第一单元 运算关系与运算律（知识清单）数学沪教版四年级上册（新教材）

该小学数学单元复习讲义系统梳理了沪教版四年级上册“运算关系与运算律”内容，涵盖运算关系（加减乘除意义及各部分关系）、运算律（加乘交换律结合律分配律）等核心范畴，搭建了思维导图梳理+知识要点解析+典例变式训练的递进式学习支架。 清单以“知识点分级呈现+易错点专项标注”构建完整知识体系，如明确标注“减法除法各部分关系”“乘法分配律混淆”等易错点，结合错算问题典例（如加法错写加数、乘除混淆）培养抽象能力与运算能力。设计考点分类训练与变式练习，适配不同学习需求，教师可借助思维导图与分层例题高效备课，助力学生系统掌握运算核心素养。

沪教版·新教材四年级数学上册 第一单元：运算关系与运算律（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：运算关系 1、加减法的意义与关系 加法：把两个数合起来的运算。相加的两个数叫作加数，所得的数叫作和。 减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。这里的和就是被减数，已知的加数就是简述，所求的加数就是差。 减法是加法的逆运算。 2、 加减法各部分之间的关系 （1）加法各部分之间的关系： 加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数 （2） 减法各部分之间的关系： 被减数-减数=差 被减数=差+减数 减数=被减数-差 3、 乘除法的意义及关系 乘法：求几个相同加数的和，可以用乘法表示。相乘的两个数叫作乘数，所得的数叫作积。 除法：已知两个乘数的积与其中一个乘数，求另一个乘数的运算。这里的积就是被除数，已知的乘数就是除数，所求的乘数就是商。 除法是乘法的逆运算。 4、 乘除法各部分之间的关系 （1） 乘法各部分之间的关系 乘数×乘数=积 一个乘数=积÷另一个乘数 （2） 除法各部分之间的关系 被除数÷除数=商 被除数=除数×商 除数=被除数÷商 【易错点】未掌握减法、除法各部分之间的关系 把握好减法各部分之间的关系：被减数-减数=差；被减数=差+减数；减数=被减数-差。 把握好除法各部分之间的关系：被除数÷除数=商；被除数=除数×商；除数=被除数÷商。 知识点02：运算律 1、加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。分别用字母a、b表示两个加数，加法交换律表示为：a+b=b+a。 2、乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。分别用字母a、b表示两个加数，乘法交换律表示为：a×b=b×a。 3、 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，它们的和相等。分别用字母a、b、c表示三个加数，加法结合律可以表示为：（a+b）+c=a+（b+c）。 4、 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，它们的积相等。分别用字母a、b、c表示三个乘数，加法结合律可以表示为：（a×b）×c=a×（b×c）。 5、 乘法对加法的分配律 两个数的和与一个数相乘，可以把这两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，所得的结果不变。分别用字母a、b、c表示三个数，乘法对加法的分配律可以表示为：（a+b）×c=a×c+b×c。 【易错点】混淆乘法运算律 解题时，要先观察算是本身是否可以运用运算律计算，不要受数据影响错用运算律。乘法对加法的分配律是两个数的和与一个数相乘，先把它们与这个数分别相乘，再相加；两个数的积与一个数相乘时，用乘法结合律或乘法交换律使计算简便。 知识点补充：有关除法的简算 1、 除号后面添括号，去括号，括号里要变号。 a÷b÷c=a÷(b×c) a÷b×c=a÷(b÷c) 2、 除法中的分配律和逆运算： (a±b)÷c=a÷c±b÷c 除数相同时，才能提取： a÷c+b÷c=(a+b)÷c a÷c-b÷c=(a-b)÷c 考点1：加减乘除各部分之间的关系 【典型例题1】根据加减法各部分间的关系，写出另外两道算式。 (1)138＋346＝484     ________________         ________________ (2)713－426＝287     ________________         ________________ 【练习1】已知，下面四个算式中，不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【典型例题2】已知△×○＝□（△、□均不为0），下面算式正确的是（    ）。 A．□÷△＝○ B．△÷□＝○ C．□×○＝△ D．△×□＝○ 【练习2】已知☆÷27＝○，根据除法各部分间的关系，下面算式正确的是（    ）。 A．○÷27＝☆ B．○÷☆＝27 C．☆×○＝27 D．○×27＝☆ 【典型例题3】填一填。 加数 31 487 加数 386 173 和 315 594 被减数 728 591 减数 483 248 差 147 652 【练习3】用中国象棋里的车、马、炮分别表示3个不同的非零自然数，如果车＋马＝10，车－马＝2，炮÷马＝9，那么炮表示（    ）。 A．18 B．36 C．27 D．45 【典型例题4】在括号里填上合适的数。 81÷9×( )＝72    63÷（25－( )）＝9    ( )÷15＝12……10 【练习4】根据加、减、乘、除的关系在（    ）里填上合适的数。 ( )     ( ) ( )     ( ) 考点2：加减法中的错算问题 【典型例题5】小芳在做一道加法算式时，不小心将其中一个加数236写成了263，算出结果是589。这道算式正确的结果是( )。 【练习5】丽丽在做一道减法数学题时，把被减数850错看成580，减数没有看错，算出的结果是390，正确的结果是( )。 考点3：根据除法算式中各部分之间的关系解决和（差）倍问题 【典型例题6】一个减法算式中，被减数、减数与差的和是600，其中减数是124，这个算式的被减数是多少，差是多少？ 【练习6】在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是160，减数是差的3倍，差是( )。 考点4：乘除法中的错算问题 【典型例题7】小马虎把一个数乘56错写成除以56，得到的结果是15。正确的计算结果应该是( )。 【练习7】计算时，除数25错写成52，得到商是4，余数是17，正确商是（    ）。 A．8 B．9 C．10 考点5：利用运算律解决简便运算问题 【典型例题8】389＋145＋111＋55＝（389＋111）＋（145＋55）运用了（    ）。 A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 【练习8】如果＋＝10（、都不为0），那么81＋＋119＋使用简便方法计算的结果是（    ）。 A．200 B．210 C．220 D．230 【典型例题9】88×125＝8×11×125＝11×（8×125），这样计算运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 【练习9】判断：37×125×8＝37×（125×8）这是根据乘法分配律。( ) 【典型例题10】下面式子中，运用乘法分配律的是（    ）。 A．25×13×4＝25×4×13 B．48×101＝48×100＋48 C．125×8×25×4＝（125×8）×（25×4） 【练习10】下图中可以体现乘法分配律的有（    ）个。 ①简便计算 125×9×8 ＝125×8×9 ＝1000×9 ＝9000 ②求小正方形的个数 ③竖式计算 ④求28套服装的总价 方法1：（46＋54）×28 方法2：46×28＋54×28 A．1 B．2 C．3 D．4 【典型例题11】小明在计算15×（▲＋4）时，错算成了15×▲＋4，这样计算的结果与正确的结果相差（    ）。 A．60 B．56 C．66 D．15 【练习11】研学课堂计算练习：小宇计算“50×（a＋3）”时，不小心弄丢小括号，算成“50×a＋3”。请算出错误结果和正确结果相差多少，并写出思考过程。 【典型例题12】根据运算律，在里填上合适的数，在里填上合适的运算符号。 (1)（） (2)（） (3)（） 【练习12】在里填上合适的运算符号，在横线上填数或字母。 (1)577－219－177＝ (2)120÷15÷2＝120÷（ ） (3)106×a－6×a＝（ ）a (4)25×（4× ）＝（25× ）×b 【典型例题13】用简便方法计算下面各题。 101×56         214×14－14×14         844＋129＋156＋71         25×43×2×4 【练习13】脱式计算。（能简便的要简便计算） 28×36＋64×28            125×32×25 36×（200＋5）            99×38＋38 【典型例题14】用简便方法计算。 25×85×4         99×85       88×125       72×39＋72×61 【练习14】用递等式计算，能简便的要用简便方法计算。 125×16×25       75＋225÷（20－5）        （15＋15＋15＋15）×25 113×36－14×36＋36 673－36＋64             37×55＋63×（    ） （在括号里填上一个数，使它能简便计算，并计算） 考点6：运用转化法解决乘法简算问题 【典型例题15】用简便方法计算下面算式。 999×8＋111×28 【练习15】简便计算。 54×48＋28×36 考点7：除法的巧算 【典型例题16】下列算式中与“□÷△÷○”（△，○非0）一定相等的是（    ）。 A． □÷△×○ B．□÷（△÷○） C．□×△×○ D．□÷（△×○） 【练习16】计算器上数字键“3”坏了，计算1260÷36，可以用下面（    ）代替。 A．1260÷18×2 B．1260÷18÷18 C．1260÷18÷2 D．1260÷20＋1260÷16 【典型例题17】整理复习时，大家围绕着分配律在进行讨论。 (1)文文说：“其实在以前的计算中就有乘法分配律的影子”，请你举例说明。 (2)聪明的你想过吗，除法是否也有分配律？请你研究研究。 猜想：a÷（b＋c）＝a÷b＋a÷c 验证： 结论： 【练习17】计算下列各题。每小题中的两个算式结果相等的用“＝”连接，不相等的用“≠”连接。 ①15÷5＋35÷5             （15＋35）÷5 ②36÷3＋36÷6             36÷（3＋6） 【这是不是一个规律呢？请你和同伴课下探究一下吧。】 考点8：运算律在解决问题中的应用 【典型例题18】工布公园修了一条生态长廊，沿路可欣赏花、湖、竹、枫等多种风景。这条生态长廊分为四段，每段的长度如下，这条生态长廊一共长多少米？ 花海段 临湖段 翠竹段 枫林段 269米 367米 331米 233米 【练习18】为丰富同学们阅读视野，在四月读书月来临之际，育英小学为图书室添置了一批新书。其中历史类书籍240本，文学类书籍比历史类多75本，其余是科幻类书籍，科幻类书籍比文学类少155本。学校采购这批新书共有多少本？ 【典型例题19】为增强学生体质，学校积极开展“阳光大课间活动”，学校组织跳绳训练。全校共有25个班级，每个班级分成6个小队，每个小队有8名同学参加跳绳。一共有多少名同学参加活动？ 【练习19】剪纸是中国传统艺术的瑰宝，在全国剪纸艺术交流会上，共有125个队参加，每队有7个队员组成，平均每个队员准备了8件作品参加交流，共有多少件作品参加交流？ 【典型例题20】台州湾新区月湖如蓝宝石般镶嵌在东部，是台州的又一休闲胜地。月湖浅水区种有净水植物，可自然净化水质。如果在一块L型浅水区域上种植芦苇（如图），每平方米可种6~10株芦苇。 (1)这块浅水区域是多少平方米？ (2)至少需要多少株芦苇？ 【练习20】一列特快列车和一列动车同时从A城开往B城，特快列车的速度是128千米/时，动车的速度是198千米/时。经过3小时，两车之间相距多少千米？ 【典型例题21】学校要做4800面彩旗，把这个任务交给25个班，每个班有4个小组，平均每个小组要做多少面彩旗？ 【练习21】2025年春晚舞台上，机器人灵动扭秧歌的表演惊艳全场。为满足观众对前沿科技的好奇，某展览馆“五一”期间举办了机器人为主题的展览。此次展览共举办8场，每场售出125张票，共收入35000元，每张票的价格是多少元？ 一、选择题 1．已知△－○＝☐，那么下列算式正确的有（    ）个。 ①△－☐＝○  ②○＋☐＝△  ③△＋☐＝○  ④○＋☐＋△＝2个△ A．3 B．2 C．1 2．与△÷□＝○相等的式子是（      ）。 A．△×□＝○ B．○×□＝△ C．○÷□＝△ 3．145＋48＋65＝48＋（145＋65）应用了（    ）。 A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 4．在一道减法算式中，被减数、减数以及差的和是100，那么被减数是（    ）。 A．100 B．80 C．50 D．25 5．为了使计算简便，有四个小朋友想出了计算“”不同的方法，正确的有（    ）。 ①；②；③；④ A．①②④ B．③④ C．①② D．①③ 6．甲数除以乙数，商是3，余数是3，甲、乙、商及余数之和为37，那么，甲、乙各是（    ）。 A．甲：21，乙：6 B．甲：24，乙：7 C．甲：7，乙：24 D．甲：24、乙：8 二、填空题 7．在横线里填上合适的数。 81÷9×______＝45    72÷（16－______）＝9    ________÷14＝13……10 8．如果，那么( )，( )； 如果，那么( )，( )。 9．根据运算律填空。 ( )×36×4＝36×（25×4）     47×99 ＋( )＝47×（99＋1） 720÷( )÷4＝720÷（18×4）    29＋29×19＝（1＋19）×( ) 10．小胖在做减法时，把被减数178错看成187，算出错误得数93，正确得数应该是( )。 11．减法中的秘密我们一起探！倘若在一道减法算式中，被减数、减数与差的和是480，减数比差多50。根据以上信息进行分析推算，被减数是( )，减数是( )，差是( )。 三、判断题 12．一个数除以15，商是4，并且有余数，那么这个数最大应是61。( ) 13．35300÷3200=353÷32=11......1                ( ) 14．因为48×8＋48×4＝48×（8＋4），所以48÷8＋48÷4＝48÷（8＋4）。( ) 15．淘气把8×（3＋□）错算成3＋8×□，结果与正确答案相差21。( ) 16．算式8×（125＋6）进行简便计算时，可以变式为8×125＋6。( ) 17．125×25×8×4＝（125×8）＋（25×4）。( ) 18．。( ) 四、计算题 19．怎样算简便就怎样算。 52＋178＋148＋22         26×103           125×25×8×4 638－（177＋238） 18×101－18         （125－50）×8 20．递等式计算（能简便计算的要简便计算）。 （125＋375）÷20×50     304＋（759＋96）＋1141      6630÷13＋6630÷17 66×64＋33×64＋64 808×125        8400÷[（1423－998）÷17＋45] 21．递等式计算。 69＋18＋31＋82                 516－56－44－16         99×45                        25×17×4   60×45－45×45＋85×45       2239＋239×999 22．递等式计算。 137＋62×5           602＋3×875         39×98＋2×39 24×（195－187） 2000－619－281         444×111＋222×778 23．递等式计算，写出必要的计算过程，能简便的要用简便方法计算                                         24．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 67×101         24×175＋500÷25         189－57＋11－43 3700÷25÷4  67×24－24×62        420÷[205－198）×4] 77×88×99÷1331    19＋199＋1999＋20003        888×999÷222÷333 五、解答题 25．红小豆作为我国重要的传统食用豆类作物，具有营养价值高、能固氮改良土壤等特性。四个盘子里红小豆的数量如下表，这四个盘子里一共有多少颗红小豆？（用简便方法计算） 第一盘 第二盘 第三盘 第四盘 387颗 234颗 366颗 413颗 26．学校为四年级学生准备六一儿童节礼品，每个班领取25盒彩笔，每盒有12支。四年级共有4个班，一共准备了多少支彩笔？如果有1000支彩笔，够分给所有同学吗？ 27．周末，两个好朋友小刚和小强约好一起去博物馆，小刚的速度是72米/分，小强的速度是69米/分。 (1)他们同时从家出发，经过16分钟后，两人同时到达博物馆，他们两家相距多少米？ (2)两人同时从博物馆去公园，步行速度不变。12分钟后，小刚先到达公园，这时小强离公园还有多少米？ 28．小丽今年11岁，是四口人中年龄最小的。小丽妈妈买了一包400克的食盐，这袋食盐一家四口人共吃了25天，请问小丽家平均每人每天食盐摄入量超标了吗？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版·新教材四年级数学上册 第一单元：运算关系与运算律（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：运算关系 1、加减法的意义与关系 加法：把两个数合起来的运算。相加的两个数叫作加数，所得的数叫作和。 减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。这里的和就是被减数，已知的加数就是简述，所求的加数就是差。 减法是加法的逆运算。 2、 加减法各部分之间的关系 （1）加法各部分之间的关系： 加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数 （2） 减法各部分之间的关系： 被减数-减数=差 被减数=差+减数 减数=被减数-差 3、 乘除法的意义及关系 乘法：求几个相同加数的和，可以用乘法表示。相乘的两个数叫作乘数，所得的数叫作积。 除法：已知两个乘数的积与其中一个乘数，求另一个乘数的运算。这里的积就是被除数，已知的乘数就是除数，所求的乘数就是商。 除法是乘法的逆运算。 4、 乘除法各部分之间的关系 （1） 乘法各部分之间的关系 乘数×乘数=积 一个乘数=积÷另一个乘数 （2） 除法各部分之间的关系 被除数÷除数=商 被除数=除数×商 除数=被除数÷商 【易错点】未掌握减法、除法各部分之间的关系 把握好减法各部分之间的关系：被减数-减数=差；被减数=差+减数；减数=被减数-差。 把握好除法各部分之间的关系：被除数÷除数=商；被除数=除数×商；除数=被除数÷商。 知识点02：运算律 1、加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。分别用字母a、b表示两个加数，加法交换律表示为：a+b=b+a。 2、乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。分别用字母a、b表示两个加数，乘法交换律表示为：a×b=b×a。 3、 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，它们的和相等。分别用字母a、b、c表示三个加数，加法结合律可以表示为：（a+b）+c=a+（b+c）。 4、 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，它们的积相等。分别用字母a、b、c表示三个乘数，加法结合律可以表示为：（a×b）×c=a×（b×c）。 5、 乘法对加法的分配律 两个数的和与一个数相乘，可以把这两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，所得的结果不变。分别用字母a、b、c表示三个数，乘法对加法的分配律可以表示为：（a+b）×c=a×c+b×c。 【易错点】混淆乘法运算律 解题时，要先观察算是本身是否可以运用运算律计算，不要受数据影响错用运算律。乘法对加法的分配律是两个数的和与一个数相乘，先把它们与这个数分别相乘，再相加；两个数的积与一个数相乘时，用乘法结合律或乘法交换律使计算简便。 知识点补充：有关除法的简算 1、 除号后面添括号，去括号，括号里要变号。 a÷b÷c=a÷(b×c) a÷b×c=a÷(b÷c) 2、 除法中的分配律和逆运算： (a±b)÷c=a÷c±b÷c 除数相同时，才能提取： a÷c+b÷c=(a+b)÷c a÷c-b÷c=(a-b)÷c 考点1：加减乘除各部分之间的关系 【典型例题1】根据加减法各部分间的关系，写出另外两道算式。 (1)138＋346＝484     ________________         ________________ (2)713－426＝287      ________________         ________________ 【答案】(1)484－138＝346；484－346＝138 (2)713－287＝426；287＋426＝713 【分析】（1）在加法算式中：和＝加数＋加数，因此一个加数＝和－另一个加数； （2）在减法算式中：差＝被减数－减数，因此减数＝被减数－差，被减数＝减数＋差。 【详解】（1）138＋346＝484 484－138＝346 484－346＝138 （2）713－426＝287 713－287＝426 287＋426＝713 【练习1】已知，下面四个算式中，不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在减法算式中，被减数－减数＝差，由此可得：被减数－差＝减数，差＋减数＝被减数。已知 ，其中60是被减数，是减数，36是差。 【详解】A．，符合“被减数－差＝减数”的关系，此选项正确； B．，符合“差＋减数＝被减数”的关系，此选项正确； C．，表示“减数－差＝被减数”，不符合减法各部分间的关系，此选项错误； D．由 可知，，符合等量关系，此选项正确。 【典型例题2】已知△×○＝□（△、□均不为0），下面算式正确的是（    ）。 A．□÷△＝○ B．△÷□＝○ C．□×○＝△ D．△×□＝○ 【答案】A 【分析】已知乘法算式，其中和是因数，是积。根据“积一个因数＝另一个因数”的关系进行判断。 【详解】已知，且、均不为。在此算式中，和是因数，是积。根据乘除法各部分间的关系：积一个因数＝另一个因数。可得：或。 A.，符合积除以一个因数等于另一个因数，此选项正确； B.，是用因数除以积，不符合乘除法各部分间的关系，此选项错误； C.，是用积乘因数，不符合乘除法各部分间的关系，此选项错误； D.，是用因数乘积，不符合乘除法各部分间的关系，此选项错误。 【练习2】已知☆÷27＝○，根据除法各部分间的关系，下面算式正确的是（    ）。 A．○÷27＝☆ B．○÷☆＝27 C．☆×○＝27 D．○×27＝☆ 【答案】D 【分析】根据被除数÷除数＝商，商×除数＝被除数，被除数÷商＝除数，据此解答。 【详解】根据☆÷27＝○，可得：☆÷○＝27，○×27＝☆； 所以算式正确的是○×27＝☆。 【典型例题3】填一填。 加数 31 487 加数 386 173 和 315 594 被减数 728 591 减数 483 248 差 147 652 【答案】284；208；660； 245；444；900 【分析】根据：加数＋加数＝和，和－一个加数＝另一个加数，被减数－减数＝差，被减数－差＝减数，差＋减数＝被减数，计算填空。 【详解】315－31＝284；594－386＝208；487＋173＝660； 728－483＝245；591－147＝444；652＋248＝900 【练习3】用中国象棋里的车、马、炮分别表示3个不同的非零自然数，如果车＋马＝10，车－马＝2，炮÷马＝9，那么炮表示（    ）。 A．18 B．36 C．27 D．45 【答案】B 【分析】根据题意，车与马的和是10，差是2，求出马代表的数：较小数＝（和－差）÷2 。已知炮÷马＝9，根据除法各部分间关系，被除数＝商×除数。求出炮代表的数。 【详解】（10－2）÷2 ＝8÷2 ＝4 此时车代表的数为10－4＝6，车、马均为非零自然数且不相等。 4×9＝36。 36是非零自然数，且与车、马代表的数不同，符合题意。 【典型例题4】在括号里填上合适的数。 81÷9×( )＝72    63÷（25－( )）＝9   ( )÷15＝12……10 【答案】 8； 18； 190 【分析】（1）把算式简化为9×（      ）＝72，根据“一个因数＝积÷另一个因数”即可求解。 （2）先根据“除数＝被除数÷商”求出25－（   ）的值，再根据“减数＝被减数－差”求出括号里的值。 （3）根据“被除数＝除数×商＋余数”即可求解。 【详解】（1）81÷9×□＝72   9×□＝72 □＝72÷9 □＝8      （2）63÷（25－□）＝9 25－□＝63÷9 25－□＝7 □＝25－7 □＝18          （3）□÷15＝12……10 □＝15×12＋10＝180＋10＝190 【练习4】根据加、减、乘、除的关系在（    ）里填上合适的数。 ( )     ( ) ( )     ( ) 【答案】 510 2 14 184 【分析】①加数＋加数＝和；知道一个加数与它们的和，求另一个加数，用减法计算； ②算式中有减法有乘法，先算乘法再算减法；观察算式结果为0，则乘法结果等于72，根据，计算即可； ③根据，计算即可； ④根据，计算即可。 【详解】①； ②； ③； ④ ＝ ＝184 考点2：加减法中的错算问题 【典型例题5】小芳在做一道加法算式时，不小心将其中一个加数236写成了263，算出结果是589。这道算式正确的结果是( )。 【答案】562 【分析】因为错误的计算是用写错的加数263算出结果589，根据“和－一个加数＝另一个加数”，就可以求出另一个加数为589－263。求出另一个加数后，再用它加上正确的加数236，就能得到这道算式正确的结果。 【详解】589－263＝326 326＋236＝562 这道算式正确的结果是562。 【练习5】丽丽在做一道减法数学题时，把被减数850错看成580，减数没有看错，算出的结果是390，正确的结果是( )。 【答案】660 【分析】被减数－减数＝差，要求减数，则用错误的被减数－错误的差计算；进而计算出正确的结果。 【详解】减数：580－390＝190； 正确的结果：850－190＝660。 考点3：根据除法算式中各部分之间的关系解决和（差）倍问题 【典型例题6】一个减法算式中，被减数、减数与差的和是600，其中减数是124，这个算式的被减数是多少，差是多少？ 【答案】300；176 【分析】根据减法各部分间的关系：被减数＝减数＋差。已知被减数、减数与差的和是600，将减数代入，从而求出被减数；再根据差＝被减数－减数，求出差。 【详解】因为300＋300=600，所以被减数是300； 300－124＝176 答：这个算式的被减数是300，差是176。 【练习6】在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是160，减数是差的3倍，差是( )。 【答案】20 【分析】根据被减数－减数＝差，可得差＋减数＝被减数，所以160是被减数的2倍，160除以2就是被减数；减数是差的3倍，那么差加减数即被减数，就是差的（3＋1）倍，用被减数除以（3＋1）即可求出差。 【详解】被减数是：160÷2＝80 差是：80÷（3＋1） ＝80÷4 ＝20 考点4：乘除法中的错算问题 【典型例题7】小马虎把一个数乘56错写成除以56，得到的结果是15。正确的计算结果应该是( )。 【答案】47040 【分析】把一个数乘56错写成除以56，得到的结果是15，先按错误的顺序计算找到被除数，也就是正确算式的因数。一个数除以56等于15，利用56×15计算出这个数，再用这个数乘56计算出正确的结果。 【详解】56×15＝840，840×56＝47040，正确的计算结果应该是47040。 【练习7】计算时，除数25错写成52，得到商是4，余数是17，正确商是（    ）。 A．8 B．9 C．10 【答案】B 【分析】这里要运用逆向思维，将错就错，首先是把除数就当作是52，根据被除数＝除数×商+余数，求出被除数是多少，然后算出正确的商。 【详解】52×4＋17 ＝208＋17 ＝225 225÷25＝9 故答案为：B 考点5：利用运算律解决简便运算问题 【典型例题8】389＋145＋111＋55＝（389＋111）＋（145＋55）运用了（    ）。 A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 【答案】C 【分析】加法交换律是指两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为a＋b＝b＋a；加法结合律是指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示为（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。观察题中等式左右两边加数的位置和运算顺序的变化，判断运用的运算定律。 【详解】等式左边是389＋145＋111＋55，是按照从左往右的顺序依次相加；等式右边是（389＋111）＋（145＋55），是先把389和111结合起来相加，再把145和55结合起来相加。整个计算过程中145和111的位置发生了交换，同时也改变了运算顺序，添加了括号先把389和111相加，145和55相加，所以运用了加法交换律和加法结合律。 【练习8】如果＋＝10（、都不为0），那么81＋＋119＋使用简便方法计算的结果是（    ）。 A．200 B．210 C．220 D．230 【答案】B 【分析】加法结合律是指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。加法交换律是指两个数相加，交换加数的位置，和不变；据此解答。 【详解】81＋＋119＋ ＝（81＋119）＋（＋） ＝200＋10 ＝210 所以81＋＋119＋使用简便方法计算的结果是210。 【典型例题9】88×125＝8×11×125＝11×（8×125），这样计算运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 【答案】C 【分析】观察算式从到的变形过程。首先将88分解为，此时算式变为；接着观察到因数11与8的位置发生了交换，且因数8与125被结合在一起优先计算。位置的交换体现了乘法交换律，改变运算顺序（加括号）体现了乘法结合律。 【详解】根据分析可知， 88×125＝8×11×125＝11×（8×125）运用了乘法交换律和结合律。 【练习9】判断：37×125×8＝37×（125×8）这是根据乘法分配律。( ) 【答案】× 【分析】乘法结合律：a×b×c＝a×（b×c），据此解答。 【详解】根据分析可知，37×125×8＝37×（125×8）这是根据乘法结合律。 故答案为：× 【典型例题10】下面式子中，运用乘法分配律的是（    ）。 A．25×13×4＝25×4×13 B．48×101＝48×100＋48 C．125×8×25×4＝（125×8）×（25×4） 【答案】B 【分析】乘法分配律的定义是：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母表示为。观察各选项算式的结构特征，判断是否符合乘法分配律的形式。 【详解】A．，交换了因数13和4的位置，运用的是乘法交换律，此选项错误。 B．，将101拆分为100＋1，分别与48相乘后再相加，符合乘法分配律的结构特征，此选项正确。 C．，将因数分组相乘，运用的是乘法结合律，此选项错误。 【练习10】下图中可以体现乘法分配律的有（    ）个。 ①简便计算 125×9×8 ＝125×8×9 ＝1000×9 ＝9000 ②求小正方形的个数 ③竖式计算 ④求28套服装的总价 方法1：（46＋54）×28 方法2：46×28＋54×28 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据乘法分配律的意义，两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变；据此分析各项即可。 【详解】①125×8＝1000，根据乘法交换律和结合律，将式子写成125×8×9，先算125×8，再乘9。 ②从图中可以看出，小正方形的排列可以看作是3行，每行有（4＋6）个小正方形。小正方形的总数为3×（4＋6）。还可以看作，右边有3×4个小正方形，左边有3×6个小正方形，求总数列式为3×4＋3×6，也就是把3分别与4和6相乘再相加。3×（4＋6）＝3×4＋3×6，体现了乘法分配律。 ③在竖式计算中，把28看成（20＋8），先用28的个位数字8去乘107，得到107×8；再用28的十位数字2（表示20）去乘107，得到107×20，最后把这两个积相加，107×28＝107×（20＋8）＝107×20＋107×8，体现了乘法分配律。 ④从图中可知，一种方法是先算出一套服装的价格（46＋54）元，再乘套数28，列式为（46＋54）×28。另一种方法是分别算出两种衣服的总价再相加，即46×28＋54×28。（46＋54）×28＝46×28＋54×28，这里体现了乘法分配律。 ②③④都运用了乘法分配律，有3个。 【典型例题11】小明在计算15×（▲＋4）时，错算成了15×▲＋4，这样计算的结果与正确的结果相差（    ）。 A．60 B．56 C．66 D．15 【答案】B 【分析】根据乘法分配律，两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。正确的算式应将分别乘括号内的和，错误的算式只将与相乘。通过对比两个算式展开后的结果，即可计算出它们的差值。 【详解】正确的算式展开为： 错误的算式为： 计算两个结果的差： 所以，这样计算的结果与正确的结果相差。 【练习11】研学课堂计算练习：小宇计算“50×（a＋3）”时，不小心弄丢小括号，算成“50×a＋3”。请算出错误结果和正确结果相差多少，并写出思考过程。 【答案】147；50×（a＋3）＝50×a＋150，50×a＋150和50×a＋3两个算式都含有，相差的数值为：。 【分析】解题关键在于分别写出正确的算式和错误的算式，利用乘法分配律将正确算式展开，通过对比两个算式的结构，找出不变的部分和变化的部分，从而计算出相差的数值。 【详解】正确的算式为： 根据乘法分配律，正确结果展开为： 错误的算式为： 对比正确结果和错误结果，两部分都含有， 相差的数值为： 答：错误结果和正确结果相差147。 【典型例题12】根据运算律，在里填上合适的数，在里填上合适的运算符号。 (1)（） (2)（） (3)（） 【答案】(1)－；61；＋；139； (2)322；×；105；－；5； (3)25；×；4 【分析】（1）一个数连续减两个数，等于这个数减去两个减数的和，因此把后两个减数相加，再用被减数减去它们的和。 （2）利用乘法分配律逆用：两个数分别乘同一个数再作差，可以提取相同的乘数，先把另外两个数作差，再乘乘数。 （3）利用连除的性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以两个除数的积，因此把两个除数相乘，再用被除数除以它们的积。 【详解】【小题1】767－61－139＝767－（61＋139） 【小题2】322×105－322×5＝322×（105－5） 【小题3】600÷25÷4＝600÷（25×4） 【练习12】在里填上合适的运算符号，在横线上填数或字母。 (1)577－219－177＝__________________ (2)120÷15÷2＝120÷（____________） (3)106×a－6×a＝（____________）a (4)25×（4×______）＝（25×______）×b 【答案】(1)577；－；177；－；219 (2)15；×；2 (3)106；－；6；× (4)b；4 【分析】（1）一个数连续减去两个数，可以先减去后面的一个数，再减去前面的一个数； （2）一个数连续除以两个数，等于这个数除以后面两个数的积； （3）计算106×a－6×a时，应用乘法分配律，先算106－6＝100，然后再乘a； （4）计算25×（4×b）时，应用乘法结合律，把（25×4）结合在一起先计算，然后再乘b。 【详解】（1）577－219－177 ＝577－177－219 （2）120÷15÷2 ＝120÷（15×2） （3）106×a－6×a ＝（106－6）×a （4）25×（4×b） ＝（25×4）×b 【典型例题13】用简便方法计算下面各题。 101×56         214×14－14×14         844＋129＋156＋71        25×43×2×4 【答案】5656；2800；1200；8600 【分析】（1）将101拆分为（100＋1），再利用乘法分配律进行简算； （2）利用乘法分配律的逆运算进行简算； （3）根据加法交换律交换129和156的位置，再利用加法结合律简算； （4）根据乘法交换律交换43和4的位置，再利用乘法结合律简算。 【详解】101×56 ＝（100＋1）×56 ＝100×56＋1×56 ＝5600＋56 ＝5656 214×14－14×14 ＝（214－14）×14 ＝200×14 ＝2800 844＋129＋156＋71 ＝844＋156＋129＋71 ＝（844＋156）＋（129＋71） ＝1000＋200 ＝1200 25×43×2×4 ＝25×4×43×2 ＝（25×4）×（43×2） ＝100×86 ＝8600 【练习13】脱式计算。（能简便的要简便计算） 28×36＋64×28           125×32×25 36×（200＋5）           99×38＋38 【答案】2800；100000； 7380；3800 【分析】（1）利用乘法分配律进行简便计算。 （2）先将32转化为（8×4），再利用乘法结合律进行简便计算。 （3）利用乘法分配律进行简便计算。 （4）先利用“添1”法，将式子变为99×38＋38×1，再利用乘法分配律进行简便计算。 【详解】28×36＋64×28 ＝28×（36＋64） ＝28×100 ＝2800 125×32×25 ＝125×（8×4）×25 ＝（125×8）×（4×25） ＝1000×100 ＝100000 36×（200＋5） ＝36×200＋36×5 ＝7200＋180 ＝7380 99×38＋38 ＝99×38＋38×1 ＝38×（99＋1） ＝38×100 ＝3800 【典型例题14】用简便方法计算。 25×85×4        99×85      88×125      72×39＋72×61 【答案】8500；8415；11000；7200 【分析】25×85×4根据乘法交换律变成25×4×85即可。 99×85先写成（100－1）×85，再根据乘法分配律变成100×85－85×1进行简便计算。 88×125先写成11×8×125，再根据乘法结合律变成11×（8×125）使得计算简便。 72×39＋72×61根据乘法分配律变成72×（39＋61）进行简便计算。 【详解】25×85×4 ＝25×4×85 ＝100×85 ＝8500 99×85 ＝（100－1）×85 ＝100×85－85×1 ＝8500－85 ＝8415 88×125 ＝11×8×125 ＝11×（8×125） ＝11×1000 ＝11000 72×39＋72×61 ＝72×（39＋61） ＝72×100 ＝7200 【练习14】用递等式计算，能简便的要用简便方法计算。 125×16×25       75＋225÷（20－5）     （15＋15＋15＋15）×25 113×36－14×36＋36   673－36＋64         37×55＋63×（    ）（在括号里填上一个数，使它能简便计算，并计算） 【答案】50000；90；1500； 3600；701；5500 【分析】把16拆成8×2，利用乘法结合律简便计算； 先算括号里的减法，再算除法，最后算加法； 先把4个15相加写成15×4，再利用乘法结合律简便计算； 先将36 写成1×36的形式，利用乘法分配律的逆运算简便计算； 先算673加64，再减36使计算简便； 要使算式能简便计算，括号里填55，再利用乘法分配律简便计算。 【详解】125×16×25 ＝125×（8×2）×25 ＝（125×8）×（2×25） ＝1000×50 ＝50000 75＋225÷（20－5） ＝75＋225÷15 ＝75＋15 ＝90 （15＋15＋15＋15）×25 ＝15×4×25 ＝15×（4×25） ＝15×100 ＝1500 113×36－14×36＋36 ＝113×36－14×36＋1×36 ＝（113－14＋1）×36 ＝100×36 ＝3600 673－36＋64 ＝673＋64－36 ＝737－36 ＝701 37×55＋63×55 ＝（37＋63）×55 ＝100×55 ＝5500 考点6：运用转化法解决乘法简算问题 【典型例题15】用简便方法计算下面算式。 999×8＋111×28 【答案】11100 【分析】观察算式，999和111有倍数关系，999＝111×9，将999×8转化为111×9×8＝111×72，然后与111×28提取公因数111，用乘法分配律简算。 【详解】999×8＋111×28 ＝111×9×8＋111×28 ＝111×72＋111×28 ＝111×（72＋28） ＝111×100 ＝11100 【练习15】简便计算。 54×48＋28×36 【答案】3600 【分析】先将54×48拆分成（6×9）×（6×8），根据乘法交换律和结合律，将（6×9）×（6×8）变形成（6×6）×（9×8），即36×72；原式转化为36×72＋28×36，再运用乘法分配律提取相同因数进行简便计算。 【详解】54×48＋28×36 ＝（6×9）×（6×8）＋28×36 ＝（6×6）×（9×8）＋28×36 ＝36×72＋28×36 ＝36×（72＋28） ＝36×100 ＝3600 考点7：除法的巧算 【典型例题16】下列算式中与“□÷△÷○”（△，○非0）一定相等的是（    ）。 A．□÷△×○ B．□÷（△÷○） C．□×△×○ D．□÷（△×○） 【答案】D 【分析】“一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积”。根据该性质将题干中的算式□÷△÷○进行变形，再与各个选项进行对比。 【详解】根据除法的性质可知：□÷△÷○＝□÷（△×○）。 【练习16】计算器上数字键“3”坏了，计算1260÷36，可以用下面（    ）代替。 A．1260÷18×2 B．1260÷18÷18 C．1260÷18÷2 D．1260÷20＋1260÷16 【答案】C 【分析】根据除法的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的乘积。把36拆分成18×2，这样就不会使用数字键“3”，据此解答即可。 【详解】1260÷36 ＝1260÷（18×2） ＝1260÷18÷2 计算器上数字键“3”坏了，计算1260÷36，可以用下面1260÷18÷2代替。 【典型例题17】整理复习时，大家围绕着分配律在进行讨论。 (1)文文说：“其实在以前的计算中就有乘法分配律的影子”，请你举例说明。 (2)聪明的你想过吗，除法是否也有分配律？请你研究研究。 猜想：a÷（b＋c）＝a÷b＋a÷c 验证： 结论： 【答案】(1)举例：（答案不唯一） (2)结论：除法没有这样的分配律 【分析】（1）根据乘法分配律的公式，要举例说明之前计算中乘法分配律的应用，所以可从多位数乘法中找符合该公式形式的计算实例。（答案不唯一） （2）首先明确验证猜想是否成立的核心方法是举反例，因为如果存在一组满足除数不为0的数值代入等式两边，计算结果不相等，那么该猜想就不成立。 【详解】（1）举例： 这体现了乘法分配律的思想。（答案不唯一） （2）验证猜想： 假设，，。 等式左边： 等式右边： 因为，所以等式不成立。 结论：除法没有这样的分配律。 【练习17】计算下列各题。每小题中的两个算式结果相等的用“＝”连接，不相等的用“≠”连接。 ①15÷5＋35÷5            （15＋35）÷5 ②36÷3＋36÷6             36÷（3＋6） 【这是不是一个规律呢？请你和同伴课下探究一下吧。】 【答案】①10；10；15÷5＋35÷5＝（15＋35）÷5 ②18；4；36÷3＋36÷6≠36÷（3＋6） 规律：除数相同时，两个数分别除以同一个数，再相加等于两个数的和除以这个除数；被除数相同，但除数不同时，不能把除数加起来再用被除数去除； 【分析】四则运算的顺序：在一个没有括号的算式里，如果只含同一级运算，按照从左往右的顺序依次计算；如果含有两级运算，要先算乘除法，再算加减法；在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，再算小括号外的； 规律，通过①发现除数相同时，两个数分别除以同一个数，再相加等于两个数的和除以这个除数； 通过②发现被除数相同，但除数不同时，不能把除数加起来再用被除数去除。 【详解】①15÷5＋35÷5 ＝3＋7 ＝10   （15＋35）÷5 ＝50÷5 ＝10   15÷5＋35÷5＝（15＋35）÷5 ②36÷3＋36÷6 ＝12＋6 ＝18   36÷（3＋6） ＝36÷9 ＝4   36÷3＋36÷6≠36÷（3＋6） 规律：除数相同时，两个数分别除以同一个数，再相加等于两个数的和除以这个除数；被除数相同，但除数不同时，不能把除数加起来再用被除数去除； 举例验证： 24÷4＋16÷4 ＝6＋4 ＝10 （24＋16）÷4 ＝40÷4 ＝10 24÷4＋16÷4＝（24＋16）÷4 40÷1＋40÷4 ＝40＋10 ＝50 40÷（1＋4） ＝40÷5 ＝8 40÷1＋40÷4≠40÷（1＋4） 考点8：运算律在解决问题中的应用 【典型例题18】工布公园修了一条生态长廊，沿路可欣赏花、湖、竹、枫等多种风景。这条生态长廊分为四段，每段的长度如下，这条生态长廊一共长多少米？ 花海段 临湖段 翠竹段 枫林段 269米 367米 331米 233米 【答案】1200米 【分析】根据题意，将这四段长度加在一起即可；计算时，可根据加法交换律和结合律简算。 【详解】269＋367＋331＋233 ＝（269＋331）＋（367＋233） ＝600＋600 ＝1200（米） 答：这条生态长廊一共长1200米。 【练习18】为丰富同学们阅读视野，在四月读书月来临之际，育英小学为图书室添置了一批新书。其中历史类书籍240本，文学类书籍比历史类多75本，其余是科幻类书籍，科幻类书籍比文学类少155本。学校采购这批新书共有多少本？ 【答案】 715本 【分析】根据题意，用历史类书籍加上75本求出文学类书籍的本数，用文学类书籍的本数减去155本求出科幻类书籍的本数；最后将这三种书籍的本数加在一起即可；计算时可根据加法交换律和结合律简算。 【详解】240＋75＝315（本） 315－155＝160（本） 240＋315＋160 ＝（240＋160）＋315 ＝400＋315 ＝715（本） 答：学校采购这批新书共有715本。 【典型例题19】为增强学生体质，学校积极开展“阳光大课间活动”，学校组织跳绳训练。全校共有25个班级，每个班级分成6个小队，每个小队有8名同学参加跳绳。一共有多少名同学参加活动？ 【答案】1200名 【分析】根据题意，先用25乘6，求出全校一共有多少个小队；再乘8，求出参加活动的总人数；计算时根据乘法交换律，进行简便计算即可。 【详解】25×6×8 ＝25×8×6 ＝200×6 ＝1200（名） 答：一共有1200名同学参加活动。 【练习19】剪纸是中国传统艺术的瑰宝，在全国剪纸艺术交流会上，共有125个队参加，每队有7个队员组成，平均每个队员准备了8件作品参加交流，共有多少件作品参加交流？ 【答案】7000件 【分析】首先用每队队员的人数×总队数计算出一共有多少个队员，然后再乘平均每个队员准备的件数即可，计算时可以通过交换数的位置进行简算。 【详解】125×7×8 ＝125×8×7 ＝1000×7 ＝7000（件） 答：共有7000件作品参加交流。 【典型例题20】台州湾新区月湖如蓝宝石般镶嵌在东部，是台州的又一休闲胜地。月湖浅水区种有净水植物，可自然净化水质。如果在一块L型浅水区域上种植芦苇（如图），每平方米可种6~10株芦苇。 (1)这块浅水区域是多少平方米？ (2)至少需要多少株芦苇？ 【答案】(1)440平方米 (2)2640株 【分析】（1）如下图： 左边区域是一个长21米、宽11米的长方形，右边区域是一个长19米、宽11米的长方形，再利用长方形面积＝长×宽，分别计算各自面积后相加即可；计算时，利用乘法分配律可以简算。 （2）根据题意可知，每平方米最少可种6株芦苇，用这块浅水区域的面积乘6，即可求出至少需要多少株芦苇。 【详解】（1）21×11＋19×11 ＝（21＋19）×11 ＝40×11 ＝440（平方米） 答：这块浅水区域是440平方米。 （2）440×6＝2640（株） 答：至少需要2640株芦苇。 【练习20】一列特快列车和一列动车同时从A城开往B城，特快列车的速度是128千米/时，动车的速度是198千米/时。经过3小时，两车之间相距多少千米？ 【答案】210千米 【分析】两车同时同向出发，两车之间的距离等于快车行驶的路程减去慢车行驶的路程。因为行驶时间相同，可以根据乘法分配律，先求出两车的速度差，再乘行驶时间，这样计算更简便。 【详解】经过3小时，两车之间相距多少千米： 198×3－128×3 ＝（198－128）×3 ＝70×3 ＝210（千米） 答：经过3小时，两车之间相距210千米。 【典型例题21】学校要做4800面彩旗，把这个任务交给25个班，每个班有4个小组，平均每个小组要做多少面彩旗？ 【答案】48面 【分析】根据题意，要求平均每个小组要做多少面彩旗，可以用彩旗的总面数依次除以班级数量和每个班的小组数量，也可以先求出总共有多少个小组，再用总面数除以总小组数。观察到除数25和4的积是整百数，利用除法的运算性质 进行简便计算。 【详解】 （面） 答：平均每个小组要做48面彩旗。 【练习21】2025年春晚舞台上，机器人灵动扭秧歌的表演惊艳全场。为满足观众对前沿科技的好奇，某展览馆“五一”期间举办了机器人为主题的展览。此次展览共举办8场，每场售出125张票，共收入35000元，每张票的价格是多少元？ 【答案】35元 【分析】展览共举办8场，共收入35000元，用总收入÷总场数得到每场收入多少元，列式为35000÷8，每场售出125张票，用每场总收入除以每场售出的票数得到每张票的价格是多少元，用35000÷8÷125表示，运用除法性质进行简便运算即可。 【详解】35000÷8÷125 ＝35000÷（8×125） ＝35000÷1000 ＝35（元） 答：每张票的价格是35元。 一、选择题 1．已知△－○＝☐，那么下列算式正确的有（    ）个。 ①△－☐＝○  ②○＋☐＝△  ③△＋☐＝○  ④○＋☐＋△＝2个△ A．3 B．2 C．1 【答案】A 【分析】已知减法算式△－○＝☐，根据“被减数－减数＝差”，可知是被减数，○是减数，☐是差。利用减法各部分间的关系：被减数－差＝减数，减数＋差＝被减数，对四个算式逐项进行判断，统计正确的个数即可选择。 【详解】已知，其中是被减数，是减数，是差。 ①，根据“被减数－差＝减数”，此选项正确。 ②，根据“减数＋差＝被减数”，此选项正确。 ③，不符合减法各部分间的关系，此选项错误。 ④个，因为，所以个，此选项正确。 综上所述，正确的算式有①、②、④，共3个。 2．与△÷□＝○相等的式子是（      ）。 A．△×□＝○ B．○×□＝△ C．○÷□＝△ 【答案】B 【分析】根据除法算式中各部分的名称及关系：被除数除数商，商除数被除数，被除数商除数，据此对选项进行分析判断。 【详解】在算式△÷□＝○中，△是被除数，□是除数，○是商。 根据除法各部分间的关系可知：商除数被除数，即○×□＝△。 3．145＋48＋65＝48＋（145＋65）应用了（    ）。 A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 【答案】C 【分析】在连加运算中，为了方便运算，可以采用加法交换律，交换加数的位置，和不变，也可以采用加法结合律，可以先把前两个数相加，也可以先把后两个数相加。 【详解】145＋48＋65，先运用加法交换律变成48＋145＋65，再运用加法结合律变成48＋（145＋65）。 4．在一道减法算式中，被减数、减数以及差的和是100，那么被减数是（    ）。 A．100 B．80 C．50 D．25 【答案】C 【分析】在减法算式中，被减数＝减数＋差，题目已知被减数、减数以及差的和是100，将“减数＋差”用“被减数”进行代换，从而得出2个被减数的和是100，进而求出被减数。 【详解】100÷2＝50 被减数是50。 5．为了使计算简便，有四个小朋友想出了计算“”不同的方法，正确的有（    ）。 ①；②；③；④ A．①②④ B．③④ C．①② D．①③ 【答案】A 【分析】除法的性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。分别判断每个式子是否与480÷16的结果相等。 【详解】①根据除法的性质，除以一个数等于连续除以它的因数， 480÷16 ＝480÷（8×2） ＝480÷8÷2，结果相等； ②同理，480÷16 ＝480÷（4×4） ＝480÷4÷4，结果相等； ③480÷10＋480÷6 ＝48＋80 ＝128， 480÷16＝30，结果不相等； ④（320＋160）÷16 ＝320÷16＋160÷16， 320＋160＝480，结果相等。 ①②④正确。 6．甲数除以乙数，商是3，余数是3，甲、乙、商及余数之和为37，那么，甲、乙各是（    ）。 A．甲：21，乙：6 B．甲：24，乙：7 C．甲：7，乙：24 D．甲：24、乙：8 【答案】B 【分析】利用被除数＝除数×商＋余数，题目给出的四数之和，先求出被除数与除数的和，再通过代换求出除数，进而求出被除数。 【详解】由题意可知，甲数是被除数，乙数是除数，商是3，余数是3； 甲数＝3×乙数＋3 甲、乙、商及余数之和为37，则甲数与乙数的和为： 37－3－3 ＝34－3 ＝31 3×乙数＋3＋乙数＝31 乙数：（31－3）÷4 ＝28÷4 ＝7 甲数：3×7＋3 ＝21＋3 ＝24 二、填空题 7．在横线里填上合适的数。 81÷9×______＝45    72÷（16－______）＝9    ________÷14＝13……10 【答案】 5 8 192 【分析】（1）先算已知部分，81÷9＝9，再根据乘数＝积÷另一个乘数。 （2）根据“除数＝被除数÷商”，先算出括号内的结果：72÷9＝8，再根据减数＝被减数－差计算。 （3）有余数除法中，被除数＝商×除数＋余数。 【详解】81÷9＝9，45÷9＝5，81÷9×5＝45 72÷9＝8，16－8＝8，72÷（16－8）＝9 13×14＋10＝192，192÷14＝13……10 8．如果，那么( )，( )； 如果，那么( )，( )。 【答案】35；480；750；15 【分析】加法交换律：两个数相加，交换它们的位置，和不变。用字母表示是a＋b＝b＋a。（A＋10）＋（B－5）可以写成A＋10＋B－5，根据加法交换律变成A＋B＋10－5，再把A＋B的值代入计算即可。 计算16×A＋B×16时，可以逆用乘法分配律，先计算A与B的和，这个和是30，再把30与16相乘即可。 计算（C×5）×（D×5）时，算式中的运算符号只有乘号，可以先去掉小括号，再根据乘法交换律，交换5与D的位置，再根据乘法结合律先计算C与D的积、5与5的积，最后把这两个积相乘即可； 根据除法的性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积；先计算C与D的积，这个积是30，再用450除以30即可。 【详解】如果A＋B＝30 （A＋10）＋（B－5） ＝A＋10＋B－5 ＝A＋B＋10－5 ＝30＋10－5 ＝40－5 ＝35 16×A＋B×16 ＝16×（A＋B） ＝16×30 ＝480 如果 （C×5）×（D×5） ＝C×5×D×5 ＝C×D×5×5 ＝（C×D）×（5×5） ＝30×25 ＝750 450÷D÷C ＝450÷（C×D） ＝450÷30 ＝15 如果，那么35，480； 如果，那么750，15。 9．根据运算律填空。 ( )×36×4＝36×（25×4）     47×99 ＋( )＝47×（99＋1） 720÷( )÷4＝720÷（18×4）    29＋29×19＝（1＋19）×( ) 【答案】 25 47 18 29 【分析】根据乘法交换律和乘法结合律解答；根据乘法分配律解答；根据除法的性质解答；根据乘法分配律解答。 【详解】①25×36×4＝36×25×4＝36×（25×4） ②47×99＋47＝47×99＋47×1＝47×（99＋1） ③720÷18÷4＝720÷（18×4） ④29＋29×19＝29×1＋29×19＝（1＋19）×29 10．小胖在做减法时，把被减数178错看成187，算出错误得数93，正确得数应该是( )。 【答案】84 【分析】根据减数＝被减数－差，算出正确的减数，再根据被减数－减数＝差，算出正确的差。 【详解】187－93＝94 178－94＝84 小胖在做减法时，把被减数178错看成187，算出错误得数93，正确得数应该是84。 【点睛】熟练掌握减法算式中各部分关系是解题关键。 11．减法中的秘密我们一起探！倘若在一道减法算式中，被减数、减数与差的和是480，减数比差多50。根据以上信息进行分析推算，被减数是( )，减数是( )，差是( )。 【答案】 240 145 95 【分析】根据减法各部分之间的关系，被减数＝减数＋差，被减数、减数与差的和是480，则被减数＋被减数＝480，用480÷2即可求出被减数是多少；减数比差多50，先用减数和差的和加上50，求出减数的2倍是多少，除以2即可求出减数是多少；再减去50即可求出差是多少。 【详解】被减数＋减数＋差＝480，被减数＋被减数＝480 被减数＝480÷2＝240 减数＋差＝240，减数－差＝50，则减数＋减数＝240＋50 减数：（240＋50）÷2 ＝290÷2 ＝145 差：145－50＝95 三、判断题 12．一个数除以15，商是4，并且有余数，那么这个数最大应是61。( ) 【答案】× 【详解】余数是：15﹣1＝14 4×15＋14 ＝60＋14 ＝74 故答案为：× 13．35300÷3200=353÷32=11......1                ( ) 【答案】× 【解析】略 14．因为48×8＋48×4＝48×（8＋4），所以48÷8＋48÷4＝48÷（8＋4）。( ) 【答案】× 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。虽然乘法有分配律，但除法没有类似的性质。判断这个等式是否成立，可以通过分别计算等号左边和右边的结果来进行验证。 【详解】48÷8+48÷4=6+12=18 48÷（8+4）=48÷12=4 因为， 所以。 故答案为：× 15．淘气把8×（3＋□）错算成3＋8×□，结果与正确答案相差21。( ) 【答案】√ 【分析】先将正确的算式8×（3＋□）利用乘法分配律展开，然后将展开后的正确算式与错误的算式3＋8×□进行对比，即可得出结果相差的数值，最后与题干中的21进行比较判断。 【详解】正确算式利用乘法分配律展开：8×（3＋□）＝8×3＋8×□＝24＋8×□，错误算式为：3＋8×□，对比两个算式，都含有8×□，相差的部分是：24－3＝21，即结果与正确答案相差21，原题说法正确。 故答案为：√ 16．算式8×（125＋6）进行简便计算时，可以变式为8×125＋6。( ) 【答案】× 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母表示为。在此算式中，括号外的因数8需要分别乘括号内的两个加数125和6，据此解答即可。 【详解】根据乘法分配律可知：8×（125＋6）＝8×125＋8×6 题目中给出的变式为8×125＋6，其中6没有乘8，不符合乘法分配律的运算规则。 故答案为：× 17．125×25×8×4＝（125×8）＋（25×4）。( ) 【答案】× 【分析】对于连乘算式，为了简便计算，使用乘法交换律、乘法结合律，先分别算125乘8的积和25乘4的积，再用二者的结果相乘，即可进行简算。 【详解】 ＝1000×100 ＝100000 故答案为：× 18．。( ) 【答案】× 【分析】根据乘法结合律，三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。通过比较等号两边算式的特点，即可判断。 【详解】左边25×（2×9）＝25×2×9，右边25×2×25×9比25×2×9多乘了25，所以两边的算式不相等。原算式错误。 故答案为：× 四、计算题 19．怎样算简便就怎样算。 52＋178＋148＋22         26×103          125×25×8×4 638－（177＋238）       18×101－18        （125－50）×8 【答案】400；2678；100000； 223；1800；600 【分析】利用加法交换律和加法结合律，52＋148和178＋22两两分组，进行简便计算； 利用乘法分配律，把103分成100＋3，进行简便计算； 利用乘法交换律和乘法结合律，125×8和25×4两两分组，进行简便计算； 利用减法的性质，去掉小括号，先算638－238，进行简便计算； 把18看作18×1，利用乘法分配律，提取公因数18，进行简便计算； 利用乘法分配律，用125和50分别与8相乘，进行简便计算。 【详解】52＋178＋148＋22 ＝52＋148＋178＋22 ＝（52＋148）＋（178＋22）                          ＝200＋200                                ＝400                                            26×103 ＝26×（100＋3） ＝26×100＋26×3   ＝2600＋78 ＝2678 125×25×8×4 ＝125×8×25×4 ＝（125×8）×（25×4） ＝1000×100 ＝100000 638－（177＋238） ＝638－177－238              ＝638－238－177                            ＝400－177                               ＝223                                           18×101－18 ＝18×101－18×1 ＝18×（101－1） ＝18×100     ＝1800 （125－50）×8 ＝125×8－50×8 ＝1000－400 ＝600 20．递等式计算（能简便计算的要简便计算）。 （125＋375）÷20×50    304＋（759＋96）＋1141   6630÷13＋6630÷17 66×64＋33×64＋64     808×125        8400÷[（1423－998）÷17＋45] 【答案】1250；2300；900； 6400；101000；120 【分析】先计算小括号内加法，再从左往右依次计算； 利用加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）和加法交换律a＋b＝b＋a实现简便运算； 先计算除法，再计算加法； 利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算实现简算； 将808看作800＋8，再利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c实现简算； 先计算中括号内减法，再计算中括号内除法，再计算中括号内加法，最后计算括号外除法。 【详解】（125＋375）÷20×50 ＝500÷20×50 ＝25×50 ＝1250 304＋（759＋96）＋1141 ＝304＋759＋96＋1141 ＝304＋96＋759＋1141 ＝（304＋96）＋（759＋1141） ＝400＋1900 ＝2300 6630÷13＋6630÷17 ＝510＋390 ＝900 66×64＋33×64＋64 ＝64×（66＋33＋1） ＝64×（99＋1） ＝64×100 ＝6400 808×125 ＝（800＋8）×125 ＝800×125＋8×125 ＝100000＋1000 ＝101000 8400÷[（1423－998）÷17＋45] ＝8400÷[425÷17＋45] ＝8400÷[25＋45] ＝8400÷70 ＝120 21．递等式计算。 69＋18＋31＋82              516－56－44－16         99×45                   25×17×4   60×45－45×45＋85×45          2239＋239×999 【答案】200；400； 4455；1700； 4500；241000 【分析】（1）根据加法交换律和加法结合律，分别计算69＋31和18＋82，再将两个和相加。 （2）根据减法的性质，先计算56＋44＋16，再用516减去这个和。 （3）将99看成100－1，根据乘法分配律，分别用100和1乘45，再将两个和相减。 （4）根据乘法交换律，交换17和4的位置，先计算25×4，再用积乘17。 （5）根据乘法分配律，先提取公因数45，再计算60－45＋85，用45乘这个得数。 （6）将2239看成2000＋239，根据乘法分配律，先提取公因数239，再计算1＋999，用239乘这个和，再加上2000。 【详解】69＋18＋31＋82      ＝（69＋31）＋（18＋82） ＝100＋100 ＝200 516－56－44－16         ＝516－（56＋44＋16） ＝516－116 ＝400 99×45               ＝（100－1）×45 ＝100×45－45 ＝4500－45 ＝4455            25×17×4   ＝25×4×17 ＝100×17 ＝1700 60×45－45×45＋85×45         ＝（60－45＋85）×45 ＝100×45 ＝4500 2239＋239×999 ＝2000＋239＋239×999 ＝2000＋239×（1＋999） ＝2000＋239×1000 ＝2000＋239000 ＝241000 22．递等式计算。 137＋62×5          602＋3×875         39×98＋2×39 24×（195－187）      2000－619－281        444×111＋222×778 【答案】447；3227；3900 192；1100；222000 【分析】137＋62×5先算乘法再算加法； 602＋3×875先算乘法再算加法； 39×98＋2×39运用乘法分配律简便计算； 24×（195－187）先算小括号里减法，再算乘法； 2000－619－281运用减法的性质简便计算； 444×111＋222×778运用乘法分配律简便计算。 【详解】137＋62×5 ＝137＋310 ＝447 602＋3×875 ＝602＋2625 ＝3227 39×98＋2×39 ＝39×（98＋2） ＝39×100 ＝3900 24×（195－187） ＝24×8 ＝192 2000－619－281 ＝2000－（619＋281） ＝2000－900 ＝1100 444×111＋222×778 ＝222×2×111＋222×778 ＝222×222＋222×778 ＝222×（222＋778） ＝222×1000 ＝222000 23．递等式计算，写出必要的计算过程，能简便的要用简便方法计算                                      【答案】2100；37500 100000；1000000   11200；6800 【解析】略 24．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 67×101          24×175＋500÷25       189－57＋11－43 3700÷25÷4       67×24－24×62        420÷[205－198）×4] 77×88×99÷1331   19＋199＋1999＋20003      888×999÷222÷333 【答案】6767；4220；100； 37；120；15； 504；22220；12 【分析】（1）101＝100＋1，然后根据乘法分配律计算； （2）先算乘除法，再算加法； （3）根据加法交换律、加法结合律和减法的性质，式子可写为：（189＋11）－（57＋43），然后计算； （4）根据除法的性质，式子可写为：3700÷（25×4），然后计算； （5）根据乘法分配律，式子可写为：24×（67－62），然后计算； （6）先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算括号外的除法； （7）1331＝11×11×11，77＝7×11，88＝8×11，99＝9×11，然后计算即可； （8）根据凑整法，19＝20－1，199＝200－1，1999＝2000－1，20003＝20000＋3，据此简算； （9）先算888÷222，再算999÷333，最后将两个商相乘即可。 【详解】67×101 ＝67×（100＋1） ＝6700＋67 ＝6767 24×175＋500÷25 ＝4200＋20 ＝4220 189－57＋11－43 ＝（189＋11）－（57＋43） ＝200－100 ＝100 3700÷25÷4 ＝3700÷（25×4） ＝3700÷100 ＝37 67×24－24×62 ＝24×（67－62） ＝24×5 ＝120 420÷[205－198）×4] ＝420÷[7×4] ＝420÷28 ＝15 77×88×99÷1331 ＝（7×11）×（8×11）×（9×11）÷（11×11×11） ＝7×8×9×（11×11×11）÷（11×11×11） ＝7×8×9 ＝56×9 ＝504 19＋199＋1999＋20003 ＝（20－1）＋（200－1）＋（2000－1）＋（20000＋3） ＝20＋200＋2000＋20000－1－1－1＋3 ＝220＋2000＋20000－（1＋1＋1）＋3 ＝22220－3＋3 ＝22220 888×999÷222÷333 ＝（888÷222）×（999÷333） ＝4×3 ＝12 ​ 五、解答题 25．红小豆作为我国重要的传统食用豆类作物，具有营养价值高、能固氮改良土壤等特性。四个盘子里红小豆的数量如下表，这四个盘子里一共有多少颗红小豆？（用简便方法计算） 第一盘 第二盘 第三盘 第四盘 387颗 234颗 366颗 413颗 【答案】1400颗 【分析】观察表格中四个盘子里红小豆的数量，发现387与413相加能凑成整百数，234与366相加也能凑成整百数。根据加法交换律和加法结合律，交换加数的位置并把能凑成整百数的加数结合在一起先计算，可以使计算简便。 【详解】 （颗） 答：这四个盘子里一共有1400颗红小豆。 26．学校为四年级学生准备六一儿童节礼品，每个班领取25盒彩笔，每盒有12支。四年级共有4个班，一共准备了多少支彩笔？如果有1000支彩笔，够分给所有同学吗？ 【答案】 1200支；不够分 【分析】根据“每班盒数、每盒支数和班级数”求出所需彩笔的总支数，再将计算出的总支数与现有的1000支进行比较。若总支数大于1000，则不够；若总支数小于或等于1000，则够。计算过程中可利用乘法交换律和结合律使计算简便。 【详解】 （支） 答：一共准备了1200支彩笔，1000支彩笔不够分给所有同学。 27．周末，两个好朋友小刚和小强约好一起去博物馆，小刚的速度是72米/分，小强的速度是69米/分。 (1)他们同时从家出发，经过16分钟后，两人同时到达博物馆，他们两家相距多少米？ (2)两人同时从博物馆去公园，步行速度不变。12分钟后，小刚先到达公园，这时小强离公园还有多少米？ 【答案】(1)2256米 (2)36米 【分析】（1）观察发现小刚家、小强家分别在博物馆的两端，速度×时间＝路程，用72乘16计算出小刚家到博物馆的距离，再用69乘16计算出小强家到博物馆的距离，最后将两个结果相加，计算时可以运用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c； （2）先用72乘12计算出小刚走的路程，也就是博物馆到公园的距离；用69乘12计算出小强走的距离，最后用博物馆到公园的距离减去小强走的距离，计算出小强离公园还有多少米，计算时可以运用乘法分配律。 【详解】（1）72×16＋69×16 ＝（72＋69）×16 ＝141×16 ＝2256（米） 答：他们两家相距2256米。 （2）72×12－69×12 ＝（72－69）×12 ＝3×12 ＝36（米） 答：这时小强离公园还有36米。 28．小丽今年11岁，是四口人中年龄最小的。小丽妈妈买了一包400克的食盐，这袋食盐一家四口人共吃了25天，请问小丽家平均每人每天食盐摄入量超标了吗？ 【答案】不超标 【分析】用一袋食盐的总重量除以25天，求出一家四口人平均每天摄入食盐的总重量，再用一家四口人平均每天摄入食盐的总重量除以4，求出平均每人每天摄入食盐的重量，再与5克比较大小即可。列式为400÷25÷4，利用除法的性质简算a÷b÷c＝a÷（b×c），变式为400÷（25×4）。 【详解】400÷25÷4 ＝400÷（25×4） ＝400÷100 ＝4（克） 4＜5 答：小丽家平均每人每天食盐摄入量不超标。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $