江西省定南中学2025-2026学年下学期期末考试高二数学试卷

**基本信息** 该高二数学期末试卷覆盖集合、不等式、数列、导数等核心知识，解答题如导数综合题（19题）考查逻辑推理与数学建模，填空题椭圆周长（13题）体现几何直观，适配高二期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、充分必要条件、空间向量|单选基础巩固，多选区分度高（如10题空间向量判断）| |填空题|3题15分|导数计算、椭圆定义、抛物线性质|13题椭圆周长考查定义应用，体现数学眼光| |解答题|5题77分|集合关系、不等式恒成立、数列求和、导数应用|19题导数综合题（切线、恒成立、证明）层层递进，考查数学思维与表达|

江西省定南中学2025-2026学年度下学期期末考试 高二年级数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,4}，集合B＝{1,4,6}，则(∁UA)∩B＝(　　) A．{3,6} B．{1,6} C．{1,4,6} D．{4,6} 2、不等式>0的解集为(　　) A．{x|x<－2或x>1} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－1或x>2} D．{x|－1<x<2} 3、“x＝－1”是“x2－1＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、若命题“∀x∈R,x2-4x+a≠0”为假命题,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,4] B.(-∞,4) C.(-∞,-4) D.[-4,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 10、下列命题中，正确的有（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、已知是函数的导函数，若，则 . 13、已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为_________。 14、已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与交于点，若，则 。 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16-17小题各15分，第18-19小题各17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 16．已知不等式ax2－3x＋b<0的解集为{x|1<x<2}． (1)求a，b的值； (2)若不等式mx2＋mx＋3a≥0对于x∈R恒成立，求实数m的取值范围． 17、已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 19、设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 期末考试高二数学参考答案 1、选B　由条件可得∁UA={1,3,5,6},所以(∁UA)∩B={1,6}. 2、选A　>0即为(x-1)(x+2)>0,故x<-2或x>1,故不等式的解集为{x|x<-2或x>1}. 3.选A　由x2-1=0,得x=±1,故“x=-1”是“x2-1=0”的充分不必要条件,故选A. 4.选A　命题“∀x∈R,x2-4x+a≠0”为假命题,∴“∃x0∈R,-4x0+a=0”是真命题,∴方程x2-4x+a=0有实数根,则Δ=(-4)2-4a≥0,解得a≤4. 5.【答案】D 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D. 6、【答案】D 【分析】列出4人全排列的种类数，再除去甲在排首的种类数，即可计算出所求概率. 【详解】将4人全排列共有种排列， 若甲在排首，将其余3人全排列共有种，则甲不在排首的排列共有种， 因此甲不在排首的概率为. 故选：D 7、【答案】C 【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可． 【详解】设等轴双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为， 所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点到渐近线的距离为. 故选：C． 8、[解析]　因为{an}是等差数列，所以a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，所以a8＝24.所以a9－a11＝a8＋d－(a8＋3d)＝a8＝16.故选C. ［规律方法］　等差数列中最常用的性质 ①d＝，②am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank⇔m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk.特别地若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9、【答案】ABD 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，. 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 10、【答案】AC 【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确；B选项：因为，所以所以或，B错误；C选项：因为，所以，C正确；D选项：记直线l与平面所成角为，则，因为，所以，D错误.故选：AC 11、【答案】BD 【分析】取，利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；由已知等式变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；由基本不等式可得出关于的不等式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数无最小值，A错； 对于B选项，当时，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为，B对； 对于C选项，因为正数、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C错； 对于D选项，因为、为实数，且， 则， 可得，解得， 当且仅当时，即当时，取最大值，D对. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12【答案】-2 【分析】先对函数求导再赋值可得，进而可得函数值. 【详解】由，得， ∴，得， ∴，则. 13、【答案】20； 【分析】根据椭圆的标准方程，求出a的值，由的周长是求出 【详解】椭圆，∴， 的周长是， 故答案为∶20 14、【答案】 【分析】设，，利用代入数据可得的值，进而利用抛物线的定义可求解. 【详解】依题意，，准线的方程为， 因为点是上一点，所以设点，， 则，， 因为，所以， 所以，解得， 又是上一点，所以由抛物线的定义可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时， （2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围. 【详解】（1）若，则， 所以， （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 16.解:(1)因为不等式ax2-3x+b<0的解集为{x|1<x<2},所以1和2是关于x的方程ax2-3x+b=0的两根,由根与系数的关系知解得a=1,b=2. (2)由(1)知,不等式mx2+mx+3≥0对于x∈R恒成立, 当m=0时,不等式为3≥0恒成立, 当m≠0时,应满足解得0<m≤12. 综上,实数m的取值范围是{m|0≤m≤12}. 17、【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为， 则，两式相除得，解得或（舍去）， 则，即. （2）由，得， 所以， 两式相减得， 则. 18、【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是； (2)极大值为，无极小值 (3)最大值；最小值． 【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间； （2）结合（1）问，即可求出极值； （3）结合（1）问，在上递增，在上递减，分别求出，比较大小即可求解. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 令，得， 列表如下： 2 + 0 - 由上表知，在上，单调递增； 在上，单调递减； 的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）极大值为，无极小值 （3）， ， 由（1）知，在上递增，在上递减， ∴当时，取最大值； ∴当时，取最小值． 19、【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程. （2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论不等式恒成立时的范围. （3）对函数求导，判断单调性，设，求导判断单调性，进而证明结论. 【详解】（1）时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. （2）由得. 因为在上单调递增，所以. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 若，令得或，且. 当时，，单调递减， 所以，与在上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是. （3）证明：当时，， 所以在上单调递增，又， 所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设，则. 所以在上单调递增，因为，所以. 因为，所以. 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $