第一章 再练一课(范围：§1.1～§1.3)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

再练一课(范围：§1.1～§1.3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．下列关于空间向量的说法错误的是(　　) A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量可以作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 答案　C 解析　选项A，零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行，该选项正确；选项B，向量可在空间中移动，该选项正确；选项C，在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，该选项错误；选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确． 2.在四面体OABC中，点M，N分别为线段OA，BC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为(　　) A. B. C．1 D. 答案　B 解析　由＝－＝＋－，又＝x＋y＋z， 则所以x＋y＋z＝. 3．已知向量a＝(2,1,2)，b＝(－2，x,2)，c＝(4，－2,1)，若b⊥(a＋c)，则x的值为(　　) A．－2 B．2 C．－6 D．6 答案　C 解析　由题意得a＋c＝(6，－1,3)， 又b⊥(a＋c)， 所以－12－x＋6＝0，解得x＝－6. 4．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，点M为BC的中点，则△AMD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 答案　C 解析　∵点M为BC的中点， ∴＝(＋)， ∴·＝(＋)·＝·＋·＝0， ∴AM⊥AD，∴△AMD为直角三角形． 5．设x，y∈R，向量a＝(x,1,1)，b＝(1，y,1)，c＝(2，－4,2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|等于(　　) A．2 B. C．3 D．4 答案　C 解析　 ∵b∥c，∴2y＝－4×1，∴y＝－2， ∴b＝(1，－2,1)， ∵a⊥b，∴a·b＝x＋1×(－2)＋1＝0， ∴x＝1，∴a＝(1,1,1)， ∴a＋b＝(2，－1,2)， ∴|a＋b|＝＝3. 6．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且cos θ＝，则该四面体的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　分别以BC，BA，BD所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a，a>0， 则A(0,1,0)，B(0,0,0)， E，D(0,0，a) ， ＝(0，－1，a)，＝， cos θ＝＝＝， 解得a＝2， 该四面体的体积为××1×1×2＝ . 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.如图，E，F分别是长方体ABCD－A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，下列化简结果正确的是(　　) A.－＝ B.＋－＝ C.－＋＝0 D.＋＝ 答案　ABD 解析　－＝＋＝，A对； ＋－＝＋＝＋＝，B对； －＋＝－＝≠0，C错； ＋＝－＝－＝＝，D对． 8．设{a，b，c}是空间的一个基底，则下列选项中正确的是(　　) A．{a＋b，b＋c，c＋a}一定能构成空间的一个基底 B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．对空间中的任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc D．存在有序实数对，使得c＝xa＋yb 答案　AC 解析　设a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)＝ya＋xb＋(x＋y)c， 则无解， 即a＋b，b＋c，c＋a不共面，所以一定能构成空间的一个基底，故A正确； 若a⊥b，b⊥c，不能推出a⊥c，a，c的夹角可以为任意角，故B错误； 由空间向量基本定理知，空间中的任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc，故C正确； 若c＝xa＋yb，则a，b，c共面，不能构成空间的一个基底，故D错误． 9．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1,2，－2)，B(0,1,1)，下列结论正确的有(　　) A.＝(－1，－1,3) B．若m＝(2,1,1)，则m⊥ C．点A关于Oxy平面对称的点的坐标为(1，－2,2) D．|AB|＝ 答案　AB 解析　∵A(1,2，－2)，B(0,1,1)，∴＝(－1，－1,3)，故A正确；||＝＝，故D错误；若m＝(2,1,1)，则m·＝2×(－1)＋1×(－1)＋1×3＝0，则m⊥，故B正确；点A关于Oxy平面对称的点的坐标为(1,2,2)，故C错误． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．已知e1 ，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为________． 答案　e1 解析　(e1＋e2)·e1＝|e1|2＋e2·e1＝1＋1×1×＝， 向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为e1＝e1. 11．若向量a＝(－1，x,5)与b＝(2x，－8，y)共线，且方向相同，则x＝________. 答案　－2 解析　因为向量a与b共线，且方向相同，所以a＝λb，且λ＞0，从而有(－1，x,5)＝λ(2x，－8，y)， 所以解得经检验符合题意． 12．已知O为坐标原点，A(1,0,0)，B(0，－1,1)，若＋λ与的夹角为120°，则实数λ＝________. 答案　－ 解析　∵O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，－1,1)，∴＋＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1,1)， ∵＋λ与的夹角为120°， ∴cos 120°＝ ＝＝－，解得λ＝－. 四、解答题(共37分) 13．(12分)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA1＝3，AB＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示；(4分) (2)已知O为对角线A1C的中点，求CO的长．(8分) 解　(1)＝＋＋ ＝－＋－ ＝－－－＝－c－b－a＝－a－b－c. (2)由题意知|a|＝2，|b|＝2，|c|＝3， a·b＝0，a·c＝2×3×＝3，b·c ＝2×3×＝3， ∵＝＝(a＋b＋c)， ∴||＝ ＝ ＝ ＝＝. 14．(12分)已知点A(1,0,2)，B(－2,1,3)，O为坐标原点，向量a＝，b＝. (1)求向量a的单位向量a0；(4分) (2)求|a－2b|；(4分) (3)求cos〈a，b〉．(4分) 解　(1)由已知得a＝(1,0,2)， 则|a|＝＝， 因此a0＝＝. (2)因为a＝(1,0,2)，b＝(－2,1,3)， 所以a－2b＝(1,0,2)－2(－2,1,3) ＝(5，－2，－4)， 则|2a－b|＝＝3. (3)由(1)知，|a|＝，因为b＝(－2,1,3)， 所以|b|＝＝， 则cos〈a，b〉＝＝＝. 15．(13分)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． (1)若点D在直线AC上，且⊥，求点D的坐标；(6分) (2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．(7分) 解　(1)由题意知，＝(1，－3,2)， 点D在直线AC上， 设＝λ＝λ(1，－3,2)＝(λ，－3λ，2λ)， ∴D(λ，2－3λ，3＋2λ)， ＝(λ，2－3λ，3＋2λ)－(－2,1,6) ＝(λ＋2,1－3λ，2λ－3)， ∵⊥， ∴·＝(1，－3,2)·(λ＋2,1－3λ，2λ－3) ＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0， ∴λ＝，∴D. (2)∵＝(2,1，－3)，＝(3，－2，－1)， ∴||＝＝， ||＝＝， ∴·＝2×3＋1×(－2)＋(－3)×(－1)＝7， ∴cos B＝cos〈，〉＝ ＝＝， ∴sin B＝， 设以BA，BC为邻边的平行四边形面积为S， ∴S＝××＝7， ∴以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7. 学科网（北京）股份有限公司 $