专题13.2 三角形的边（举一反三讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“三角形的边”核心知识点，系统梳理三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边）及稳定性原理。以定义为基础，构建从判断构成、求第三边范围、化简求值，到等腰三角形应用、最值计算、不等关系证明、实际应用及稳定性的递进式学习支架。 资料亮点在于题型丰富（8类）且例题与变式结合，融入塔吊、花坛、火灾演练框架等生活情境。通过等腰三角形周长计算、最值问题等培养几何直观与推理意识，实际应用题型提升应用意识。课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题13.2 三角形的边（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 判断能否构成三角形】 1 【题型2 求三角形第三边的取值范围】 1 【题型3 三角形三边关系的化简与求值】 3 【题型4 三角形三边关系在等腰三角形中的应用】 5 【题型5 三角形三边关系求最值】 7 【题型6 利用三角形三边关系证明线段的不等关系】 9 【题型7 三角形三边关系的应用】 11 【题型8 三角形的稳定性】 17 考点1 三角形的边 知识点1 三角形的三边关系 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 【题型1 判断能否构成三角形】 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定能否组成三角形时，只需验证较小两边的和是否大于最长边，满足条件即可构成三角形，反之不能． 【详解】解：∵ ，不满足三边关系，∴选项A不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项B不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项C不能摆成三角形； ∵ ，满足三角形三边关系，∴选项D能摆成三角形． 【变式1-1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）、、是某三角形三边的长，则的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形三边关系，灵活运用“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系得到，进而判断选项中哪个值不在该范围内． 【详解】解：三角形三边关系为任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ， ， 选项中只有不在的范围内， 的长不可能是． 故选：． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答． 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选：B． 【变式1-3】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【答案】1 【分析】先写出从四条线段中任选三条的所有组合，再根据三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断组合是否符合要求，最后统计符合条件的组合个数即可． 【详解】从长度是、、、的线段中任选三条，共有以下种组合： ① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，． 根据三角形三边关系逐一判断： ① 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ② 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ③ 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ④ 因为 ，，，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形． 综上，能构成三角形的组合只有个． 【题型2 求三角形第三边的取值范围】 【例2】（25-26八年级上·河北廊坊·期末）三角形的三边长分别为7，11，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三边关系作答即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为7，11，， ∴， 即． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 【答案】3或5或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于2而小于8，再结合三角形周长是奇数可知第三边是奇数即可求解． 【详解】解：设第三边长为x， 根据三角形三边关系可知：， 即， 则x可以是3，4，5，6，7， ∵三角形周长是奇数，另外两边之和为8， ∴x为奇数， 故x可取3或5或7． 【变式2-2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，由两根钢丝绳和臂架组成的塔吊可近似看成三角形，已知臂架的长为，其中一根钢丝绳的长为，则另一根钢丝绳的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解． 【详解】解：设另一根钢丝绳的长为， ∴，即， 根据选项，只有A选项符合题意， 故选：A ． 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”进行解答即可得．解题的关键是熟记三角形的三边关系．根据，解答． 【详解】解：∵三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x， ∴， 解得， ∵x最小， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3 三角形三边关系的化简与求值】 【例3】（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，得 ，，， ，，， ∴原式 ． 【变式3-1】若三角形的三边长分别为2，5，，则化简：的结果为_____． 【答案】4 【分析】本题考查三角形三边关系的应用和绝对值的化简，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 即． ∴． 故答案为：4． 【变式3-2】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）已知，，是的三边． (1)化简． (2)若和满足方程组且为奇数，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长． 本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系． 【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边， ∴， ∴ ， ； （2）解：解方程组，得， 根据三角形的三边关系得，即， ∵c为奇数， ∴， ∴这个三角形的周长为． 【变式3-3】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，并且最长边长是7，求第三边的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． （1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，并且最长边长是7，结合三角形三边关系可得答案． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴第三边的取值范围为，即， ∵最长边长是7， ∴． 【题型4 三角形三边关系在等腰三角形中的应用】 【例4】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)设等腰三角形的腰长为，求的取值范围； (2)若等腰三角形的一边长为，求另两边长． 【答案】(1) (2)、 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系． （1）根据三角形的三边关系即可得到结论； （2）题中没有指明所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验． 【详解】（1）解：∵腰长为，周长为， ∴底边长为， ∴，， ∴； （2）解：①当为底时，腰长为，三边为、、，能组成三角形，所以另两边长为、； ②当为腰时，底边为，三边为、、，不能组成三角形． 故另两边长为、． 【变式4-1】等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为___________． 【答案】3 【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当腰是3时，则另两边是3，7，而，不满足三边关系定理，因而应舍去． 当底边是3时，另两边长是5，5， 则该等腰三角形的底边为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形定义和三角形的三边关系定理的应用，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法． 【变式4-2】等腰三角形的两边长分别为 1cm 和 5cm，则这个等腰三角形的周长为_____cm． 【答案】11cm． 【分析】因为边为5cm和1cm，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当1cm为底时，则其它两边都为5cm， 5cm、5cm、1cm可以构成三角形， 所以周长为11cm； 当5cm为底时， 其它两边为1cm和1cm， ∵1+1=2＜5，所以不能构成三角形，故舍去， 故答案为：11． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 【变式4-3】等腰三角形的三边长分别为3x-2,4x-3,6-2x,则该三角形的周长为(   ) A．6 B．6或9或8.5 C．9或8.5 D．与x的取值有关 【答案】C 【详解】解：①当3x﹣2是底边时，则腰长为：4x﹣3，6﹣2x． ∵三角形为等腰三角形， ∴4x﹣3=6﹣2x，∴x=1.5，∴4x﹣3=3，6﹣2x=3，∴3x﹣2=2.5， ∴等腰三角形的周长=3+3+2.5=8.5． ②当4x﹣3是底边时，则腰长为：3x﹣2，6﹣2x． ∵三角形为等腰三角形， ∴3x﹣2=6﹣2x，∴x=1.6，∴3x﹣2=2.8，6﹣2x=2.8，∴4x﹣3=3.4， ∴等腰三角形的周长=2.8+2.8+3.4=9． ③当6﹣2x是底边时，则腰长为：3x﹣2，4x﹣3． ∵三角形为等腰三角形， ∴3x﹣2=4x﹣3，∴x=1，∴3x﹣2=1，4x﹣3=1，∵1=1， ∴6﹣2x=4， ∵1+1＜4， ∴不能构成三角形． 故周长为：8.5或9，故选C． 点睛：此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，注意利用三角形的三边关系进行检验． 【题型5 三角形三边关系求最值】 【例5】如图，在中，，，，P是上的一个动点（不与点B重合）.点B与点关于直线对称，连接，，，则线段的最小值是_________. 【答案】3 【分析】根据题意，得，结合，判定当三点共线时，线段取得最小值，解答即可. 本题考查了三角形不等式求最值，构造正确的三角形不等式存在的基础三角形是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴当三点共线时，线段取得最小值 ∵， ∴， 故答案为：3. 【变式5-1】（24-25八年级上·广东湛江·月考）如图，在中，，，，D为边上一动点，将沿翻折得到，点B的对应点为点P，连接，则的最小值为__________． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．由折叠的性质知，在中，由三角形三边关系得，当D在边上运动时，总有，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质知， 在中，由三角形三边关系得， 当点落在边上时，， ∴当D在边上运动时，总有， ∴的最小值为， 故答案为：2． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 【答案】10 【分析】如图，连接，根据题意得到，，然后根据三角形三边关系求解． 【详解】解：如图，连接， 由平移得， 因为点M是的中点， 所以， 因为 所以当点A在上时，取得最大值，即的长度， 因为 所以的最大值为10． 【变式5-3】（24-25七年级上·江苏盐城·月考）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是_______． 【答案】16 【分析】本题考查线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为，， ∴的最小值为， 故答案为：16． 【题型6 利用三角形三边关系证明线段的不等关系】 【例6】如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段的和差关系，三角形的三边关系的应用，本题先证明，结合，从而可得答案． 【详解】证明， ， ， ． 【变式6-1】如图，在中，点在上，连接，点在上，连接，求证： ． 【答案】证明见详解 【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解． 【详解】证明：在中，， 在中，，     ∴， ． 【点睛】本题主要考查三角形三边的关系，不等式的性质，掌握三角形三边的关系是解题的关键． 【变式6-2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上的一点，求证： 2AC> BD+CD． 【答案】见解析 【分析】根据三角形三边的关系证明即可． 【详解】证明：∵AD+AB>BD ∴AD+AB+CD>BD+CD 又∵AD+CD=AC ∴AC+AB>BD+CD ∵AC=AB ∴2AC>BD+CD 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 【题型7 三角形三边关系的应用】 【例7】（25-26八年级上·甘肃陇南·阶段检测）某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30米，底边比腰短3米．求花坛各边的长度． 【答案】11米，11米，8米 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，设腰为米，则底边为米，根据三角形周长公式建立方程求出腰长和底边长，再根据构成三角形的条件验证即可得到答案． 【详解】解：设腰为米，则底边为米， 由题意得，， 解得． 腰为11米． 底边米． ∵， ∴此时能构成三角形． 答：花坛各边的长度为11米，11米，8米． 【变式7-1】（24-25八年级上·四川自贡·月考）数学活动课上，老师让同学们用长度分别是，，的三根木棒搭一个三角形的木架，小明不小心把的木棒折去了，他发现：用折断后剩下的木棒与另两根木棒怎么也搭不成三角形． (1)你知道为什么吗？ (2)长的木棒至少折去多长后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)长的木棒至少折去后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用、一元一次不等式的应用． （1）先求出剩下的木棒长度，再由三角形三边关系判断即可得解； （2）设木棒折去后，剩下的木棒不能与另两根木棒搭成三角形，根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：把的木棒折去了还剩， ∵， ∴不能搭成三角形； （2）解：设木棒折去后，剩下的木棒不能与另两根木棒搭成三角形， 由题意可得：， 解得：， ∴长的木棒至少折去后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形． 【变式7-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）如图，小明想用浅色灯带与深色灯带分别装饰三角形圣诞树的顶部和底部． (1)你知道小明所用的哪条灯带更长吗？说明理由； (2)小明共用了长的灯带，且已知三角形三边长为三个连续的自然数，你能帮小明求出三角形每条边的长度吗？ 【答案】(1)浅色灯带长，理由见解析 (2)三角形每条边的长度分别为，， 【分析】本题考查了三角形三边关系和一元一次方程的应用，解题的关键是（1）利用“三角形两边之和大于第三边”比较灯带长度；（2）设出连续自然数表示的三边长，根据周长列方程求解． （1）根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，判断浅色灯带与深色灯带的长度关系； （2）设中间边长为，用含的式子表示另外两边，根据周长为列方程求解． 【详解】（1）解：浅色灯带长． 理由：浅色灯带装饰三角形的两条边，深色灯带装饰第三条边． 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边． 根据三角形两边之和大于第三边，可得浅色灯带长． （2）解：设中间的边长为 ，由题意得， ，解得， ，， 故三角形每条边的长度分别为80，81，82． 【变式7-3】（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境． 数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价（元/根） 6 8 10 15 20 数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和5米，第三边长为偶数的不同规格的三角形框架． (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有___________种制作方案． (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 【答案】(1)2 (2)72元 【分析】本题主要考查了 三角形三边关系的应用，有理数加法的实际应用，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边的关系求出第三边的长的取值范围，再根据第三边长为偶数可得答案； （2）根据（1）的方案，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：设第三边长为x米， 由题意得，，即， ∵x为偶数， ∴x的值为4或6， ∴共有2种制作方案； （2）解：当三角形框架的三边长分别为2米，4米，5米时，所需费用为元， 当三角形框架的三边长分别为2米，6米，5米时，所需费用为元， ∴每种规格的框架各制作一个所需要的费用为元， 答：购买铁条共需要72元． 考点2 三角形的稳定性 知识点2 三角形的稳定性 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架结构等，其中的道理是三角形具有稳定性. 【题型8 三角形的稳定性】 【例8】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，其理论依据是______． 【答案】 三角形具有稳定性 【分析】观察图形可知，窗钩与窗框、窗扇的边缘构成了一个三角形结构，利用三角形的性质即可解答． 【详解】解：窗钩与窗框、窗扇的边缘构成了一个三角形. 因为三角形具有稳定性， 所以用窗钩可将窗户固定． 故答案为：三角形具有稳定性． 【变式8-1】下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性这一性质，观察各选项图形的构成即可得出结论． 【详解】解： A、图形中间部分为四边形，未被分割成三角形，故不具有稳定性； B、图形被分割成了三个三角形，故具有稳定性； C、图形被对角线分割成了两个三角形，故具有稳定性； D、图形本身即为三角形，故具有稳定性． 【变式8-2】（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条． 【答案】3 【详解】解：依据三角形的稳定性，六边形置物架钉上木条后分成三角形即可，故工人师傅至少需要加固根木条． 【变式8-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图1，在四边形木条框架中，任意添加1根对角线木条，就能使框架的形状稳定. 判断下列说法是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在图2中任意添加2根对角线木条，都能使框架的形状稳定.( ) (2)在图3中任意添加3根对角线木条，都能使框架的形状稳定.( ) (3)图4是一个用螺钉将木条链接成的框架，颇具美感，它的形状是稳定的.( ) 【答案】 √, ×, √ 【详解】试题分析： 根据所添加的对角线木条，结合“三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性”分析即可得出结论. 试题解析： （1）在图2中任意添加2根对角线木条，都能使图形全部由三角形结构组成，所以（1）中说法正确； （2）如下图，当按图中的方法，在图3中添加3根对角线木条后，图形中有四边形结构，图形结构不稳定，所以（2）说法是错误的； （3）当用螺钉将木条链接成如图4的框架时，则图中的框架形状全是由三角形结构组成的，所以（3）中的说法是正确的. 即：（1）√；（2）×；（3）√. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2 三角形的边（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 判断能否构成三角形】 1 【题型2 求三角形第三边的取值范围】 1 【题型3 三角形三边关系的化简与求值】 2 【题型4 三角形三边关系在等腰三角形中的应用】 2 【题型5 三角形三边关系求最值】 3 【题型6 利用三角形三边关系证明线段的不等关系】 3 【题型7 三角形三边关系的应用】 4 【题型8 三角形的稳定性】 6 考点1 三角形的边 知识点1 三角形的三边关系 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 【题型1 判断能否构成三角形】 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）、、是某三角形三边的长，则的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【题型2 求三角形第三边的取值范围】 【例2】（25-26八年级上·河北廊坊·期末）三角形的三边长分别为7，11，，则的取值范围是______． 【变式2-1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 【变式2-2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，由两根钢丝绳和臂架组成的塔吊可近似看成三角形，已知臂架的长为，其中一根钢丝绳的长为，则另一根钢丝绳的长可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知三角形的其中两条边分别为3和5，第三边长为x，且x是三条边中最短的，则第三边x的取值范围为________； 【题型3 三角形三边关系的化简与求值】 【例3】（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 【变式3-1】若三角形的三边长分别为2，5，，则化简：的结果为_____． 【变式3-2】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）已知，，是的三边． (1)化简． (2)若和满足方程组且为奇数，求这个三角形的周长． 【变式3-3】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，并且最长边长是7，求第三边的取值范围． 【题型4 三角形三边关系在等腰三角形中的应用】 【例4】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)设等腰三角形的腰长为，求的取值范围； (2)若等腰三角形的一边长为，求另两边长． 【变式4-1】等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为___________． 【变式4-2】等腰三角形的两边长分别为 1cm 和 5cm，则这个等腰三角形的周长为_____cm． 【变式4-3】等腰三角形的三边长分别为3x-2,4x-3,6-2x,则该三角形的周长为(   ) A．6 B．6或9或8.5 C．9或8.5 D．与x的取值有关 【题型5 三角形三边关系求最值】 【例5】如图，在中，，，，P是上的一个动点（不与点B重合）.点B与点关于直线对称，连接，，，则线段的最小值是_________. 【变式5-1】（24-25八年级上·广东湛江·月考）如图，在中，，，，D为边上一动点，将沿翻折得到，点B的对应点为点P，连接，则的最小值为__________． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 【变式5-3】（24-25七年级上·江苏盐城·月考）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是_______． 【题型6 利用三角形三边关系证明线段的不等关系】 【例6】如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 【变式6-1】如图，在中，点在上，连接，点在上，连接，求证： ． 【变式6-2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上的一点，求证： 2AC> BD+CD． 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【题型7 三角形三边关系的应用】 【例7】（25-26八年级上·甘肃陇南·阶段检测）某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30米，底边比腰短3米．求花坛各边的长度． 【变式7-1】（24-25八年级上·四川自贡·月考）数学活动课上，老师让同学们用长度分别是，，的三根木棒搭一个三角形的木架，小明不小心把的木棒折去了，他发现：用折断后剩下的木棒与另两根木棒怎么也搭不成三角形． (1)你知道为什么吗？ (2)长的木棒至少折去多长后剩余的部分就不能与另两根木棒搭成三角形？ 【变式7-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）如图，小明想用浅色灯带与深色灯带分别装饰三角形圣诞树的顶部和底部． (1)你知道小明所用的哪条灯带更长吗？说明理由； (2)小明共用了长的灯带，且已知三角形三边长为三个连续的自然数，你能帮小明求出三角形每条边的长度吗？ 【变式7-3】（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境． 数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价（元/根） 6 8 10 15 20 数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和5米，第三边长为偶数的不同规格的三角形框架． (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有___________种制作方案． (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 考点2 三角形的稳定性 知识点2 三角形的稳定性 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架结构等，其中的道理是三角形具有稳定性. 【题型8 三角形的稳定性】 【例8】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，其理论依据是______． 【变式8-1】下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条． 【变式8-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图1，在四边形木条框架中，任意添加1根对角线木条，就能使框架的形状稳定. 判断下列说法是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在图2中任意添加2根对角线木条，都能使框架的形状稳定.( ) (2)在图3中任意添加3根对角线木条，都能使框架的形状稳定.( ) (3)图4是一个用螺钉将木条链接成的框架，颇具美感，它的形状是稳定的.( ) 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $