第05讲 指数与指数函数（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数核心考点，涵盖指数幂运算、图像单调性及综合应用，按知识解构-题型破译逻辑架构，通过命题透视、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破高考重点难点。 资料采用分层训练与方法技巧融合策略，如恒成立问题用分离参数法培养数学思维，结合真题溯源与课本典例提升数学语言表达，助力学生高效掌握解题规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第05讲 指数与指数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 指数及指数运算 知识点2 指数函数 题型破译 题型1 指数幂的运算 题型2 指数幂的化简、求值 【方法技巧】指数幂的化简、求值 题型3 指数函数的判定与求值 题型4 指数（型）函数的图象问题 【方法技巧】指数（型）函数的图象问题 题型5 比较指数幂的大小 题型6 利用指数函数的单调性解不等式 【方法技巧】利用指数函数的单调性解不等式 题型7 指数（型）函数的单调性（恒成立）问题 【方法技巧】指数函数中的恒成立问题 题型8 指数（型）函数的综合问题 【方法技巧】指数函数的综合问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 指数幂的化简与运算 天津卷 T2（5 分） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T2（5 分） 指数函数图像与单调性 天津卷 T5（5 分） 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T5（5 分） 指数型函数综合应用（不等式、零点、含参） 天津卷 T9（5 分） 天津卷 T8（5 分） 天津卷 T7（5 分） 考情分析 指数与指数函数为天津高考稳定必考内容，全部以单选题考查，单题分值 5 分，每年至少 1-2 道。基础运算题位于试卷前几道，难度极低；图像、单调性、数值比较为中档小题；综合含参、零点、恒成立问题常作单选压轴。常搭配充要条件、不等式、分段函数联合命题，侧重数形结合，基础题易拿分，综合小题有区分度，是函数板块必拿基础分。 复习目标 1.熟练根式、分数指数幂互化，掌握指数运算法则，快速完成化简求值； 2.熟记指数函数过定点、定义域值域、单调性规律，能快速比较指数式大小； 3.掌握指数不等式、分段指数函数解法，会结合图像分析零点、参数取值范围； 4.能融合充要条件、恒成立题型综合解题，夯实数形结合、分类讨论思想。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 指数幂的运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 必记结论 指数幂运算有七条核心结论，首先零指数幂规定非零数的 0 次幂等于 1，0 的 0 次幂无意义；负指数幂可转化为正指数幂的倒数，负分数指数幂同理。根式与分数指数幂能够相互转化，正数的 m/n 次幂等于对底数开 n 次方再取 m 次方。同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减。积的乘方等于分别乘方再相乘，商的乘方等于分子分母各自乘方后相除，分母不能为零。幂的乘方，底数不变，指数相乘。运算时要注意底数符号，负数底数在分数指数运算中需保证根式有意义，计算前优先把底数化为正数，遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，熟练运用公式化简求值，是天津高考指数小题的基础工具。 自主检测已知，，且则的最小值为____________． 【答案】 【详解】已知，，且， 则，故， 令，则，代入得，解得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值为. 知识点2 指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 必记结论 指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 自主检测（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从图像上看，的图像不关于轴对称， 选项A，是奇函数，对称轴为， 所以对称轴为， ，为单调递增函数，为单调递增函数， 则在上是单调递增函数，符合题意，故A正确； 选项B，，关于轴对称，不满足题意，故B错误； 选项C，，为单调递增函数，为单调递减函数， 则在上是单调递减函数，不符合题意，故C错误； 选项D，，不满足题意，故D错误； 题●型●破●译 题型1 指数幂的运算 例1-1式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】， ， ， 所以. 例1-2计算_____. 【答案】1 【详解】原式. 故答案为： 【变式训练1-1】已知函数，则的值为________． 【答案】 【详解】， 故， 故答案为： 【变式训练1-2】化简求值（需要写出计算过程） (1). (2)设，求的值. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1） ； （2）由题意，，根据指对互换公式，可得，， 所以，， 所以. 【变式训练1-3】______. 【答案】 【详解】 . 故答案为： 题型2 指数幂的化简、求值 例2-1（2026·天津和平·三模）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，所以，所以. 例2-2________． 【答案】 【详解】 . 方法技巧 指数幂的化简、求值 指数幂化简求值核心思路是统一形式，先把根式、负指数幂全部转化为正分数指数幂，再套用指数运算法则计算。计算时优先处理括号内部分，遵循积、商、幂的乘方公式展开，合并同底数幂，底数不变、指数做加减运算。若底数可凑整，先分解底数便于约分简化；带字母的式子要留意底数取值范围，保证根式与分母有意义。求值题型常给出整体代换条件，无需单独求出字母数值，通过变形构造已知整体代入计算，减少复杂运算。该题型是天津高考基础小题必考内容，重在熟练公式、规范步骤，避免符号与指数计算失误。 【变式训练2-1】___________． 【答案】/ 【详解】 . 故答案为：. 【变式训练2-2】（1）求值：； （2）求值：； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式训练2-3】（2026·天津滨海新区·阶段检测）_____. 【答案】/ 【详解】 . 故答案为： 题型3 指数函数的判定与求值 例3-1已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 过点作轴的垂线，交于， 可得：， 过点作轴的垂线，交于， 可得：，解得， 由图象知：， 所以：. 故选：D 例3-2设函数为定义在上的奇函数，当时，，则______. 【答案】 【详解】已知为定义在上的奇函数，因此可得：. 又当时，，因此可得：， 综上可得：. 故答案为： 例3-3已知函数，则的值为__________. 【答案】2 【详解】函数，， 所以. 故答案为：2 【变式训练3-1】已知函数，则 ________. 【答案】16 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：16. 【变式训练3-2】已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．2 【答案】B 【详解】由函数的图象经过，则，即． ，当且仅当时取到等号． 故选：B． 题型4 指数（型）函数的图象问题 例4-1函数的大致图象为（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【详解】，当时，，，排除D． 则， 单调递减，单调递增，排除BC， 故选：A. 例4-2函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 当时，，此时函数的图象在轴上方，排除C； 由，得，因此函数只有1个零点，其图象与轴只有1个交点，排除B； 又，当时，，因此，排除A，D符合题意.. 方法技巧 指数（型）函数的图象问题 基础指数函数 y=aˣ恒过定点 (0,1)，a>1 时单调递增，0<a<1 时单调递减，图像均在 x 轴上方，值域恒大于 0。平移型 y=a(x+m)+n，左加右减、上加下减，定点同步平移；绝对值型 y=|aˣ-m | 会将 x 轴下方图像翻折向上，产生分段拐点；复合型 y=a(kx+b) 由内层一次函数控制增减区间。解题以数形结合为主，重点判断定点、单调性、渐近线、函数最值。天津高考常结合不等式、零点、参数范围考查，通过图像高低比较函数值，利用交点个数求解参数，解题需先画出基础图像，再结合变换规则快速分析。 【变式训练4-1】函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以函数的定义域为R.所以可排除C. 令，则，所以或. 由，得，解得. 所以函数有唯一零点.所以可排除D. 因为， 所以，. 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B. 故选：A. 【变式训练4-2】函数的图象大致为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】定义域为， 又，故为偶函数，排除BD； 当时，，故，排除C选项，A正确. 故选：A 【变式训练4-3】给出下列五个命题： ①函数的图象过定点； ②已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若则实数或2. ③若，则的取值范围是； ④若对于任意都成立，则图象关于直线对称； ⑤对于函数，其定义域内任意都满足 其中所有正确命题的序号是______. 【答案】②③④⑤ 【详解】①函数，则，故①错误； ②当时，， 由解得或， 因，故， 当时，，无解， 综上，的解为， 命题‘若，则或’为真命题，故②正确； ③若，可得，故③正确； ④因为，则图象关于直线对称，故④正确； ⑤对于函数， 当且仅当取得等号，其定义域内任意都满足，故⑤正确． 故答案为：②③④⑤． 题型5 比较指数幂的大小 例5-1（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 例5-2（2026·天津河西·三模）设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的性质，可得，即， 且，即， 又由对数函数的性质，可得，即， 所以. 【变式训练5-1】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 注意到，， 则，从而. 又注意到，从而. 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故， ， ，即， ． 【变式训练5-3】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在R上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，且， 所以，则. 题型6 利用指数函数的单调性解不等式 例6-1（2026·天津·模拟预测）已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意得，，， 而在上单调递增，故， 而在上单调递减，故，充分性成立， ，不妨设，满足要求， 但此时，不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 例6-2（2026·河北承德·模拟预测）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， ， 则. 方法技巧 利用指数函数的单调性解不等式 利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 【变式训练6-1】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是增函数，所以集合， ， 所以 【变式训练6-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解分式不等式可得，由， 所以. 故选：B 【变式训练6-3】若不等式在上有解，则的取值范围是（   ） A． B．． C． D． 【答案】C 【详解】若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递增， 可得， 故不等式在上有解，满足要求； 若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 同一坐标系内画出和在的图象，如下： 要想在上有解，需满足 ，即，解得， 故的取值范围为. 故选：C 题型7 指数（型）函数的单调性（恒成立）问题 例7-1已知函数若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 因为函数在单调递增，且函数是减函数， 所以在单调递减； 当时，， 因为函数在是单调递增，且函数是减函数， 所以在单调递减； 又，所以在单调递减， 若，则，即， 解得或，所以实数的取值范围为， 故选：A. 例7-2若函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是___________． 【答案】 【详解】设，，， 因为函数在上单调递增， 函数在上单调递减， 所以在上递减，所以， 函数的定义域为， 令，则， 因为函数为减函数， 所以函数的单调递增区间，即的单调递减区间， 函数的单调递减区间为，结合函数定义域为， 所以函数单调递增区间为 故答案为： 方法技巧 指数函数中的恒成立问题 已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 【变式训练7-1】已知函数． (1)证明：； (2)求不等式：的解集； (3)若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）. （2）因为，所以， 因为定义域为，，所以是奇函数， 所以，又因为是上单调递增，所以， 解得，解集为； （3）因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，知在区间上单调递增，故， 由可得， 令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图，    当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 【变式训练7-2】已知函数，． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若方程有实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为函数的定义域为，且该函数为奇函数， 所以，解得，则， 对任意的，，即函数为奇函数， 综上所述，. （2）对任意的，，则， 由可得， 所以， 因为函数在上为增函数，当时，，故， 因此实数的取值范围是. （3）因为， 由得，可得， 所以， 对任意的，，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 令，则，可得， 构造函数，其中， 对任意的、且， ，即，故函数在上单调递减， 故当时，，且， 所以函数在上的值域为，故实数的取值范围是. 【变式训练7-3】已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故， 此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A   题型8 指数（型）函数的综合问题 例8-1已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】(1)2(2) 【详解】（1） ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. （2）由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 例8-2已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2）， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 方法技巧 指数函数的综合问题 处理指数型函数综合题核心采用换元法，令 t=aˣ，将复杂指数式转化为二次函数基础模型，同时注意 t>0 的取值限制。求解值域、最值时结合二次函数区间分析，严格区分 t 的正数范围；解指数不等式先统一底数，依据指数函数单调性转化整式不等式，分底数大于 1 和 0 到 1 两种情况讨论。零点、恒成立、存在性问题依托数形结合，结合函数单调性、图像交点分析参数范围；多函数比较大小可搭桥中间值。天津高考常搭配分段函数、充要条件命题，解题优先换元简化结构，时刻牢记指数式恒正的隐含条件，避免忽略定义域导致参数求解出错。 【变式训练8-1】已知函数是定义域在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)在上是增函数，证明见解析(3) 【详解】（1）函数是定义域在上的奇函数， 由，得，即有， 下面检验：， 且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故符合； （2）在上是增函数.证明如下： 设任意，， 由于，则，即有，则有， 故在上是增函数； （3）因为对任意的，不等式恒成立， 所以对于恒成立， 因为是定义域在上的奇函数，所以对于恒成立， 又在上是增函数，所以，即对于恒成立， 而函数在上的最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. 【变式训练8-2】函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，. (1)求函数的解析式； (2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意得，解之得， 故； （2）由（1）知在区间上有解， 即在区间上有解，所以， 因为， 由于得，所以当即时，有最大值为， 因此的取值范围为. 【变式训练8-2】已知函数. (1)若时，求满足的实数的值； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，，令，则， 解得或（舍），由，得 （2）由已知，存在，使成立可转化为存在，使得， 只需求出函数的最小值即可， 令，∴.则，易知在上单调递增，所以 ，∴，∴. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 4．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 5．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．说明下列方程存在解，并给出解的一个存在区间： (1)； (2)． 【答案】(1)说明见解析，(2)说明见解析， 【详解】（1）令，可得， 解得或， 故解的一个存在区间为. （2）令， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 又，， 故由零点存在性定理可知，函数的一个零点所在区间为， 所以的解的一个存在区间为. 2．已知，，求的值． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故可得. 3．求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由于，则， 故的值域为. （2）当时，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， 则，又为减函数， 所以的值域为，即. 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1） . （2） . 5．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）由题意可知：，且，解得或， 所以或. （2）由题意可得：，则， 且，整理得，解得或（舍去）， 所以. 6．在同一平面直角坐标系中画出下列各组函数的图象，并讨论它们之间的关系： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【详解】（1）在同一坐标系内作出函数，，的图象，如图， 函数的图象可看作由函数的图象向左平移3个单位而得； 函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位而得. （2）在同一坐标系内作出函数，，的图象，如图，    函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得； 函数的图象可看作由函数的图象向下平移1个单位而得. 7．化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)6. 【详解】（1）. （2）. 8．求使下列不等式成立的实数x的集合： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1），， ，，不等式成立的实数的集合为； （2）， ，即，即，则， 不等式成立的实数的集合为. 9．化简（式中的字母均为正实数）： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）根据指数幂的运算法则，可得： . （2）根据指数幂的运算法则，可得. 10．2000~2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%.按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2016年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）. 【答案】图见解析，3倍 【详解】设2000年我国年国内生产总值是1，x年后我国年国内生产总值为y. 因为国内生产总值年平均增长7.8%，所以从2001年开始，每年的国内生产总值是上一年的1.078倍，则 经过1年，； 经过2年，； 经过3年，； …… 一般地，经过x年，我国年国内生产总值 ，. 画出指数函数的图象，如图所示.从图象上看出，当时，.    所以到2016年我国年国内生产总值约为2000年的3倍. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：基础演练聚焦天津高考基础送分题型，核心考查指数幂运算、标准指数函数图像性质两大板块。运算类重点考根式与分数指数互化、指数四则化简求值，侧重公式熟练运用；函数类考查定点判断、定义域值域、单调性与指数数值大小比较。题型均为简单单选，难度偏低，不设置复杂含参讨论。题目常结合简单不等式、分段基础模型出题，重在夯实公式记忆与识图基本功，规避符号、指数运算、忽略指数恒正等低级失误，为后续指数综合压轴小题铺垫基础，贴合天津卷前几道小题的命题难度与出题方向。 1．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对数函数，底数，所以函数在上单调递减.因为，所以，即； 指数函数，底数，因此函数在上单调递减.因为，所以，即； 对数函数，底数，因此函数在上单调递增.因为，所以，即. 综上所述：由，，，可得. 故选： C. 2．已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以. 因为函数是增函数，所以， 因为函数是增函数，所以，所以. 因为函数是定义在上的增函数，所以，即. 故选：D. 3．已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． (1)求实数的值； (2)解不等式． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当 时，，与 无关， 故定点 的坐标为 ， 点 在函数 的图象上， 所以 ，即： ， 得：， 解得： （2）由第 1 问知 ，所以： 原不等式为：， 由对数真数必须大于 0， 得：，解得：； 由底数 ，对数函数在上单调递减， 因此原不等式等价于：， 整理得： ， 即，解得：， 又因为 ， 所以， 不等式的解集为： 4．已知，“”是“函数 在上为增函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得.所以函数 在上为增函数； 由函数 在上为增函数，得.所以. 所以“”是“函数 在上为增函数”的充要条件. 故选：C. 5．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值. (2)试判断的单调性（不需要证明），并求的值域． (3)解关于的不等式． 【答案】(1)(2)函数在上为增函数，的值域为(3) 【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数， 可得，即有， 即， 所以； （2）由于， 因为函数在上为增函数，所以在上为减函数， 所以函数在上为增函数， 由于，所以，于是可得， 故的值域为； （3）由（2）得，函数为奇函数且在上为增函数， 故原不等式等价为， 即，令，则不等式化为，解得 又，所以，故，解得， 所以不等式的解集为：. 6．（1）计算； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【详解】（1）原式； （2）， 当时，原不等式可化为，解得； 当时，令，解得或， 则当时，有，故原不等式解集为； 当时，有，原不等式解集为； 当时，有，原不等式解集为； 当时，有，原不等式解集为； 综上可得：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 7．“，”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式可化为:, 时，， 所以， 故是的一个充分不必要条件，其他选项不合题意. 故选： 8．已知集合，． (1)若，求集合； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由可得，故集合， 当时，即，解得，即， 所以． （2）因为“”是“”的必要不充分条件，故集合B是集合的真子集， ，，则有，解得，故实数m的取值范围为． 9．已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B. 10．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设至少经过小时后才能安全驾驶， 则满足：，化简得：， 根据是增函数可得：，即， 因为，所以， 所以他至少要经过2小时后才能驾驶. 故选：B. 重难·创新演练 设题创新:创新点集中四点。一是跨模块融合，将指数嵌套复合函数与零点、恒成立、导数结合，搭配幂函数、不等式综合设问，打破单一函数考查模式；二是创设新颖情境，结合增长模型、新定义题型命题，弱化固定解题套路，侧重建模转化；三是强化含参分类讨论，分段指数、绝对值变换结合参数范围求解，兼顾数形结合与换元转化思想；四是创新设问形式，多选、填空压轴为主，考查存在性、唯一性论证，注重逻辑严谨性。区别基础题简单计算，侧重高阶思维，贴合天津卷 “多考思考、少考机械运算” 的命题导向，是拉开分数的核心题型。 1．已知函数，其中且. (1)若， （i）求函数的定义域 （ii）当时，，求的取值范围； （iii）时，求函数的最小值； (2)若当时，恒有，试确定a的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）；（iii） (2). 【详解】（1）（i）当时，函数， 即，解得， 故函数的定义域为. （ii）当时，函数在单调递增， 则不等式转化为在恒成立， 所以恒成立， 因为，所以 则当时，， 所以. （iii）当时，函数， 则，， 令，则， 且函数在单调递减， 所以， 所以函数的最小值为. （2）由得，即， 因为， 所以，即， 由可得， 即，故， 令，其对称轴为， 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 即在上单调递减， 所以， 又，则，解得， 所以的取值范围为. 2．已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数是奇函数得函数的图象关于原点对称， 由任意的x，总有成立，即恒成立， 于是得函数的周期是4，又当时，， 而是奇函数，当时，， 又，，从而行， 即时，，而函数的周期是4， 于是得函数在R上的值域是， 因为对任意，存在，使得成立， 从而得不等式在R上有解，当时，显然成立， 当时，在R上有解，必有，解得， 则有. 综上得. 故选：B． 3．设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图，    令，则方程化为， 要使关于的方程恰好有六个不同的实数解， 则方程有个不同的实数解，结合图象可知，此时， 则方程在内有两个不同的实数根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4．已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意可得函数在上递增，利用可得的值. 【详解】解法1：因为， 所以， 所以关于对称. 因为，函数在区间上的值域为，所以. 解法2：因为在上递增， 所以. 解法3：取，因为在上递增， 所以. 故选D. 5．函数对任意的实数a，b，都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：是R上的增函数； (3)解关于实数x的不等式． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）因为对任意的实数a，b，都有， 不妨取，则，所以； （2）任取实数，且，则， 由当时，，得， 依题意，， 所以函数是R上的增函数； （3）由（1）知，，由（2）知，函数是R上的增函数， 则不等式， ， 即，所以， 解得（舍去）或，即，所以原不等式的解集是. 6．已知函数 (1)求函数的值域； (2)若时，恒有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）的定义域为， 当时，， 因为，所以，所以； 当时，， 因为，，所以， 综上，可得函数的值域为． （2）因为，， ，即 两边同时乘以的 即恒成立， ， 即，令，， 则，由二次函数图象与性质可知在上单调递减， 所以当时，， 所以， 所以实数a的取值范围是． 7．已知函数，（，且）.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为________；的取值范围为__________ 【答案】 【详解】关于的方程恰有三个不相等的实数根， 即函数的图象与函数的图象有三个不同的交点， 由题意当且时，， 又，若关于的方程有根， 则只能，但此时方程有且仅有一个根不满足题意； 所以， 此时， 直接由解析式可得当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递增， 综上所述，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与函数的图象如图所示：    由图可知函数的图象与函数的图象有三个不同的交点， 则当且仅当，解得，即的取值范围为， 不妨设，注意到， 所以，，等号成立当且仅当， 解得，即，所以，即的取值范围为. 故答案为：；. 8．，若有3个不同的零点，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】由函数解析式可得如下图象草图， 令，则，有两个零点；，有三个零点； ，有一个零点；，有没有零点； 则，若可得或， 当或时，即有两个零点且，对称轴， 要使有3个不同的零点，有如下情况： ，则且，可得； ，则且，无解； 当时，即有且仅有一个零点，对称轴， 此时，，即无零点或两个零点，不合题意； 当时，无零点，不合题意； 综上，有3个不同的零点，则. 故答案为： 9．已知奇函数的定义域为. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若实数满足，求的取值范围； (3)设函数，若存在，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)；(3). 【详解】（1）由为奇函数，则，而， 所以，，可得， 由于函数的定义域关于原点对称，则， 所以，. 、，且， 则， ，则，，， ，即，所以，函数在上单调递增； （2）由，可得， 等价于，得，因此，实数的取值范围是. （3）由（1）得，函数在上单调递增， 所以，当时取最小值为，当时取最大值为0.6， 即在上的值域   ，， 设，，则， 当时最小值为，当时最大值为， 即在上的值域，   又存在，存在，使得成立，则， 所以 ，解得. 10．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)试判断的单调性， 并用定义证明； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)函数在上为增函数，证明见解析；(3) 【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数， 可得，即有， 即恒成立， 所以； （2）由于，可得函数在上为增函数． 证明：任取，，且， 则， 因为，所以，又， 所以，即， 所以函数在上为增函数． （3）由（2）得，奇函数在上为增函数， 则等价于， 即， 令，则在上有解， 因为，当且仅当，即，时，等号成立， 所以，即. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 指数与指数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 指数及指数运算 知识点2 指数函数 题型破译 题型1 指数幂的运算 题型2 指数幂的化简、求值 【方法技巧】指数幂的化简、求值 题型3 指数函数的判定与求值 题型4 指数（型）函数的图象问题 【方法技巧】指数（型）函数的图象问题 题型5 比较指数幂的大小 题型6 利用指数函数的单调性解不等式 【方法技巧】利用指数函数的单调性解不等式 题型7 指数（型）函数的单调性（恒成立）问题 【方法技巧】指数函数中的恒成立问题 题型8 指数（型）函数的综合问题 【方法技巧】指数函数的综合问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 指数幂的化简与运算 天津卷 T2（5 分） 天津卷 T3（5 分） 天津卷 T2（5 分） 指数函数图像与单调性 天津卷 T5（5 分） 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T5（5 分） 指数型函数综合应用（不等式、零点、含参） 天津卷 T9（5 分） 天津卷 T8（5 分） 天津卷 T7（5 分） 考情分析 指数与指数函数为天津高考稳定必考内容，全部以单选题考查，单题分值 5 分，每年至少 1-2 道。基础运算题位于试卷前几道，难度极低；图像、单调性、数值比较为中档小题；综合含参、零点、恒成立问题常作单选压轴。常搭配充要条件、不等式、分段函数联合命题，侧重数形结合，基础题易拿分，综合小题有区分度，是函数板块必拿基础分。 复习目标 1.熟练根式、分数指数幂互化，掌握指数运算法则，快速完成化简求值； 2.熟记指数函数过定点、定义域值域、单调性规律，能快速比较指数式大小； 3.掌握指数不等式、分段指数函数解法，会结合图像分析零点、参数取值范围； 4.能融合充要条件、恒成立题型综合解题，夯实数形结合、分类讨论思想。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 指数幂的运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个________. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为________. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂________． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 必记结论 指数幂运算有七条核心结论，首先零指数幂规定非零数的 0 次幂等于 1，0 的 0 次幂无意义；负指数幂可转化为正指数幂的倒数，负分数指数幂同理。根式与分数指数幂能够相互转化，正数的 m/n 次幂等于对底数开 n 次方再取 m 次方。同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减。积的乘方等于分别乘方再相乘，商的乘方等于分子分母各自乘方后相除，分母不能为零。幂的乘方，底数不变，指数相乘。运算时要注意底数符号，负数底数在分数指数运算中需保证根式有意义，计算前优先把底数化为正数，遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，熟练运用公式化简求值，是天津高考指数小题的基础工具。 自主检测已知，，且则的最小值为____________． 知识点2 指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过________点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 必记结论 指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 自主检测（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 指数幂的运算 例1-1式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 例1-2计算_____. 【变式训练1-1】已知函数，则的值为________． 【变式训练1-2】化简求值（需要写出计算过程） (1). (2)设，求的值. 【变式训练1-3】______. 题型2 指数幂的化简、求值 例2-1（2026·天津和平·三模）已知，，则（     ） A． B． C． D． 例2-2________． 方法技巧 指数幂的化简、求值 指数幂化简求值核心思路是统一形式，先把根式、负指数幂全部转化为正分数指数幂，再套用指数运算法则计算。计算时优先处理括号内部分，遵循积、商、幂的乘方公式展开，合并同底数幂，底数不变、指数做加减运算。若底数可凑整，先分解底数便于约分简化；带字母的式子要留意底数取值范围，保证根式与分母有意义。求值题型常给出整体代换条件，无需单独求出字母数值，通过变形构造已知整体代入计算，减少复杂运算。该题型是天津高考基础小题必考内容，重在熟练公式、规范步骤，避免符号与指数计算失误。 【变式训练2-1】___________． 【变式训练2-2】（1）求值：； （2）求值：； （3）. 【变式训练2-3】（2026·天津滨海新区·阶段检测）_____. 题型3 指数函数的判定与求值 例3-1已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 例3-2设函数为定义在上的奇函数，当时，，则______. 例3-3已知函数，则的值为__________. 【变式训练3-1】已知函数，则 ________. 【变式训练3-2】已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．2 题型4 指数（型）函数的图象问题 例4-1函数的大致图象为（   ） A．  B．  C．   D．   例4-2函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 指数（型）函数的图象问题 基础指数函数 y=aˣ恒过定点 (0,1)，a>1 时单调递增，0<a<1 时单调递减，图像均在 x 轴上方，值域恒大于 0。平移型 y=a(x+m)+n，左加右减、上加下减，定点同步平移；绝对值型 y=|aˣ-m | 会将 x 轴下方图像翻折向上，产生分段拐点；复合型 y=a(kx+b) 由内层一次函数控制增减区间。解题以数形结合为主，重点判断定点、单调性、渐近线、函数最值。天津高考常结合不等式、零点、参数范围考查，通过图像高低比较函数值，利用交点个数求解参数，解题需先画出基础图像，再结合变换规则快速分析。 【变式训练4-1】函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】函数的图象大致为（   ） A．B． C． D． 【变式训练4-3】给出下列五个命题： ①函数的图象过定点； ②已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若则实数或2. ③若，则的取值范围是； ④若对于任意都成立，则图象关于直线对称； ⑤对于函数，其定义域内任意都满足 其中所有正确命题的序号是______. 题型5 比较指数幂的大小 例5-1（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 例5-2（2026·天津河西·三模）设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型6 利用指数函数的单调性解不等式 例6-1（2026·天津·模拟预测）已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例6-2（2026·河北承德·模拟预测）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 方法技巧 利用指数函数的单调性解不等式 利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 【变式训练6-1】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】若不等式在上有解，则的取值范围是（   ） A． B．． C． D． 题型7 指数（型）函数的单调性（恒成立）问题 例7-1已知函数若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例7-2若函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是___________． 方法技巧 指数函数中的恒成立问题 已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 【变式训练7-1】已知函数． (1)证明：； (2)求不等式：的解集； (3)若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 【变式训练7-2】已知函数，． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若方程有实根，求实数的取值范围． 【变式训练7-3】已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型8 指数（型）函数的综合问题 例8-1已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 例8-2已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 方法技巧 指数函数的综合问题 处理指数型函数综合题核心采用换元法，令 t=aˣ，将复杂指数式转化为二次函数基础模型，同时注意 t>0 的取值限制。求解值域、最值时结合二次函数区间分析，严格区分 t 的正数范围；解指数不等式先统一底数，依据指数函数单调性转化整式不等式，分底数大于 1 和 0 到 1 两种情况讨论。零点、恒成立、存在性问题依托数形结合，结合函数单调性、图像交点分析参数范围；多函数比较大小可搭桥中间值。天津高考常搭配分段函数、充要条件命题，解题优先换元简化结构，时刻牢记指数式恒正的隐含条件，避免忽略定义域导致参数求解出错。 【变式训练8-1】已知函数是定义域在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练8-2】函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，. (1)求函数的解析式； (2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围. 【变式训练8-2】已知函数. (1)若时，求满足的实数的值； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 5．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．说明下列方程存在解，并给出解的一个存在区间： (1)； (2)． 2．已知，，求的值． 3．求下列函数的值域： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)． 5．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 6．在同一平面直角坐标系中画出下列各组函数的图象，并讨论它们之间的关系： (1)，，； (2)，，． 7．化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)． 8．求使下列不等式成立的实数x的集合： (1)； (2)． 9．化简（式中的字母均为正实数）： (1)；(2)． 10．2000~2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%.按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2016年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：基础演练聚焦天津高考基础送分题型，核心考查指数幂运算、标准指数函数图像性质两大板块。运算类重点考根式与分数指数互化、指数四则化简求值，侧重公式熟练运用；函数类考查定点判断、定义域值域、单调性与指数数值大小比较。题型均为简单单选，难度偏低，不设置复杂含参讨论。题目常结合简单不等式、分段基础模型出题，重在夯实公式记忆与识图基本功，规避符号、指数运算、忽略指数恒正等低级失误，为后续指数综合压轴小题铺垫基础，贴合天津卷前几道小题的命题难度与出题方向。 1．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． (1)求实数的值； (2)解不等式． 4．已知，“”是“函数 在上为增函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值. (2)试判断的单调性（不需要证明），并求的值域． (3)解关于的不等式． 6．（1）计算； （2）求关于的不等式的解集． 7．“，”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，． (1)若，求集合； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 9．已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A．1 B．2 C．3 D．4 重难·创新演练 设题创新:创新点集中四点。一是跨模块融合，将指数嵌套复合函数与零点、恒成立、导数结合，搭配幂函数、不等式综合设问，打破单一函数考查模式；二是创设新颖情境，结合增长模型、新定义题型命题，弱化固定解题套路，侧重建模转化；三是强化含参分类讨论，分段指数、绝对值变换结合参数范围求解，兼顾数形结合与换元转化思想；四是创新设问形式，多选、填空压轴为主，考查存在性、唯一性论证，注重逻辑严谨性。区别基础题简单计算，侧重高阶思维，贴合天津卷 “多考思考、少考机械运算” 的命题导向，是拉开分数的核心题型。 1．已知函数，其中且. (1)若， （i）求函数的定义域 （ii）当时，，求的取值范围； （iii）时，求函数的最小值； (2)若当时，恒有，试确定a的取值范围. 2．已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（   ） A． B． C． D． 3．设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是__________. 4．已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．函数对任意的实数a，b，都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：是R上的增函数； (3)解关于实数x的不等式． 6．已知函数 (1)求函数的值域； (2)若时，恒有，求实数a的取值范围． 7．已知函数，（，且）.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为________；的取值范围为__________ 8．，若有3个不同的零点，则的取值范围为_____. 9．已知奇函数的定义域为. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若实数满足，求的取值范围； (3)设函数，若存在，存在，使得成立，求实数的取值范围. 10．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)试判断的单调性， 并用定义证明； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $