专题2.1 命题、定理、定义（3大知识点+4大题型+强化训练）-2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义（苏教版必修第一册）

2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题2.1 命题、定理、定义 知识点一 命题 1、命题的概念：将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、分类： 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 【诠释】 1、命题两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 2、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 知识点二：命题的结构： 1、命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． 2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 【诠释】 1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 知识点三 定理、定义 1、在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 2、定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 题型一、命题的概念 【方法点拨】命题的判断方法： 判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一,是不是陈述句,第二,是否可以判断真假,这两个条件缺一不可。一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 【特别注意】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【例1】判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【答案】(1)是命题，理由见解析 (2)不是命题，理由见解析 (3)不是命题，理由见解析 (4)是命题，理由见解析 (5)是命题，理由见解析 (6)是命题，理由见解析 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能够判断它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“若，则”是陈述句， 并且．它是真的，所以它是命题． （5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． （6）“若与是无理数，则是无理数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． 【跟踪训练】 1.有下列语句，其中是命题的个数为（   ） （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【解答过程】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A. 2．下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 【答案】B 【详解】由命题是用语言、符号、式子表达，可判断真假的陈述句知：A、C、D均为命题， 对于B，无法判断真假，故不是命题； 故选：B 3．下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【详解】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 题型二、命题的改写 【方法点拨】由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论,则该命题为真命题; 由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论,则该命题为假命题。 【例2】命题“对顶角相等”的条件是 . 【答案】两个角是对顶角 【详解】命题“对顶角相等”即“若两个角是对顶角，则这两个角相等”；条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等. 故答案为：两个角是对顶角 【例3】命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 【答案】 且 【详解】命题：若，则且， 则条件p：，结论q：且. 故答案为：；且 【例4】指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】利用命题“若，则”的定义即可得解. 【详解】（1），互为相反数． （2），． （3），． 【跟踪训练】 1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】把命题改为“若，则”的形式可得答案. 【详解】把命题改为“若，则”的形式为 “若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”， 故命题的条件为“两个平面垂直于同一条直线”． 故选：D. 2.命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 【答案】 且 【分析】根据命题条件与结论相关知识直接填空. 【详解】命题：若，则且， 则条件p：，结论q：且. 故答案为：；且 3.将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【答案】答案见解析 【分析】分析出命题的条件、结论即可求解. 【详解】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数． （2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根． （3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分. 4．指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1），互为相反数． （2），． （3），． 题型三、判断命题的真假 【方法点拨】命题的分类 ①真命题：判断为真的语句；②假命题：判断为假的语句. 【例5】下列命题是假命题的有（       ） A．若，那么 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 【答案】A 【解析】 对于A，若，那么x可能不属于B，故A错误； 对于B，若，则x是集合A和B的公共元素，那么，故B正确； 对于C，若，那么，故C正确； 对于D，若，那么，故D正确． 故选：A． 【例6】对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 【跟踪训练】 1．对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【详解】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 2．下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【详解】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C 3．下列命题为真命题的是（       ） A．集合有两个子集 B．若，则 C．集合里面有6个元素 D．平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为 【答案】AD 【解析】 A：，则有2个子集，正确； B：当，则，故错误； C：的自然数元素有，而，共有无数个元素，错误； D：若点坐标为，第二象限的点有，第四象限的点有，故第二、四象限的点的集合可以表示为，正确. 故选：AD 4.下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 5.给出下列命题：①若，则方程有实数根；②若，，则；③对角线相等的四边形是矩形；④若，则、中至少有一个为0．其中真命题的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①，通过计算判别式判断，对于②，利用不等式的性质判断，对于③，举例判断，对于④，由等式的性质判断. 【详解】对于①，因为当时，，所以方程有实数根，所以①是真命题； 对于②，因为，，所以，所以②是真命题； 对于③，对角线相等的四边形可能是矩形，可能是等腰梯形，也可能是其它四边形，所以③是假命题； 对于④，由，得或，即、中至少有一个为0，所以④为真命题. 故答案为：①②④ 题型四、已知命题的真假求参数 【方法点拨】1.从给定条件出发，建立关于参数的方程、方程组；不等式、不等式组. 2.将不等式恒成立问题转化为最值问题. 【例7】设，若，则为真命题，则的取值范围是 ． 【解题思路】根据命题的真假性，得到两个范围作为集合的关系，进而求出的取值范围即可. 【解答过程】解：由题知，则为真命题， 则，故. 故答案为：. 【例8】已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，解得即可； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）解：若是真命题，则，解得， 则； （2）解：因为，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为． 【跟踪训练】 1．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 2.已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 一、选择题 1.下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D 【分析】根据命题的定义即可求解. 【详解】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D 2.在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的定义直接判断即可. 【详解】命题是可以判断真假的陈述句，对于选项①②③，均为可判断真假的陈述句，即都是命题. 故选：C. 3．给出下列四个命题： ①若a，b均是无理数，则也是无理数； ②50是10的倍数； ③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形； ④等边三角形的三个内角相等． 其中是真命题的为（       ） A．①③ B．①② C．②③ D．②④ 【答案】D 【解析】 对于①中，若均是无理数，则可能是有理数，如，， 所以①为假命题． 对于②中，由，所以是10的倍数，所以②为真命题； 对于③中，有两个角是锐角的三角形可能是钝角三角形，如三个内角分别为30°，30°，120°的三角形，所以③假命题； 对于④中，等边三角形都是，所以等边三角形的三个内角相等，所以④是真命题． 故选：D. 4．已知集合，，则下列命题中是真命题的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】 因为，，则AC选项错误； ，或，故B对，D错.故选：B. 5.下列命题中，真命题的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据不同四边形的不同性质一一判别即可求解. 【详解】对于A,如图,四边形中, ,但对角线互相垂直,所以A错误; 对于B,菱形的对角线互相垂直且平分,所以B错误; 对于C,等腰梯形的对角线相等,所以C错误; 对于D,根据平行四边形的判定定理, 对角线互相平分的四边形是平行四边形, 所以D正确. 故选:D. 6.关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】利用假设法，逐一验证不同命题为假的情况下，是否符合题意，结合一元二次方程的性质，可得答案. 【详解】由题意，假设甲与乙两个命题为真，则丙和丁两个命题一定都为假命题，不符合题意； 假设命题甲为假命题，由命题乙与命题丙为真，则方程的两个根分别为和，此时命题丁为假命题； 综上，只有命题乙为假命题，符合题意. 故选：B. 2、 多项选择题 7.给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 8．下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇数 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．所有实数的绝对值都是正数 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】ABD 【详解】若，则是奇数，故A是真命题. 对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题. 0的绝对值是0，不是正数，故C是假命题. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D是真命题. 故选：ABD. 8．命题：存在实数，使得数据的中位数为．若命题为真命题，则实数的取值集合可以为 A． B． C． D． 【答案】ABCD 【详解】根据中位数定义可知，只需，则中位数必为 选项中的取值集合均满足，均正确 故选： 【点睛】本题考查根据命题真假性求解参数范围的问题，属于基础题. 3、 填空题 9.能够说明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次为________． 【答案】，，答案不唯一，，分别取大于0，小于0的整数即可 取，，满足，但，得到命题为假命题. 故答案为：，； 10.若“”，则“”是________命题．（填：真、假） 【答案】真 【解析】∴当，一定有，故是真命题.故答案为：真． 11.在下列命题中，真命题的序号为______． ①对任意实数x，均有． ②存在实数x，使得． ③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ④如果为偶数，那么a、b均为偶数． 【答案】②③． 【解析】 ①因为时，，则对任意实数x，均有为假命题． ②因为时，，则存在实数x，使得为真命题． ③由三角形的外角的性质可知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和为真命题． ④因为满足为偶数，但a、b均不为偶数，因此如果为偶数，那么a、b均为偶数为假命题． 故答案为：②③. 12.若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是 . 【答案】且. 【分析】首先保证二次项系数不为零，再根据判别式求解. 【详解】解析由题意知, 解得：且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围问题，比较简单,只要列出满足原命题为真的条件式求解即可. 13.若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 三、解答题 14．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)菱形的两条对角线相等； (2)末位是5的整数可以被5整除； (3)是方程的根； (4)设是整数，若是2的倍数，则是16的倍数； (5)设，，为任意实数，若，则； (6)到圆心的距离等于该圆半径的直线是圆的切线． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)假命题 (5)真命题 (6)真命题 【解析】 (1)菱形的对角线不一定相等，故该命题为假命题； (2)末位是5的整数一定是5的倍数，故可以被5整除，故该命题为真命题； (3)当时，，是方程的根，故该命题为真命题； (4)设是整数，若是2的倍数，若取a=2,则 ，不是16的倍数，故该命题为假命题； (5)设，，为任意实数，若，则，故该命题为真命题； (6)若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线为圆的切线，故该命题为真命题； 15．将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断“”是否成立. (1)直角三角形的外心在斜边上； (2)有理数是实数； (3)面积相等的两个三角形全等. 【答案】(1)若一个三角形是直角三角形，则该三角形的外心在斜边上.成立 (2)若一个数是有理数，则这个数是实数.成立 (3)若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.不成立 【解析】 (1)命题改写成：若一个三角形是直角三角形，则该三角形的外心在斜边上. 由直角三角形的外心是斜边的中点，可知成立. (2)命题改写成：若一个数是有理数，则这个数是实数. 实数由有理数和无理数构成，即，可知成立. (3)命题改写成：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等. 因为两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等，故面积相等的两个三角形不一定全等，可知不成立. 16.已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案. 【详解】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即， ∴若q为真命题，实数a的取值范围为：. （2）∵为真命题，为假命题， ∴，解得. ∴. 17.已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由p为真命题，q为假命题列不等式求x的范围. 【详解】∵  命题为真命题， ∴  或 又命题为假命题，∴  或， ∴  或． 所以实数的取值范围为． 18．已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案. 【详解】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即， ∴若q为真命题，实数a的取值范围为：. （2）∵为真命题，为假命题， ∴，解得. ∴. 19．给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根； （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围； （3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）根据p为真，对进行分类讨论，即可求出a的取值范围； （2）先根据为真命题，求出的范围，再根据p与q都是假命题，求出的取值范围，再求出补集即可； （3）若p与q中有且仅有一个为真命题，则一真一假，即可求出的取值范围. 【详解】解：（1）若p为真命题，即对于任意实数都有恒成立， 当时，满足题意， 当时，则 ， 解得：， 综上所述：； （2）若为真命题，即关于的方程有实数根， 则， 解得：， 若p与q都是假命题， 则， 解得：， 若p与q中至少有一个为真命题， 则； （3）若p与q中有且仅有一个为真命题， 则或， 解得：或， 综上所述：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题2.1 命题、定理、定义 知识点一 命题 1、命题的概念：将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、分类： 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 【诠释】 1、命题两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 2、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 知识点二：命题的结构： 1、命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． 2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 【诠释】 1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 知识点三 定理、定义 1、在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 2、定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 题型一、命题的概念 【方法点拨】命题的判断方法： 判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一,是不是陈述句,第二,是否可以判断真假,这两个条件缺一不可。一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 【特别注意】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【例1】判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【跟踪训练】 1.有下列语句，其中是命题的个数为（   ） （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 3．下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 题型二、命题的改写 【方法点拨】由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论,则该命题为真命题; 由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论,则该命题为假命题。 【例2】命题“对顶角相等”的条件是 . 【例3】命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 【例4】指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【跟踪训练】 1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 2.命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 3.将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 4．指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 题型三、判断命题的真假 【方法点拨】命题的分类 ①真命题：判断为真的语句；②假命题：判断为假的语句. 【例5】下列命题是假命题的有（       ） A．若，那么 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 【例6】对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【跟踪训练】 1．对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 2．下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 3．下列命题为真命题的是（       ） A．集合有两个子集 B．若，则 C．集合里面有6个元素 D．平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为 4.下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程；②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么；④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 5.给出下列命题：①若，则方程有实数根；②若，，则；③对角线相等的四边形是矩形；④若，则、中至少有一个为0．其中真命题的序号是 ． 题型四、已知命题的真假求参数 【方法点拨】1.从给定条件出发，建立关于参数的方程、方程组；不等式、不等式组. 2.将不等式恒成立问题转化为最值问题. 【例7】设，若，则为真命题，则的取值范围是 ． 【例8】已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【跟踪训练】 1．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 2.已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 一、选择题 1.下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 2.在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． 3．给出下列四个命题： ①若a，b均是无理数，则也是无理数；②50是10的倍数； ③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等边三角形的三个内角相等． 其中是真命题的为（       ） A．①③ B．①② C．②③ D．②④ 4．已知集合，，则下列命题中是真命题的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5.下列命题中，真命题的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 6.关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2、 多项选择题 7.给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 8．下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇数 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．所有实数的绝对值都是正数 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 8．命题：存在实数，使得数据的中位数为．若命题为真命题，则实数的取值集合可以为 A． B． C． D． 3、 填空题 9.能够说明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次为________． 10.若“”，则“”是________命题．（填：真、假） 11.在下列命题中，真命题的序号为______． ①对任意实数x，均有． ②存在实数x，使得． ③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．④如果为偶数，那么a、b均为偶数． 12.若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是 . 13.若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 三、解答题 14．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)菱形的两条对角线相等； (2)末位是5的整数可以被5整除； (3)是方程的根； (4)设是整数，若是2的倍数，则是16的倍数； (5)设，，为任意实数，若，则； (6)到圆心的距离等于该圆半径的直线是圆的切线． 15．将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断“”是否成立. (1)直角三角形的外心在斜边上； (2)有理数是实数； (3)面积相等的两个三角形全等. 16.已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 17.已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 18．已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 19．给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根； （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围； （3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $