精品解析：江西师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

江西师大附中高二年级数学期末试卷 2026.7 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合中只有一个元素，则=（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若关于x的不等式在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是（ ） A. (−，5) B. (5，+) C. (−4，+) D. (−，4) 5. 若函数是偶函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 8. 已知函数，则 A. 在（0，2）单调递增 B. 在（0，2）单调递减 C. 的图像关于直线x=1对称 D. 的图像关于点（1，0）对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 11. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前n项和为，且满足，则“数列为等差数列”的充要条件是__________． 13. 已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________. 14. 已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，且关于x的不等式的解集是，求的最小值； （2）设关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围 16. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. （1）求C的方程； （2）已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 17. 数列为等差数列，是其前项和，且，；数列满足：，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 18. 截止到2026年7月1日，张雪机车在2026年世界超级摩托车锦标赛WSBK中已实现六冠，标志中国摩托车首次在顶级赛事上打破欧美日品牌长期垄断.为纪念这一历史性突破，特将下列函数命名为“ZX函数”：对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数为“ZX函数”. （1）已知，判断是否是“ZX函数”，并说明理由： （2）已知是定义在上的“ZX函数”，且在上是增函数，判定并证明在上的单调性； （3）若是“ZX函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由. 19. 已知O为坐标原点，点A坐标为，以O为圆心的单位圆在x轴上半部分（含端点）记为曲线E，B是E上异于A的任意一点，设，弦AB的长与的长的比值记为. （1）求的最小值； （2）令，讨论g(x)的零点个数； （3）若对任意，恒成立，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西师大附中高二年级数学期末试卷 2026.7 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. 若集合中只有一个元素，则=（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4 【答案】A 【解析】 【详解】 考点：该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若关于x的不等式在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是（ ） A. (−，5) B. (5，+) C. (−4，+) D. (−，4) 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题意可得，从而可求出实数a的取值范围 【详解】设，开口向上，对称轴为直线， 所以要使不等式在区间(1，5)内有解，只要即可， 即，得， 所以实数a的取值范围为， 故选：A 5. 若函数是偶函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义对定义域内任意恒成立，通过代数化简、系数对应相等即可求解. 【详解】已知函数为偶函数，因此对定义域内任意，均满足，即：  ， 移项合并含指数的项： ，  左边化简得：  ， 因此等式转化为：  ， 当时，两边同除以，将右侧通分： ，  去分母展开整理得： ，  该式对任意恒成立，故各项系数均为0， 由项系数得，代入验证其余项系数均为0，符合要求， 经验证时，是定义在上的偶函数. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 解法二：特值排除法. 【详解】解法一：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数， 因此函数是R上的增函数，由，得，解得， 所以原不等式的解集是. 故选：A 解法二：特值当时，，排除B，D，当时，，排除C， 对A：当时，，因为函数是R上的增函数，所以，故A成立. 故选A． 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】，，又，且， ， 当且仅当，解得，时等号成立， 故的最小值为9． 故选：A． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8. 已知函数，则 A. 在（0，2）单调递增 B. 在（0，2）单调递减 C. 的图像关于直线x=1对称 D. 的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C． 【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.由，则函数为上的增函数；B.作差比较；C.由，利用对数的单调性比较判断；D.作差比较. 【详解】由，则函数为上的增函数，由，可得，故A正确； 由，，，则，故B错误； 由，则，，则，，即，故C正确； ，则，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，函数的定义域为，，为奇函数， 令，化简得，无解，不存在零点，A错误； 对于B，函数的定义域为，，为奇函数， 令，解得，有零点，B正确； 对于C，函数分母恒成立，函数的定义域为，，为奇函数， 令，则，解得，有零点，C正确； 对于D，，定义域为，，为奇函数， 令，则，解得存在零点，D正确. 11. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前n项和为，且满足，则“数列为等差数列”的充要条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数列前项和与通项的关系求出的表达式，结合等差数列定义求得，再反向验证充分性即可. 【详解】 当时，； 当且时， . 若为等差数列，则需满足上式， 即， 解得. 当时，， ， 满足上式， 所以. 此时，故是公差为2的等差数列. 综上，充要条件为. 13. 已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，即当时，，则满足 解不等式组可得x的取值范围． 【详解】，不等式恒成立 即，不等式恒成立 设，即当时， 所以 ，即，解得或 故答案为： 14. 已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，，分情况讨论，先判断当时，在区间内无零点，再当时，令，则，由导数判断其在上的单调性，求出最值. 【详解】 令，， 当时，，在区间内无零点； 当时，，， 当，即时，为函数的零点. 当时，令，则， 令，则， 令，则，在区间上单调递减，区间上单调递增，，. 当时，在区间内有两个零点. 综上，当时函数有三个零点. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是题干中“表示，中的最大值”的理解，然后再分区间讨论零点情况. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，且关于x的不等式的解集是，求的最小值； （2）设关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）由韦达定理得，，再利用基本不等式可得答案； （2）不等式在上恒成立可得，解不等式组可得答案． 【小问1详解】 因为，且关于x的不等式的解集是， 所以和是方程的两根， 所以． 所以＝＝ ＝，当且仅当a＝1时等号成立， 所以的最小值为8； 【小问2详解】 因为关于x的不等式在上恒成立， 所以，所以，解得， 所以a的取值范围为． 16. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. （1）求C的方程； （2）已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组求解； （2）设直线l：y＝x＋m，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，然后由圆锥曲线中的弦长公式求解. 【小问1详解】 由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. 【小问2详解】 设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 17. 数列为等差数列，是其前项和，且，；数列满足：，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）， （2）因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，由于数列的前项和为，所以，因为 对于恒成立，所以． 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前项和公式及通项公式，联立方程求首项和公差得的通项公式；由知是等比数列，得的通项公式； （2）代入，整理得等比数列，求前项和证得. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，是其前项和，且，． 设数列的首项为，公差为，则， 解得，，所以数列的通项公式为． 因为数列满足：，， 所以数列是首项为1公比为的等比数列，所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 略. 18. 截止到2026年7月1日，张雪机车在2026年世界超级摩托车锦标赛WSBK中已实现六冠，标志中国摩托车首次在顶级赛事上打破欧美日品牌长期垄断.为纪念这一历史性突破，特将下列函数命名为“ZX函数”：对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数为“ZX函数”. （1）已知，判断是否是“ZX函数”，并说明理由： （2）已知是定义在上的“ZX函数”，且在上是增函数，判定并证明在上的单调性； （3）若是“ZX函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由. 【答案】（1）不是， 理由如下： 由于不恒成立， 所以不是“函数”. （2）函数在上单调递增. 理由如下： 由函数是定义在上的“”函数，得，即， 任取，则， 由，得，由在上单调递增，得， 则，即， 所以在上单调递增. （3），没有正整数解; 理由如下： 当时，，则当时，， ，当时，，解得， 所以函数的解析式为； 假设方程有正整数解， 则， 要使上式能成立，则必有， 所以， 明显为单调递增函数，又当时，， 当时，， 故方程没有正整数解. 【解析】 【分析】（1）根据给定函数，利用“函数”的定义直接判断. （2）利用函数单调性定义判断并推理证明. （3）当时，此时，当时，，即可得到再求的整数解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知O为坐标原点，点A坐标为，以O为圆心的单位圆在x轴上半部分（含端点）记为曲线E，B是E上异于A的任意一点，设，弦AB的长与的长的比值记为. （1）求的最小值； （2）令，讨论g(x)的零点个数； （3）若对任意，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，函数无零点； 当，或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导数，再根据导函数正负得出单调性进而得出最值； （2）先把零点转化为直线与函数的图象的交点，再求出导函数得出函数最值判断零点个数； （3）先移项构造函数，再求出导函数得出函数单调性，最后分，及计算求解参数. 【小问1详解】 由题意可得. 令， 则当时，，从而在上单调递减. 于是，进而可得在上单调递减. 因此在区间的最小值为. 【小问2详解】 ， 函数的零点个数等于直线与函数的图象的交点个数. 设. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又当时，， 所以当时，直线与函数的图象无交点，函数无零点； 同理，当，或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. 综上，当时，函数无零点； 当，或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. 【小问3详解】 由题意，， 不等式 可化为 ， 即 由已知不等式恒成立， 可化为恒成立， 令. 又设，当时，. 设，则当时，. 所以在上单调递增，. 所以当时，在上单调递增. ①当时，对于，有， 即，所以在上单调递增.因此，时，恒成立，符合题意. ②当时，对于，有， 即，所以在上单调递减.因此，时，，不符合题意. ③当时，因为，所以存在，使得. 当时，，即，所以在上单调递减.因此，当时，，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $