第2节 常用逻辑用语讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学讲义围绕常用逻辑用语高考核心考点，涵盖充分条件、必要条件、充要条件的判定与应用，以及全称量词与存在量词命题的否定，按基础夯实到考点突破的逻辑层次构建知识体系。通过知识梳理、基础测试、考点精讲、真题演练等环节，帮助学生系统掌握概念辨析与解题方法，突破逻辑推理难点。 资料以数学思维和数学语言为导向，创新采用“概念辨析-方法总结-真题应用”三步教学法，如在充要条件判定中用集合法分析集合关系，在命题否定中强化“改量词，否结论”规律，培养学生逻辑推理与规范表达能力。分层设计基础测试与综合题组，配合易错提醒和思维点拨，确保高效复习，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第2节 常用逻辑用语 课标要求： 1． 理解充分条件、必要条件、充要条件的含义； 2． 理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系； 3． 理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定． 模块一：基础夯实与概念辨析 1、 知识梳理 1． 充分条件、必要条件与充要条件的概念 ①若，则是的充分条件，是的必要条件； ②若且，则是的充分不必要条件； ③若且，则是的必要不充分条件； ④若，则则是的充要条件； ⑤若且，则是的既不充分也不必要条件． 2． 全称量词与存在量词 ①全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示； ②存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． 3． 全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对中的任意一个，有成立 存在中的元素，成立 简记 否定 2、 重点汇总 1． 常用结论 （1） 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件； （2） 是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件； （3） 命题和命题的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题的否定的真假； （4） 充分必要条件的集合解释：设， ，若，则是的充分条件；若，则是的充要条件； （5） 含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． 2． 易错提醒 （1） 混淆否命题和命题的否定：“否命题”是对条件和结论同时否定；“命题的否定”只否定结论； （2） 混淆命题的条件和结论：是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两种说法是不同的； （3） 忽视隐藏条件：在判断充要条件时，忽略了题目中隐含的大前提（如分母不为零，偶次根式下非负等）． 三、基础测试 1. 请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×” （1） 若是的必要不充分条件，则逻辑符号表示为且．（　　） （2） 若是的充分条件，则一定是的必要条件．（　　） （3） 在判断充分必要条件时，如果条件对应的集合是条件对应的集合的子集（），则是的必要条件．（　　） （4） 命题“”是一个假命题．（　　） （5） 在△ABC中，“”是“”的充要条件．（　　） （6） 命题“若，则”的否命题是“若，则”．（　　） （7） 命题“所有偶数都是素数”的否定是“所有偶数都不是素数”．（　　） （8） 写全称量词命题的否定时，全称量词命题变为存在量词命题．（　　） （9） “至少有一个平行四边形是正方形”是全称量词命题．（　　） 2. 命题“”的否定是_____________________________________． 3. “”是“”的_________________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 4. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________． 5. 命题“”为真命题，则实数的取值范围是____________． 6. 命题“两个三角形全等”是命题“两个三角形相似”的（　　） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 模块二：考点突破与题型演练 考点一 充分条件、必要条件的判定 【考法分析】新高考全国卷考查频率有所下降，但仍然是一个重要的考点，常结合不等式、函数、数列、立体几何等知识，考查对概念的理解及推导能力． 【典例1】（2026·天津卷）设，则“”是“”的（　　） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1】设，则“”是“”的（　　） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】下面四个条件中，使成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】设集合，，则“”的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】充分条件、必要条件的判断方法： （1） 定义法：根据、进行判断，常用于定义、概念、定理的判断问题； （2） 集合法：根据和对应的集合之间的包含关系进行判断． 考点二 充分条件、必要条件的应用 【考法分析】主要的考查方式是求解参数问题，常结合不等式、函数、数列、向量等知识，考查对概念的理解及推导能力，通常使用集合之间的关系进行求解． 【典例3】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．[ 【思维点拨】在解决参数求解问题时，一般的解法是将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系问题，再根据集合直接的包含关系列出不等式（不等式组进行求解）． 设命题和对应的集合分别为、，则： （1） 是的充分不必要条件：； （2） 是的必要不充分条件：； （3） 是的充要条件：； （4） 是的既不充分也不必要条件：、没有包含关系． 在涉及函数问题时，需要注意定义域等客观上需要满足的条件；同时需要注意区间端点是否可取的问题． 考点三 含有量词的命题及其否定 【考法分析】重点考查全称量词命题与存在量词命题的否定形式，以及结合函数、不等式求参数范围（恒成立与存在性问题），主要题型为含量词命题的否定、真假判断以及根据命题的真假求参数． 【典例4】（2026·长沙三模）命题“”的否定为（　　） A． B． C． D． 【变式4】命题“”的否定为（　　） A． B． C． D． 【典例5】（2024·新高考Ⅱ卷）已知命题；命题．则（　　） A． 和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式5】已知命题；命题．则（　　） A． 和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【典例6】若命题为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6】已知命题，命题．若和均为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】（1）含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论； （2）判定全称量词命题“”为真命题，需要对集合中的任意一个元素，证明成立，反之，要判断其为假，只要找到一个中的元素，证明不成立即可； （3）判定存在量词命题“”为真命题，只要在集合中找到一个元素，证明成立即可； （4）根据命题的真假求参数问题，一是直接由命题本身的含义进行求参，通常会用到不等式、函数等知识；二是利用和的关系，转换为的真假求参数． 考点四 常用逻辑用语综合问题 【考法分析】常用逻辑用语常结合多个知识点一起考查，更多的是作为一个数学工具来考查其他知识点，同时这样的特征适合用于多选题的设置． 【典例7】下列说法正确的有（　　） A． 命题“”的否定是“” B． 已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是 C． 若，则“”的充要条件是“” D． “”是“”的充分不必要条件 【变式7】下列命题中为真命题的有（　　） A． “”是“”的充分不必要条件 B． 命题“”的否定为“” C． 若，则或 D． 若且，则 参考答案 三、基础测试 1．（1）× 【解析】是的必要不充分条件的逻辑符号表示为且． （2）√ 【解析】是的充分条件，则，是的必要条件，则，故正确． （3）× 【解析】，则，所以，是的充分条件，必要性不一定成立（当时不成立）． （4）√ 【解析】一元二次函数的最小值，即，所以是一个假命题． （5）√ 【解析】在中，，，，若，则，若，则，所以，充分性成立；当时，若，则，若，则或（舍去），所以必要性成立． （6）√ 【解析】否命题是既否定条件又否定结论． （7）× 【解析】含量词命题的否定：修改量词，否定结论．命题“所有偶数都是素数”的否定是“存在一个偶数不是素数”． （8）√ 【解析】含量词命题的否定：修改量词，否定结论． （9）× 【解析】“至少有一个”是存在量词，所以“至少有一个平行四边形是正方形”是存在量词命题． 2． 【解析】含量词命题的否定：修改量词，否定结论． 3．充分不必要 【解析】若，则，充分性成立；若，则或，所以必要性不成立．注意：不能因为有可能所以认为必要性成立，定义中的推出指的是必须满足，不是可能满足． 4． 【解析】是的必要不充分条件，则对应的集合是对应的集合的真子集，∴． 5． 【解析】命题的含义是一元二次不等式有解，∴，∴或． 6．Ａ 【解析】两个三角形全等是对应边相等，两个三角形相似是对应边成比例，所以全等一定相似但是相似不一定全等． 【典例1】A 【解析】充分性：当时，可以得到，充分性成立； 必要性：当时，或，无法直接得到，必要性不成立． 所以“”是“”的充分不必要条件． 【变式1】A 【解析】充分性：当时，，显然，充分性成立； 必要性：当，或，无法得到（可能无意义），必要性不成立． 所以“”是“”的充分不必要条件． 【典例2】A 【解析】当时，，，，所以、和是的必要条件，排除B、C、D． 当时，，所以是的充分条件，当时，，但，所以，所以不是的必要条件，所以是的充分不必要条件． 【变式2】D 【解析】，则，∴或，∴． ∴当时，或，即或，∴． ∴和是的充分不必要条件，是的充要条件． 当且时，不成立，∴是的必要充分条件． 【典例3】B 【解析】，解得，即“”是“”的必要不充分条件， ∴对应的集合与对应的集合的关系是， 首先，∴， ∴，解得， 当时，“”即为“”， 可得（比如当时），但， 此时“”是“”的必要不充分条件， 同理，当时，“”是“”的必要不充分条件， ∴实数的取值范围是． 【变式3】C 【解析】，解得，即， ，即， 若，则的解集为， 即，此时，设， 则，，充分性不成立，∴， ∴， 是的充分不必要条件，则，∴． 【典例4】B 【解析】改变量词，并且否定结论可得命题“”的否定为． 【变式4】C 【解析】改变量词，并且否定结论可得命题“”的否定为． 【典例5】B 【解析】当时，，∴是假命题，∴是真命题； 当时，，∴是真命题． 【变式5】B 【解析】当时，，∴是假命题，∴是真命题； ，即， 当时，，方程有解， 当时，， ∴方程有解，∴为真命题． 【典例6】B 【解析】命题的含义是一元二次方程有实根， ∴， 解得或． 【变式6】C 【解析】命题为真，即一元二次不等式恒成立， ∴，解得． 命题为真，即方程有解， 当时，，命题为假，∴， 当时，方程为一元二次方程， ∴，解得或， ∴． 【典例7】AD 【解析】选项A，含量词命题的否定：改变量词，否定结论． ∴命题“”的否定是“”，A正确． 选项B，当时，，命题为真， 当时，若要使命题为真，， 即，∴实数的取值范围是，选项Ｂ错误． 选项C，当时，，∴充分性不成立； 由不等式的性质，必要性成立； ∴是的必要不充分条件，C错误． 选项D，，充分性成立， 可得或，必要性不成立， ∴是的充分不必要条件，D正确． 【变式7】AB 【解析】选项A，，充分性成立， 可得或，必要性不成立， ∴是的充分不必要条件，A正确． 选项B，命题“”的否定是“”，B正确． 选项C，若、，则，C错误． 选项D，若、、、，满足且， 但是，选项D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $