专题13.2 与三角形有关的角（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦“与三角形有关的角”核心知识点，系统梳理三角形内角和定理的证明与应用，衔接直角三角形的性质判定及三角形外角的概念性质，构建从基础到综合的学习支架。 资料融入思维导图辅助知识结构化，通过即学即练、典例变式及折叠动态等综合题型，培养学生推理意识与几何直观，课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺强化应用能力。

专题13.2 与三角形有关的角 教学目标 1.掌握三角形内角和定理． 2.掌握直角三角形的性质与判定． 3.理解三角形外角的概念． 4.掌握三角形外角的性质并会运用三角形内角和定理及外角的性质解决相关问题． 教学重难点 1.重点 （1）三角形内角和定理； （2）直角三角形的性质与判定； （3）三角形外角的性质． 2.难点 （1）运用三角形内角和定理及外角的性质解决相关问题． 知识点01 三角形的内角和定理 1．定理 三角形三个内角的和等于_______． 2．定理的推理论证 已知：． 求证：． 证明：如图所示，过点A作直线． ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）． ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴． 注意： ①三角形的内角和定理适用于任意三角形． ②三角形的内角和定理是关于以三角形为背景的题目的隐含条件． ③由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角中至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角，且三角形中最大的内角不小于． 【即学即练】 1．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是________． 知识点02 直角三角形的性质与判定 1．直角三角形表示方法 直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形ABC可以写成_________．用符号“”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用． 2．直角三角形的性质 直角三角形两个锐角______． 3．直角三角形的判定 有两个角______的三角形是直角三角形． 如图所示，在中，如果，那么是直角三角形． 【即学即练】 1．如图，平分，，，，则是____三角形． 2．如图，在中，平分交于点，于点，若，，求的度数． 知识点03 三角形的外角 1．三角形外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的______，如图所示，是的一个外角． 2．三角形外角的性质 三角形的外角等于与它______________________________． 注意： ①三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． ②三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角．因为三角形的每个外角和与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是，可推出三角形的三个外角和是． ③三角形内角和定理与三角形外角的性质是角的有关计算及推理论证时经常使用的理论依据． 【即学即练】 1．如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．完成填空，并补全证明过程： 如图，是的一个外角，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 解：因为的平分线与的平分线交于， 所以，_________．（_________________）（填推理依据） 因为是的外角，是的外角， 所以______，______．（_________________）（填推理依据） … 题型01 三角形内角和定理的证明 【典例1】求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【变式1】在探究三角形内角和定理时，我们通过剪拼将一个三角形的三个内角拼成一个平角，这一过程运用的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．整体思想 【变式2】如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： （1）能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； （2）在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 题型02 三角形内角和定理的应用 【典例1】一副三角板如图放置，直线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，用剪刀把一张长方形纸片剪去一个角（虚线部分），则的度数是___________ 【变式2】 如图1，中，D是边上的点，先将沿着翻折，使点A落在点处，且，交于点E（如图2），又将沿着翻折，使点C落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则______． 【变式3】如图，，平分交于点E，点F在的延长线上且． （1）证明：． （2）若，求的度数． 题型03 直角三角形性质与判定的综合应用 【典例1】如图，在四边形中，于点B，于点C，平分交于点E，，F为上方一点，连接、，点M、N分别是，延长线上的点．则下列结论中错误的是（    ） A． B． C．与是内错角 D． 【典例2】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 如图，在四边形中，，平分，交于点E，，延长到点F．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若一个三角形中有两个角之和等于第三个角，则这个三角形是（    ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【变式3】如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 题型04 三角形外角性质的应用 【典例1】如图，在和中，与相交于点F．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，，，，则的度数为________． 【变式2】如图，，则__________． 题型05 三角形内角和定理及外角性质的综合应用 【典例1】如图，中，D为边上一点，过D作，交于E，F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且． （1）平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； （2）若，，求的度数． 【变式1】如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，可调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”）________度．横线上的结果是（    ） A．增加，5 B．增加，10 C．减小，5 D．减小，10 【变式2】如图，______． 题型06 三角形内角和定理、外角性质及三线的综合应用 【典例1】如图，在中，的平分线交边于点D，点F是边上一点，延长至点E，连接交于点M，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【典例2】如图，在中，，是的角平分线，P为线段延长线上的一点，交的延长线于点E． （1）若比小，求的度数； （2）试猜想，，的数量关系，并写出证明过程． 【变式1】如图，在中，，，D是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“思梅三角形”，其中称为“思梅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，那么这个三角形就是“思梅三角形”，其中为“思梅角”． （1）一个“思梅三角形”的一个内角为，若“思梅角”为锐角，则这个“思梅角”的度数为________； （2）如图①，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“思梅三角形”，求的度数； （3）如图②，在中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“思梅三角形”且“思梅角”都为锐角，直接写出的度数． 1．如图，在中，，，则的外角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．三角尺是常用的画图工具．一副三角尺包含两块：一块是两锐角分别为和的直角三角尺，另一块是等腰直角三角尺，将它们按下列四种位置摆放，其中能使比小的摆放方式是（    ） A． B． C． D． 3．小明在学习三角形的知识时，得到下面两个结论： 甲：如果的一个外角等于它的一个内角，那么是直角三角形； 乙：如果的任意两个内角的和都大于第三个内角，那么是锐角三角形． 关于这两个结论，以下判断正确的是（    ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 4．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，若平分，且，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 6．“不规则密铺”是指在同一平面内用任何形状、任何大小的几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片的几何方法．如图①，公园石墙可以近似看成由多边形石材不规则密铺而成；图②是其局部示意图，四块多边形不规则密铺于点，已知，，，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 7．如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（    ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 8．一个三角形的两个内角的度数分别为和，按角分类它是______三角形． 9．等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是________． 10．如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．则___________． 11．如图，在中，，平分，若，，则________． 12．如图，该图是一个不规则的五角星，则______． 13．如图，将沿所在直线向右平移后得到，连结． （1）若，则的度数为_________°； （2）若，，，的周长为12，求平移的距离． 14．如图，，和相交于点E，F是线段上一点，G是线段延长线上一点，H是线段上一点，，． （1）求证：； 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵， ∴________． ∵， ∴__________． ∴__________． ∵， ∴____________________．（______________________________）（填推理的依据） ∴．（______________________________）（填推理的依据） （2）若，，则__________．（用含的式子表示） 15．已知：如图，点D在的内部．求证： （1）； （2）． （3）如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 16．在中，，是边上的高，是的平分线． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 1．商场导购机器人可以帮顾客快速找到店铺、电梯、卫生间、收银台，避免迷路．如图是根据机器人照片抽象出的一幅直观图．已知：与交于点P，，，，，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如果三角形的两个内角与满足，则称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，已知点B、C、P是直线l上的点，，若是“类直角三角形”，则___________°． 3．综合与实践： 实验操作 如图1，将一把直尺放在一张长方形纸片上（），画直线，分别交，于G，H． （1）证明：； （2）分别作和的角平分线，相交于点P，若的三个内角中，有一个角是另一个角的两倍，试求的度数； （3）在（2）的条件下，延长交于点M，N是线段上的一动点，连接，作的角平分线，再作的平分线．试探究，随着点N的运动，的大小将发生怎样的变化？通过推理和计算说明理由． 4．如图，已知两直线，，其中点A在直线上，点B，点C在直线上，平分交于点E，，其中．         （1）求证：； （2）如图，点D在直线上，且位于点A右侧．点F为线段上一点，且． ①证明：； ②若在射线上有一动点P，当时，请你画出图形，并探索与的数量关系． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2 与三角形有关的角 教学目标 1.掌握三角形内角和定理． 2.掌握直角三角形的性质与判定． 3.理解三角形外角的概念． 4.掌握三角形外角的性质并会运用三角形内角和定理及外角的性质解决相关问题． 教学重难点 1.重点 （1）三角形内角和定理； （2）直角三角形的性质与判定； （3）三角形外角的性质． 2.难点 （1）运用三角形内角和定理及外角的性质解决相关问题． 知识点01 三角形的内角和定理 1．定理 三角形三个内角的和等于． 2．定理的推理论证 已知：． 求证：． 证明：如图所示，过点A作直线． ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）． ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴． 注意： ①三角形的内角和定理适用于任意三角形． ②三角形的内角和定理是关于以三角形为背景的题目的隐含条件． ③由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角中至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角，且三角形中最大的内角不小于． 【即学即练】 1．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【详解】解：根据题意得：这个三角形的两个内角的度数为，， ∴这个三角形的第三个内角的度数为， ∴这个三角形形状是锐角三角形． 2．等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是________． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论：当的角为底角时，等腰三角形的底角的度数为； 当的角为顶角时，根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，可得底角的度数为：； 综上，它的底角的度数是或． 知识点02 直角三角形的性质与判定 1．直角三角形表示方法 直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形ABC可以写成．用符号“”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用． 2．直角三角形的性质 直角三角形两个锐角互余． 3．直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在中，如果，那么是直角三角形． 【即学即练】 1．如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 2．如图，在中，平分交于点，于点，若，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 知识点03 三角形的外角 1．三角形外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，如图所示，是的一个外角． 2．三角形外角的性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 注意： ①三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． ②三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角．因为三角形的每个外角和与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是，可推出三角形的三个外角和是． ③三角形内角和定理与三角形外角的性质是角的有关计算及推理论证时经常使用的理论依据． 【即学即练】 1．如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．完成填空，并补全证明过程： 如图，是的一个外角，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 解：因为的平分线与的平分线交于， 所以，_________．（_________________）（填推理依据） 因为是的外角，是的外角， 所以______，______．（_________________）（填推理依据） … 【答案】略 【详解】解：因为的平分线与平分线交于D， 所以，（角平分线的定义）， 因为是的外角，是的外角， 所以，，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）， 所以． 题型01 三角形内角和定理的证明 【典例1】求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【答案】略 【详解】已知：． 求证：． 证明：过点A作的平行线， ∵， ∴，， ∵， ∴． 【变式1】在探究三角形内角和定理时，我们通过剪拼将一个三角形的三个内角拼成一个平角，这一过程运用的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．整体思想 【答案】A 【详解】解：∵剪拼过程中，将三角形内角和未知问题转化为已知的平角（）推导，把陌生问题转化为熟悉已知问题解决，符合转化思想的特征，符合题意； 分类讨论思想需要分多种情况讨论，方程思想是通过建立方程求解，整体思想是将部分看作整体研究，均不符合该过程． 【变式2】如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．如图， ∵， ∴，， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B．如图， ∵， ∴，， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C．如图， ∵， ∴，， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D．无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意． 【变式3】课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： （1）能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； （2）在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】（1）①②③ （2）证明见解析 【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 故①能证明“三角形内角和是”； ②∵， ∴，， ∵， ∴， 故②能证明“三角形内角和是”； ③∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故③能证明“三角形内角和是”； ④∵， ∴， 故④不能证明“三角形内角和是”． 题型02 三角形内角和定理的应用 【典例1】一副三角板如图放置，直线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例2】如图，在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在三角形纸片中，，， ∴， 如图： 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴． 【变式1】如图，用剪刀把一张长方形纸片剪去一个角（虚线部分），则的度数是___________ 【答案】/270度 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 【变式2】 如图1，中，D是边上的点，先将沿着翻折，使点A落在点处，且，交于点E（如图2），又将沿着翻折，使点C落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则______． 【答案】84 【详解】解：∵先将沿着翻折， ∴，， ∵， ∴， ∵将沿着翻折，使点C落在点处，点恰好落在上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴， 在中， ， 故答案为：84． 【变式3】如图，，平分交于点E，点F在的延长线上且． （1）证明：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）略 （2） 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴； （2）∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 题型03 直角三角形性质与判定的综合应用 【典例1】如图，在四边形中，于点B，于点C，平分交于点E，，F为上方一点，连接、，点M、N分别是，延长线上的点．则下列结论中错误的是（    ） A． B． C．与是内错角 D． 【答案】D 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴， ∴， 故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， 故B正确，不符合题意； C．与为内错角， 故C正确，不符合题意； D．∵， ∴， 若，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 但不一定是， ∴不一定等于， 故D错误，符合题意． 【典例2】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．将代入得，解得，则是直角三角形，不符合题意； B．由得，代入得，解得，则是直角三角形，不符合题意； C．由得、，代入得，解得、，则是直角三角形，不符合题意； D．将代入得，解得、，则三个角都不是，故不是直角三角形，符合题意． 【变式1】 如图，在四边形中，，平分，交于点E，，延长到点F．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式2】若一个三角形中有两个角之和等于第三个角，则这个三角形是（    ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：设三角形三个角为、、，且满足， ∵， ∴（代入）， 即， ∴， 因此，三角形为直角三角形， 故选：B． 【变式3】如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【详解】证明：在中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴是直角三角形． 题型04 三角形外角性质的应用 【典例1】如图，在和中，与相交于点F．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 【变式1】如图，已知，，，，则的度数为________． 【答案】50°/50度 【详解】解：设与交于点F． ∵，， ∴， ∵ ∴． 【变式2】如图，，则__________． 【答案】 【详解】解：如图， 根据三角形外角的性质可知，，，， ∴， 即． 题型05 三角形内角和定理及外角性质的综合应用 【典例1】如图，中，D为边上一点，过D作，交于E，F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且． （1）平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）略 （2） 【详解】（1）是， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，可调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”）________度．横线上的结果是（    ） A．增加，5 B．增加，10 C．减小，5 D．减小，10 【答案】B 【详解】解：延长，交于点G． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 而图中 ∴应增加． 【变式2】如图，______． 【答案】180 【详解】解：如图， ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵， ∴． 题型06 三角形内角和定理、外角性质及三线的综合应用 【典例1】如图，在中，的平分线交边于点D，点F是边上一点，延长至点E，连接交于点M，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）略； （2） 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 【典例2】如图，在中，，是的角平分线，P为线段延长线上的一点，交的延长线于点E． （1）若比小，求的度数； （2）试猜想，，的数量关系，并写出证明过程． 【答案】（1）； （2）略 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，且， ∴； （2）解：．理由如下： ∵，又是的角平分线， ∴， ∵，又， ∴， 即． 【变式1】如图，在中，，，D是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠得，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“思梅三角形”，其中称为“思梅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，那么这个三角形就是“思梅三角形”，其中为“思梅角”． （1）一个“思梅三角形”的一个内角为，若“思梅角”为锐角，则这个“思梅角”的度数为________； （2）如图①，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“思梅三角形”，求的度数； （3）如图②，在中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“思梅三角形”且“思梅角”都为锐角，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）或或 （3）或或或 【详解】（1）解：设“思梅角”的度数为x，则另一内角为， 当，解得， ∵“思梅角”为锐角， ∴此种情况不合题意，舍去， 可得，解得， 故这个“思梅角”的度数为． （2）解：∵在中，，， ∴， 当为“思梅角”： 若， 可得，不合题意，舍去； 若， 可得； 当为“思梅角”： 若， 可得， 解得，； 若， 可得， 解得，； 当为“思梅角”： 若， 可得， 解得，不符合题意，舍去； 若， 可得，不符合题意，舍去， 综上，的度数为，，． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 已知是“思梅三角形”，当， 可得， 解得，即，，， 已知是“思梅三角形”， 且“思梅角”都为锐角， 则此时不会为“思梅角”， 当是“思梅角”： 若，可得，不符合题意，舍去； 若，可得，解得； 当是“思梅角”： 若，可得，解得，则； 若，可得，不符合题意，舍去； 当， 可得， 解得，此时， 当是“思梅角”： 若，可得，不符合题意，舍去； 若，可得，解得； 当是“思梅角”： 若，可得，解得，则； 若，可得，不符合题意，舍去； 综上，或或或． 1．如图，在中，，，则的外角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，， ∴的外角的度数为． 2．三角尺是常用的画图工具．一副三角尺包含两块：一块是两锐角分别为和的直角三角尺，另一块是等腰直角三角尺，将它们按下列四种位置摆放，其中能使比小的摆放方式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，得A选项中，，，； B选项中，，，； C选项中，，，； D选项中，，，． 3．小明在学习三角形的知识时，得到下面两个结论： 甲：如果的一个外角等于它的一个内角，那么是直角三角形； 乙：如果的任意两个内角的和都大于第三个内角，那么是锐角三角形． 关于这两个结论，以下判断正确的是（    ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】C 【详解】解：甲：∵三角形任意一个外角与它相邻的内角和为， ∴若外角等于相邻内角，则两个角都为，故三角形是直角三角形； 若外角等于不相邻内角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和， ∴另一个不相邻内角为，不符合三角形定义，不存在这种情况，故甲结论正确； 乙：设中最大内角为，则，， ∵任意两个内角和大于第三个内角， ∴， ∴，代入得， ∴， ∴三角形三个内角都小于，是锐角三角形，故乙结论正确． 综上，甲乙都对． 4．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，， 在中，， ∴． 5．如图，已知，，若平分，且，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：连接， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 6．“不规则密铺”是指在同一平面内用任何形状、任何大小的几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片的几何方法．如图①，公园石墙可以近似看成由多边形石材不规则密铺而成；图②是其局部示意图，四块多边形不规则密铺于点，已知，，，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（    ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【详解】解：∵ ∴，， ∵平分 ∴ ∵平分，， ∴． ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵平分， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴，即， ∵， ∴，故③正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 又， 代入得， ∴， ∴，故④正确． ∴正确的为②③④． 8．一个三角形的两个内角的度数分别为和，按角分类它是______三角形． 【答案】直角 【详解】解：第三个内角的度数为 ， 因此该三角形是直角三角形． 9．等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是________． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论：当的角为底角时，等腰三角形的底角的度数为； 当的角为顶角时，根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，可得底角的度数为：； 综上，它的底角的度数是或． 10．如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．则___________． 【答案】/75度 【详解】解：∵在中，，， ∴． 由折叠的性质可知，，． ∴在中，． 11．如图，在中，，平分，若，，则________． 【答案】/42度 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，该图是一个不规则的五角星，则______． 【答案】/180度 【详解】解：如图， 由三角形的外角性质，得，， ∵， ∴． 13．如图，将沿所在直线向右平移后得到，连结． （1）若，则的度数为_________°； （2）若，，，的周长为12，求平移的距离． 【答案】（1）90 （2）3 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由平移，得 ； （2）解：由平移的性质可知， ，， ∴， ∴平移的距离． 14．如图，，和相交于点E，F是线段上一点，G是线段延长线上一点，H是线段上一点，，． （1）求证：； 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵， ∴________． ∵， ∴__________． ∴__________． ∵， ∴____________________．（______________________________）（填推理的依据） ∴．（______________________________）（填推理的依据） （2）若，，则__________．（用含的式子表示） 【答案】（1）；；；；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行； （2） 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴ ． 15．已知：如图，点D在的内部．求证： （1）； （2）． （3）如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【答案】（1）略 （2）略 （3）略 【详解】（1）证明：延长交于点E，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：延长交于点E，如图， ∵，， ∴． （3），证明如下： 连接，如图， ∵，， ∴， ∴． 16．在中，，是边上的高，是的平分线． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵是边上的高， ∴，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 1．商场导购机器人可以帮顾客快速找到店铺、电梯、卫生间、收银台，避免迷路．如图是根据机器人照片抽象出的一幅直观图．已知：与交于点P，，，，，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，，，， ∴，，， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， 如图，延长，交于点Y， ∵，， ∴，， ∴． 2．如果三角形的两个内角与满足，则称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，已知点B、C、P是直线l上的点，，若是“类直角三角形”，则___________°． 【答案】15，105或30 【详解】解：若点在点B左侧，是“类直角三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴； 若点在点B左侧，是“类直角三角形”，且， ∵， ∴， ∴， 如图，若点在点B右侧，是“类直角三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴； 若点在点B右侧，是“类直角三角形”，且， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 3．综合与实践： 实验操作 如图1，将一把直尺放在一张长方形纸片上（），画直线，分别交，于G，H． （1）证明：； （2）分别作和的角平分线，相交于点P，若的三个内角中，有一个角是另一个角的两倍，试求的度数； （3）在（2）的条件下，延长交于点M，N是线段上的一动点，连接，作的角平分线，再作的平分线．试探究，随着点N的运动，的大小将发生怎样的变化？通过推理和计算说明理由． 【答案】（1）略 （2），，； （3）当点N在线段上运动时，大小为；当点N在线段上运动时，大小为，理由见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵与的角平分线交于点P， ∴， ∴； ①当时，，， ， ②当时， ，，， ③当或者时， ，，， 综上所述，度数为，，． （3）解：由（2）得， ①当点N在线段上时，如图 ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 此时，的大小不发生变化，大小为． ②当点N在线段上时，如图 ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． 此时，的大小不发生变化，大小为． 综上所述，当点N在线段上运动时，大小为；当点N在线段上运动时，大小为． 4．如图，已知两直线，，其中点A在直线上，点B，点C在直线上，平分交于点E，，其中．         （1）求证：； （2）如图，点D在直线上，且位于点A右侧．点F为线段上一点，且． ①证明：； ②若在射线上有一动点P，当时，请你画出图形，并探索与的数量关系． 【答案】（1）略 （2）① 证明：略；②或 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明 ：由（1）的结论：，可得， ∵， ∴， ∵， 则，代入，得到， ∵， ∴， 将代入该式得：， 整理后得到：， ∴在中，， 即是直角三角形， ∴斜边为；直角边为， ∴； ②解：∵，， 分两种位置讨论射线上的动点P：   由（1）已得：， ∴， ∵， ∴（3）， 情况一：如图；点P在线段上， ∵E，P，B共线， ∴， 由（3）得：（4）， ∵与互补， ∴， 将（4）代入：（5）， ∵， ∴， 将（5）代入：（6）， 在中，由外角定理：， 将（4）（6）代入：， ∴， 情况二：如图；点P在的延长线上； ∵E，P，B共线， ∴，则， 由（3）得：（7）， ∵与互补， ∴， 将（7）代入：（8）， ∵， ∴， 将（8）代入：（9）， 在中，由内角和定理：， 将（7）（9）代入：， ∴， 综上所述：在射线上有一动点P，或． 40 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $