第1章 第2节 常用逻辑用语(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理了常用逻辑用语专题，将充分条件、必要条件、充要条件与全称量词、存在量词命题及其否定等核心考点，通过表格化知识梳理、情境化诊断自测和分层化考点研透构建体系，以问题链和任务驱动引导学生自主推导逻辑关系，形成完整知识网络。 亮点在于诊断性自测与进阶式学习设计，开篇设置5道涵盖概念辨析、命题否定的诊断题，学生可根据错题定位基础巩固或综合提升模块，培养逻辑推理与数学抽象素养。每个考点配有教材母题变式和方法总结，助力学生自主诊断提升，教师可依学情精准指导，实现因材施教。

第2节　常用逻辑用语 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义. 2.理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，数学定义与充要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 知识梳理 1.充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的　　　　条件，q是p的　　　　条件 p是q的　　　　　　条件 p⇒q且q p p是q的　　　　　　条件 p q且q⇒p p是q的　　　　条件 p⇔q p是q的　　　　　　　　条件 p q且q p 2.全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“　　　　”表示； （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“　　　　”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 否定 提醒：（1）含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”；（2）对省略了量词的命题进行否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 1.若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件. 2.p是q的充分不必要条件，等价于􀱑q是􀱑p的充分不必要条件. 3.命题p和􀱑p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全称量词命题一定含有全称量词.（　　） （2）“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.（　　） （3）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（　　） （4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（　　） 2.（2026·山东日照月考）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则􀱑p为（　　） A.∀n∈N，n2＞2n　 B.∃n∈N，n2≤2n C.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2n 3.“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是　　　　. 5.若命题“∀x∈R，x2－x＋a≠0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为　　　　. 充分条件、必要条件的判定 （基础自学过关） 1.设集合A，B是非空集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的（　　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2026·浙江金华模拟）若a，b∈R，则“｜a｜＝｜b｜”是“2a＝2b”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.（2025·天津高考2题）设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.（2025·山东济南摸底考试）已知空间中有平面α和两条不同的直线m，n，且n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 充分、必要条件的探究与应用 （师生共研过关） 教材母题：1.〔人A必修一P23习题4题〕已知A＝{x｜x满足条件p}，B＝{x｜x满足条件q}，　 （1）如果A⊆B，那么p是q的什么条件？ （2）如果B⊆A，那么p是q的什么条件？ （3）如果A＝B，那么p是q的什么条件？ 2.〔人B必修一P38习题5题〕已知A＝（－∞，a]，B＝（－∞，3），且x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围. 细研教材：设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}，则： （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件. 变式1 已知p：＞1，q：x＞m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是（　　） A.（－∞，0] B.（ －∞，］ C.[0，＋∞） D.［，＋∞） 变式2 若不等式｜x－a｜＜1成立的一个充分不必要条件是＜x＜，则实数a的取值范围是（　　） A.{a｜＜a＜} B.{a｜≤a≤} C.{a｜a＜或a＞} D.{a｜a≤或a≥} 由充分条件、必要条件求参数问题的策略 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式（组）求解； （2）要注意端点值的检验. 训练1 （1）不等式2x2－5x－3＜0成立的一个必要不充分条件是（　　） A.－3＜x＜ B.－＜x＜3 C.－1＜x＜3 D.＜x＜3 （2）（2026·湖南常德联考）已知命题p：－1＜x＜0；命题q：m－1＜x＜－3m，若􀱑q是􀱑p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　） A.（－∞，0） B.（－∞，0] C.（0，＋∞） D.[0，＋∞） 全称量词命题与存在量词命题 （定向精析突破） 考向1　含量词命题的否定及真假判定 （1）已知命题p：∃x∈R，x＝－1或x＝2，则（　　） A.􀱑p：∀x∉R，x≠－1或x≠2 B.􀱑p：∀x∈R，x≠－1且x≠2 C.􀱑p：∀x∈R，x＝－1且x＝2 D.􀱑p：∃x∉R，x＝－1或x＝2 （2）（2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则（　　） A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 听课记录 　　判定全称量词命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p（x）”是真命题，只需要在限定集合内找到一个元素x，使p（x）成立即可. 考向2　含量词命题的应用 已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A.（ －，0） B.（ 0，） C.（ ，＋∞） D.（1，＋∞） 听课记录 　　由命题的真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与􀱑p的关系，转化成􀱑p的真假求参数的范围. 训练2 （1）下列说法正确的是（　　） A.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” B.∀xy＞0，x＋y≥2 C.∃x∈N，使5x＋1＝0 D.“∀x∈R，3x2－2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2－2＜0” （2）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0；命题q：∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0.若命题p和􀱑q都是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2]∪{1} B.（ －∞，－］ C.（－∞，1] D.［－，1］ 提示：完成课后作业　第一章　第2节 答案 第2节　常用逻辑用语 【夯实必备知识】 知识梳理 1.充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要 2.（1）∀　（2）∃ 3.∀x∈M，p（x）　∃x∈M，p（x）　∃x∈M，􀱑p（x）　∀x∈M，􀱑p（x） 诊断自测 1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√ 2.C　3.B　4.存在一个等边三角形，它不是等腰三角形　5.（ －∞，］ 【研透核心考点】 考点1 1.C　2.B　3.A　4.D　 考点2 教材母题　1.（1）充分条件　（2）必要条件 （3）充要条件 2.解：因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A⫋B，所以a＜3，故a的取值范围为（－∞，3）. 变式1　A　由＞1可得x（x－1）＜0，解得0＜x＜1，记A＝{x｜0＜x＜1}，B＝{x｜x＞m}，若p是q的充分条件，则A⊆B，所以m≤0，所以实数m的取值范围是（－∞，0]. 变式2　B　由｜x－a｜＜1解得a－1＜x＜1＋a，所以a－1＜x＜1＋a成立的一个充分不必要条件是＜x＜，故{x｜＜x＜}⫋{x｜a－1＜x＜1＋a}，所以或解得≤a≤，故实数a的取值范围是{a｜≤a≤}.故选B. 训练1　（1）C　（2）A　解析：（1）不等式2x2－5x－3＜0的解集是（ －，3），观察四个选项发现（ －，3）是（－1，3）的真子集，所以“－1＜x＜3”是“不等式2x2－5x－3＜0成立”的一个必要不充分条件，故选C. （2）由􀱑q是􀱑p的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件，所以{x｜－1＜x＜0}⫋{x｜m－1＜x＜－3m}，则（不能同时取等号），解得m＜0.故选A. 考点3 【例1】　（1）B　（2）B　解析：（1）注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命题p的否定是“∀x∈R，x≠－1且x≠2”. （2）对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题，􀱑p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题.故选B. 【例2】　C　因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜2，不符合题意；当a≠0时，得解得a＞. 训练2　（1）D　（2）A　解析：（1）对于A，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故A错误；对于B，当x＜0，y＜0时，x＋y＜0＜2，故B错误；对于C，由5x＋1＝0，得x＝－，故不存在x∈N，使5x＋1＝0，故C错误；对于D，“∀x∈R，3x2－2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2－2＜0”，故D正确. （2）当命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0为真命题时，a≤x2在[1，2]上恒成立，因为x∈[1，2]，所以x2∈[1，4]，所以a≤1；命题q：∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0的否定命题􀱑q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0为真命题时，Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1.因为命题p和􀱑q都是真命题，所以a＝1或a≤－2. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $