了15分钟后，其余师生乘快车出发，结果他们同时到达．已知该校距离烈士陵园，快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的密匙值．如当时，因式分解的结果为，则的值为2，，，由此可以得到整式的密匙值为．当时，整式的密匙值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 24 9. 两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，中，点，分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将点先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则点的坐标为________． 12. 有一块周长为米的长方形菜地，若米，米，且满足．则的长为________米． 13. 如图，函数，的图象交于点，则关于的不等式的解集为________． 14. 若是不等于2的有理数，则我们把称为的“相伴数”．例如：1的“相伴数”是．若，是的“相伴数”，是的“相伴数”，是的“相伴数”……以此类推，则的值是________． 15. 如图，在中，，交于点，平分，交于点，连接，．若，，则的长是________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解分式方程（组） （1）； （2），并把它的解集表示在数轴上． 17. 如图，在等腰中，，，的垂直平分线分别交于点E、D． （1）请用直尺和圆规在图中作出直线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 18. 先化简：，再从0，1，2中选择一个合适的数作为代入求值． 19. 如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作，交的延长线于点，连接交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，，求的长． 20. 端午节是我国的传统节日，粽子是必不可少的美食．关公礼粽、老醋红枣粽是运城本地特色美食．某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子进行销售，据了解，每袋关公礼粽的单价比老醋红枣粽的单价贵3元；花1200元购进的老醋红枣粽数量是花1200元购进关公礼粽数量的1.3倍． （1）求每袋关公礼粽、老醋红枣粽的单价各是多少元； （2）该超市计划购进这两种粽子共500袋，其中关公礼粽的数量不超过老醋红枣粽数量的1.5倍．关公礼粽每袋售价19元，老醋红枣粽每袋售价15元．若这批粽子全部售出，如何进货可使获得的利润最大，最大利润是多少？ 21. 根据以下思考，探索完成任务． 因式分解的思考 素材 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．像这样的式子可以先分组，再分解．方法如下：；． 问题解决： （1）分解因式：； （2）实际应用：运城素有“三晋粮仓”的美誉，盐湖区某村庄要在河东农田里划分一块三角形麦田种植优质小麦，工作人员实地测量出这块三角形地块的三边长依次为，，，三边满足关系式：，请你通过因式分解判断这块三角形麦田是什么形状的三角形． 22. 阅读与思考 数学课上老师出了一道与中点有关的问题，已知：如图1，在中，，，点是的中点，点在边上，，求的长．下面是小明的解题过程： 解：取的中点，连接． 点是的中点，点是的中点， 是的中位线． ，（依据1： ）． ． ． ， 在中，（依据2： ）． 反思：在解决与中点有关的问题时，当已知条件仅给出一个中点时，我们可以像小明这样再取一边中点构造中位线基本图形，也可以延长某条线段，如图2：已知，是的中点，我们可以延长至，使，构造中位线基本图形来解决问题． 根据上面的阅读材料，完成下列问题： （1）补充上面小明解题过程的空缺部分： 依据1： ； 依据2： ． （2）如图3，在等边三角形中，是内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，取的中点，连接，，． ①试探究线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，，求的长． 23. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 （1）如图1，当为等边三角形时，小彤发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，请写出与的数量关系，并证明； 【类比探究】 （2）小彤尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）刘老师提出新的探究方向：当是边长为2的等边三角形，且时，将绕点顺时针旋转得到，当直线与直线互相垂直时，请画出图形，并直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $