专题13.2 三角形的边（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题13.2 三角形的边 教学目标 1. 掌握三角形的三边关系，能够判断三边能否构成三角形； 2. 三角形三边关系的应用，能够熟练的求第三边的值或范围，能够利用三角形的三边关系求字母的范围，化简绝对值等。 3. 理解三角形的稳定性，并能够判断生活中的实际应用例子及依据。 教学重难点 1. 重点 （1）三角形的三边关系； （2）三角形的稳定性； 2. 难点 （1）利用三角形的三边关系求字母的范围； （2）利用三角形的三边关系化简绝对值； （3）利用三角形的三边关系对等腰三角形分类讨论。 知识点01 三角形的三边关系 1．三角形的三边关系： 如图，三角形的三边分别是a，b，c（a＜b＜c）由两点之间线段最短可知： 三角形的任意两边之和 大于 第三边。即有 任意两边之差 小于 第三边。即有。 这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差小于第三边小于两边之和建立不等式。 【即学即练1】 1．以下列线段为边能组成三角形的是（　　） A．2cm，2cm，6cm B．3cm，6cm，9cm C．4cm，6cm，1cm D．5cm，6cm，4cm 【答案】D 【解答】解：A、∵2+2＜6， ∴长度为2cm，2cm，6cm的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵3+6＝9， ∴长度为3cm，6cm，9cm的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵1+4＜6， ∴长度为4cm，6cm，1cm的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵4+5＞6， ∴长度为5cm，6cm，4cm的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 【即学即练2】 2．如果△ABC的两边长分别为5和7，那么第三边x的取值范围是 　2＜x＜12　 ． 【答案】2＜x＜12． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：7﹣5＜x＜7+5， ∴2＜x＜12． 故答案为：2＜x＜12． 【即学即练3】 3．有一个三角形的两边长是3和5，则第三边可能是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解答】解：设三角形第三边长是x， 由三角形三边关系定理得：5﹣3＜x＜5+3， ∴2＜x＜8， ∴第三边长可能是7． 故选：A． 【即学即练4】 4．三角形的三边分别为3、4﹣2a、5，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜8 B．0＜a＜1 C．a＜1 D．﹣2＜a＜1 【答案】D 【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜4﹣2a＜5+3， ∴2＜4﹣2a＜8， ∴﹣2＜a＜1． 故选：D． 【即学即练5】 5．等腰三角形的一边长是2，另一边长是5，则该等腰三角形的周长是 　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：分两种情况： 当腰为2时，2+2＜5，所以不能构成三角形； 当腰为5时，2+5＞5，所以能构成三角形，周长是：2+5+5＝12． 故答案为：12． 【即学即练6】 6．已知a，b、c是△ABC的三条边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|的结果为（　　） A．2a﹣2b﹣2c B．2a+2b C．﹣2c D．0 【答案】D 【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三条边长， ∴a﹣b﹣c＜0，c﹣a+b＞0， ∴|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b| ＝﹣a+b+c﹣c+a﹣b ＝0． 故选：D． 知识点02 三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性： 三角形的三条边确定，则这个三角形的 形状 和 大小 就会确定。这就是三角形的稳定性。三角形的稳定性是三角形独有的特性。 【即学即练1】 7．下列图形中具有稳定性的是（　　） A．正方形 B．等腰直角三角形 C．长方形 D．平行四边形 【答案】B 【解答】解：A、正方形，不具有稳定性，不符合题意； B、等腰直角三角形，具有稳定性，符合题意； C、长方形，不具有稳定性，不符合题意； D、平行四边形，不具有稳定性，不符合题意； 故选：B． 【即学即练2】 8．如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（　　） A．三角形的内角和为180° B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【解答】解：利用三角支架可以固定平板电脑的位置的数学原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 题型01 判断三边能不能构成三角形 【典例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 【答案】C 【解答】解：A、∵2+3＝5， ∴长为2，3，5的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵3+4＜8， ∴长为3，4，8的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵4+5＞6， ∴长为4，5，6的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵5+5＜11， ∴长为5，5，11的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式1】以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．4，3，8 C．7，7，16 D．5，7，7 【答案】D 【解答】解：A、2+3＝5，不能组成三角形，故A不符合题意； B、4+3＜8，不能组成三角形，故B不符合题意； C、7+7＜16，不能组成三角形，故C不符合题意； D、7+5＞7，能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 【变式2】在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．3，6，7 C．4，5，9 D．6，6，11 【答案】C 【解答】解：A、3+4＝7＞5，能组成三角形，故此选项不符合题意； B、3+6＝9＞7，能组成三角形，故此选项不符合题意； C、4+5＝9，不能组成三角形，故此选项符合题意； D、6+6＝12＞11，能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型02 求三角形的第三边的值或范围 【典例1】一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】B 【解答】解：设第三边长为x， ∵一个三角形的两边长分别为2和3， ∴3﹣2＜x＜3+2， 解得：1＜x＜5． 故选：B． 【变式1】已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　） A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm 【答案】C 【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和， 即9﹣4＝5cm，9+4＝13cm． ∴第三边取值范围应该为：5cm＜第三边长度＜13cm， 故只有C选项符合条件． 故选：C． 【变式2】如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝20米，PB＝17米，那么A，B间的距离不可能是（　　） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 【答案】A 【解答】解：设AB的距离为x米， 由三角形的三边关系可知：20﹣17＜x＜20+17，即3＜x＜37， 则A，B间的距离不可能四个数据中的40米， 故选：A． 【变式3】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　　） A．c＞4 B．c＜12 C．4＜c＜12 D．4≤c≤12 【答案】C 【解答】解：由题意得，a﹣4＝0，b﹣8＝0， 解得a＝4，b＝8， ∵实数a，b，c分别表示△ABC的三条边， ∴8﹣4＜c＜8+4， 即4＜c＜12， 故选：C． 【变式4】在△ABC中，若AB＝2，AC＝4，且BC的长为整数，则△ABC的周长可能是（　　） A．8 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【解答】解：在△ABC中， ∵AC﹣AB＜BC＜AC+AB，AB＝2，AC＝4， ∴4﹣2＜BC＜4+2， ∴2＜BC＜6， ∵BC的长度为整数， ∴BC的长度可以为3、4、5， ∴△ABC的周长可能是：2+3+4＝9或2+4+4＝10或2+5+4＝11． 综上所述，△ABC的周长可能是9或10或11． 故选：B． 题型03 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 【典例1】若三角形的三边长分别为3，1+2m，8，则m的取值范围是 　2＜m＜5　 ． 【答案】2＜m＜5． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：8﹣3＜1+2m＜3+8， ∴5＜2m+1＜11， ∴2＜m＜5． 故答案为：2＜m＜5． 【变式1】若三角形的三边长分别为x、2x、9，则x的取值范围是（　　） A．3＜x＜9 B．3＜x＜15 C．9＜x＜15 D．x＞15 【答案】A 【解答】解：根据题意，得， 解得3＜x＜9． 故选：A． 【变式2】三角形的三条边分别为a﹣1，a，a+1，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞2 C．1＜a＜3 D．a＞3 【答案】B 【解答】解：由题意得：a﹣1+a＞a+1， 解得：a＞2， 故选：B． 【变式3】已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是（　　） A．1＜x＜7 B．2＜x＜6 C．3＜x＜5 D．3＜x＜4 【答案】C 【解答】解：由点在数轴上的位置得：AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝x﹣1，CD＝7﹣x， 由三角形三边关系定理得：， 不等式①恒成立， 由不等式②得：x＞3， 由不等式③得：x＜5， ∴不等式组的解集是3＜x＜5， 故选：C． 题型04 三角形的三边关系与等腰三角形 【典例1】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵|b﹣3|＝0， ∴a﹣6＝0，b﹣3＝0， ∴a＝6，b＝3， 如果等腰三角形的底边长是6， ∵3+3＝6，不满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的底边长不可能是6， 如果等腰三角形的底边长是3， ∵3+6＞6，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的底边长是3． 故答案为：3． 【变式1】用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为5cm，则另两边的长度分别是 　7.5 cm和7.5　 cm． 【答案】7.5；7.5． 【解答】解：当腰为5cm时，底边长为20﹣5﹣5＝10（cm）， 而5+5＝10，不符合三角形三边的关系，故舍去； 当底边长为5cm，腰长为（20﹣5）＝7.5（cm）， 综上所述，能围成有底边长是5cm，腰长为7.5cm的等腰三角形， 故答案为：7.5；7.5． 【变式2】若△ABC为等腰三角形，其中b，c满足|c﹣5|0，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．10 C．9或12 D．12 【答案】D 【解答】解：∵|c﹣5|0， ∴c﹣5＝0，b﹣2＝0， ∴c＝5，b＝2， ∵c，b为等腰三角形ABC的两边， ∴当腰是2时，则2+2＝4＜5，不符合三边关系，故舍去； 当底是2时，则5+2＞5，符合三边关系，此时△ABC的周长为2+5+5＝12； 故选：D． 【变式3】工人师傅准备把一根长为12dm的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为3dm，则第二段木条的长是（　　） A．3.5dm B．6dm C．5dm D．4.5dm 【答案】D 【解答】解：分两种情况： ①当底为3dm时， 设腰长为x dm， 由题意得：x+x+3＝12， 解得：x＝4.5， ∵4.5dm，4.5dm，3dm能围成一个等腰三角形， ∴第二段木条的长是4.5dm； ②当腰为3dm时， 设底长为x cm， 由题意得：x+3+3＝12， 解得：x＝6，∵3+3＝6， ∴3dm，3dm，6dm不能围成一个等腰三角形， 综上所述，第二段木条的长是4.5dm， 故选：D． 题型05 利用三角形的三边关系化简绝对值 【典例1】已知a，b，c是△ABC三边的长，化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ 　2c　 ． 【答案】2c． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+c＞b，b+c＞a， ∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c| ＝a﹣b+c+[﹣（a﹣b﹣c）] ＝a﹣b+c﹣a+b+c ＝2c． 故答案为：2c． 【变式1】a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（　　） A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c 【答案】A 【解答】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c| ＝（a+b+c）﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c） ＝a+b+c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c ＝0 故选：A． 【变式2】已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a﹣9|+|a﹣2|＝ 　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜a＜5+3， ∴2＜a＜8， ∴|a﹣9|+|a﹣2| ＝﹣（a﹣9）+a﹣2 ＝7． 故答案为：7． 【变式3】已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|． （2）若a＝2，b＝5，且三角形的周长为偶数，求c的值． 【答案】（1）﹣a+3b﹣c； （2）c＝5． 【解答】解：（1）∵△ABC的三边长分别为a，b，c， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，a+b﹣c＞0， ∴|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c| ＝﹣a+b+c+b﹣c﹣a+a+b﹣c ＝﹣a+3b﹣c； （2）∵a＝2，b＝5， ∴3＜c＜7， ∵三角形的周长为偶数，a+b＝7为奇数， ∴c为奇数， ∴c＝5． 题型06 三角形的稳定性的 【典例1】下列图形具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、图形不具有稳定性，不符合题意； B、图形具有稳定性，符合题意； C、图形不具有稳定性，不符合题意； D、图形不具有稳定性，不符合题意； 故选：B． 【变式1】小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请在下列选项中选择一个最好的加固方案（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、C、D中长方形框架的加固方案具有四边形结构，四边形具有不稳定性，框架很容易变形，故A、C、D不符合题意； B、长方形框架的加固方案具有三角形结构，三角形具有稳定性，框架不容易变形，故B符合题意． 故选：B． 【变式2】自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计．这种方法应用的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【解答】解：自行车支架一般都会采用三角形设计的几何原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 【变式3】大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之差小于第三边 【答案】A 【解答】解：斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是：三角形的稳定性． 故选：A． 1．下列哪组长度的三条线段能组成三角形？（　　） A．1cm、2cm、4cm B．3cm、4cm、7cm C．2cm、2cm、1cm D．5cm、3cm、2cm 【答案】C 【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A中，1+2＜4，不能组成三角形； B中，3+4＝7，不能组成三角形； C中，1+2＞2，能够组成三角形； D中，3+2＝5，不能组成三角形． 故选：C． 2．如图，木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【解答】解：木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的几何原理是三角形的稳定性， 故选：C． 3．已知三角形的两边长满足（b﹣6）2+|a﹣3|＝0，那么第三边的长不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：∵三角形的两边长满足（b﹣6）2+|a﹣3|＝0， ∴b＝6，a＝3， ∴第三边长x满足：6﹣3＜x＜6+3， 得3＜x＜9， ∴第三边不可能为3， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 4．如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（　　） A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm 【答案】D 【解答】解：∵AC＝BC＝18cm， ∴0＜AB＜36， ∴折叠凳的宽AB可能为25cm， 故选：D． 5．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是4cm，则腰长为（　　） A．4cm B．7cm C．9cm D．10cm 【答案】B 【解答】解：若4cm长的边为腰，则三角形的底边长为18﹣2×4＝10，三边分别为4，4，10，而4+4＝8＜10，不能构成等腰三角形，不符合题意； 若4cm长的边为底，则三角形的腰长为，三边分别为7，7，4，而7+4＞7，能构成等腰三角形，符合题意， ∴三角形的腰长为7cm． 故选：B． 6．若△ABC的周长为24，则AB的长可能为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【解答】解：∴△ABC的周长为24， ∴AC+BC＝24﹣AB， 由三角形三边关系定理得到：AC+BC＞AB， ∴24﹣AB＞AB， ∴AB＜12， ∴AB的长可能为10． 故选：A． 7．三角形的三边的长分别为a，b，c，其中a＞b，且满足a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，若c为整数，则c的长是（　　） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 【答案】B 【解答】解：∵三角形的三边分别为a，b，c， ∴a﹣b＜c＜a+b， ∵a＞b，且a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6， ∴2c﹣6＜c＜3c﹣6， 解得3＜c＜6， ∵c为整数， ∴c的长是4或5， 故选：B． 8．若三角形的三边长分别是3，4，2x﹣1，则x的取值范围是（　　） A．0＜x＜4 B．1＜x＜4 C．0＜x＜3 D．1＜x＜3 【答案】B 【解答】解：依据三角形三边之间的大小关系，列出不等式组 ，解得1＜x＜4． 故选：B． 9．若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝（　　） A．a+b﹣c B．b﹣a+c C．a﹣b+c D．2a﹣b+c 【答案】C 【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边的长， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝a+b﹣c﹣b+a+c+c﹣a﹣b＝a﹣b+c． 故选：C． 10．如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点A，B对应的数分别为﹣5，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为﹣2，则点D在数轴上对应的数可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：设D对应的数为x，点A，B对应的数分别为﹣5，5，点C对应的数为﹣2， ∴AB＝5﹣（5）＝10，AC＝﹣2﹣（﹣5）＝3，CD＝x﹣（﹣2）＝x+2，BD＝5﹣x， 根据题意，AC+CD＞BD，CD﹣AC＜BD， 则 ， 解得0＜x＜3， ∴点D在数轴上对应的数可能为2， 故选：A． 11．要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉 　2　 根木条． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：再钉上两根木条，就可以使五边形分成三个三角形．故至少要再钉两根木条． 12．已知三角形的三边长分别为3，2a﹣1，8．则正整数a的值可以是 　4或5　 ． 【答案】4或5． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：8﹣3＜2a﹣1＜8+3， ∴3＜a＜6， ∴正整数a的值可以是4或5． 故答案为：4或5． 13．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是　10＜L＜16　 ． 【答案】10＜L＜16． 【解答】解：∵三角形两条边分别为3和5， ∴设第三边长为x， ∴5﹣3＜x＜5+3， 解得2＜x＜8， ∴2+3+5＜x+3+5＜8+3+5， ∵三角形的周长L＝x+3+5， ∴10＜L＜16， 故答案为：10＜L＜16． 14．如图，线段AB和线段AC是三角形ABC的两条边，点D在线段AB上，点E在线段AC上，将三角形ABC沿DE所在直线裁去一个角得到四边形DBCE，则四边形DBCE的周长 　小于　 （填“大于”，“等于”或“小于”）三角形ABC的周长，理由是 　三角形两边之和大于第三边　 ． 【答案】小于，三角形两边之和大于第三边． 【解答】解：∵线段AD，AE，DE是△ADE的三条边， ∴DE＜AD+AE， ∴四边形DBCE的周长小于△ABC的周长． 故答案为：小于，三角形两边之和大于第三边． 15．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 　①　 （填序号）． ①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 　10或12或13或14　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵18﹣13＝5，13﹣9＝4， ∴18﹣13＞13﹣9， ∴这个三角形为“不均衡三角形”； ∵9﹣8＝1，8﹣6＝2， ∴9﹣8＜8﹣6， ∴这个三角形不是“不均衡三角形”， 故答案为：①； （2）共分3种情况讨论： ①2x+2＞16＞2x﹣6， 解得：7＜x＜11， 2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6）， 解得：x＞9， ∴9＜x＜11， ∵x为整数， ∴x＝10， 当x＝10时，2x+2＝22，2x﹣6＝14， ∵16+14＞22， ∴能构成三角形； ②由题意得：16＞2x+2＞2x﹣6，且（2x+2）+（2x﹣6）＞16 16＞2x+2＞2x﹣6， 即：， 由①得：x＜7， 由②得：x＞5， ∴5＜x＜7 ∵三角形是“不均衡三角形”， ∴16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6）， 解得：x＜3， ∴不存在这样的数； ③2x﹣6＞16时， 解得：x＞11， 2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16， 解得：x＜15， ∴11＜x＜15， ∵x为整数， ∴x＝12或13或14， 当x＝12时，2x+2＝26，2x﹣6＝18， ∵18+16＞26， ∴能构成三角形； 当x＝13时，2x+2＝28，2x﹣6＝20， ∵20+16＞28， ∴能构成三角形； 当x＝14时，2x+2＝30，2x﹣6＝22， ∵22+16＞30， ∴能构成三角形， 综上可知：x的整数值为10或12或13或14， 故答案为：10或12或13或14． 16．如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC， 求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：延长AP交BC于D， 由三角形三边关系定理得到：AP+PD＜AC+CD，PB＜PD+BD， ∴AP+PD+PB＜AC+CD+PD+BD， ∴AP+PB＜AC+BC， 同理PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC， ∴2 （PA+PB+PC）＜2（AB+BC+AC）， ∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC； 由三角形三边关系定理得到：PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC， ∴2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC， ∴PA+PB+PC（AB+BC+AC）， ∴（AB+BC+AC）＜PA+PB+PC＜AB+BC+AC． 17．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长． 【答案】（1）2＜c＜10； （2）14． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：6﹣4＜c＜6+4， ∴2＜c＜10； （2）由（1）知2＜c＜10， ∵c的长为小于6的偶数， ∴c＝4， ∴△ABC的周长＝4+6+4＝14． 18．某市木材市场上的木棒规格与价格如下表： 规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 价格/（元/根） 10 16 22 28 34 40 46 小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为3m和6m的木棒，还需要购买一根． （1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ （2）在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为4的倍数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？ 【答案】（1）4； （2）108元． 【解答】解：（1）设第三根木棒的长度为x m， ∵已经购买了两根长度分别为3m和6m的木棒， ∴6﹣3＜x＜6+3， 解得3＜x＜9， ∵x是整数， ∴x＝4或5或6或7，共4种， ∴有4种规格木棒可供选择； （2）设第三根木棒的长度为x m， ∴这个三角形支架的周长为3+6+x＝（9+x）m， ∵做成的三角形支架的周长为4的倍数， ∴9+x是4的倍数， ∴由（1）所求可知，x＝7， ∴买木棒一共花了22+40+46＝108元． 19．已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】（1）2c； （2）11或13． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+c＞b，b+c＞a， ∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝（a﹣b+c）﹣（a﹣b﹣c）＝a﹣b+c﹣a+b+c＝2c； （2）解方程组， 解得， 根据三角形的三边关系得5﹣2＜c＜2+5，即3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，三角形的三边为2，5，4，2+4＞5，能够成三角形； 当c＝6时，三角形的三边为2，5，6，2+5＞6，能够成三角形， ∴这个三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13． 20．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围． 【答案】（1）x＞7； （2）4； （3）5＜AB≤10． 【解答】解：（1）∵三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2， ∴x﹣2+x﹣1＞x+4，解得：x＞7； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为x+3， 由题意可得：x+x+3＞10，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （3）设AB＝AC＝x， 由题意可得：， 解得：5＜AB≤10． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2 三角形的边 教学目标 1. 掌握三角形的三边关系，能够判断三边能否构成三角形； 2. 三角形三边关系的应用，能够熟练的求第三边的值或范围，能够利用三角形的三边关系求字母的范围，化简绝对值等。 3. 理解三角形的稳定性，并能够判断生活中的实际应用例子及依据。 教学重难点 1. 重点 （1）三角形的三边关系； （2）三角形的稳定性； 2. 难点 （1）利用三角形的三边关系求字母的范围； （2）利用三角形的三边关系化简绝对值； （3）利用三角形的三边关系对等腰三角形分类讨论。 知识点01 三角形的三边关系 1．三角形的三边关系： 如图，三角形的三边分别是a，b，c（a＜b＜c）由两点之间线段最短可知： 三角形的任意两边之和 第三边。即有 任意两边之差 第三边。即有。 这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差小于第三边小于两边之和建立不等式。 【即学即练1】 1．以下列线段为边能组成三角形的是（　　） A．2cm，2cm，6cm B．3cm，6cm，9cm C．4cm，6cm，1cm D．5cm，6cm，4cm 【即学即练2】 2．如果△ABC的两边长分别为5和7，那么第三边x的取值范围是 　 ． 【即学即练3】 3．有一个三角形的两边长是3和5，则第三边可能是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【即学即练4】 4．三角形的三边分别为3、4﹣2a、5，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜8 B．0＜a＜1 C．a＜1 D．﹣2＜a＜1 【即学即练5】 5．等腰三角形的一边长是2，另一边长是5，则该等腰三角形的周长是 　 　 ． 【即学即练6】 6．已知a，b、c是△ABC的三条边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|的结果为（　　） A．2a﹣2b﹣2c B．2a+2b C．﹣2c D．0 知识点02 三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性： 三角形的三条边确定，则这个三角形的 形状 和 大小 就会确定。这就是三角形的稳定性。三角形的稳定性是三角形独有的特性。 【即学即练1】 7．下列图形中具有稳定性的是（　　） A．正方形 B．等腰直角三角形 C．长方形 D．平行四边形 【即学即练2】 8．如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（　　） A．三角形的内角和为180° B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 题型01 判断三边能不能构成三角形 【典例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 【变式1】以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．4，3，8 C．7，7，16 D．5，7，7 【变式2】在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．3，6，7 C．4，5，9 D．6，6，11 题型02 求三角形的第三边的值或范围 【典例1】一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　） A．1 B．2 C．6 D．9 【变式1】已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　） A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm 【变式2】如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝20米，PB＝17米，那么A，B间的距离不可能是（　　） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 【变式3】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　　） A．c＞4 B．c＜12 C．4＜c＜12 D．4≤c≤12 【变式4】在△ABC中，若AB＝2，AC＝4，且BC的长为整数，则△ABC的周长可能是（　　） A．8 B．11 C．12 D．15 题型03 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 【典例1】若三角形的三边长分别为3，1+2m，8，则m的取值范围是 　 　 ． 【变式1】若三角形的三边长分别为x、2x、9，则x的取值范围是（　　） A．3＜x＜9 B．3＜x＜15 C．9＜x＜15 D．x＞15 【变式2】三角形的三条边分别为a﹣1，a，a+1，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞2 C．1＜a＜3 D．a＞3 【变式3】已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是（　　） A．1＜x＜7 B．2＜x＜6 C．3＜x＜5 D．3＜x＜4 题型04 三角形的三边关系与等腰三角形 【典例1】已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 　 　 ． 【变式1】用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为5cm，则另两边的长度分别 是 cm和　 cm． 【变式2】若△ABC为等腰三角形，其中b，c满足|c﹣5|0，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．10 C．9或12 D．12 【变式3】工人师傅准备把一根长为12dm的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为3dm，则第二段木条的长是（　　） A．3.5dm B．6dm C．5dm D．4.5dm 题型05 利用三角形的三边关系化简绝对值 【典例1】已知a，b，c是△ABC三边的长，化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ 　 　 ． 【变式1】a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（　　） A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c 【变式2】已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a﹣9|+|a﹣2|＝ 　 　 ． 【变式3】已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|． （2）若a＝2，b＝5，且三角形的周长为偶数，求c的值． 题型06 三角形的稳定性的 【典例1】下列图形具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请在下列选项中选择一个最好的加固方案（　　） A． B． C． D． 【变式2】自行车支架一般都会采用如图△ABC的设计．这种方法应用的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【变式3】大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之差小于第三边 1．下列哪组长度的三条线段能组成三角形？（　　） A．1cm、2cm、4cm B．3cm、4cm、7cm C．2cm、2cm、1cm D．5cm、3cm、2cm 2．如图，木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 3．已知三角形的两边长满足（b﹣6）2+|a﹣3|＝0，那么第三边的长不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（　　） A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm 5．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是4cm，则腰长为（　　） A．4cm B．7cm C．9cm D．10cm 6．若△ABC的周长为24，则AB的长可能为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 7．三角形的三边的长分别为a，b，c，其中a＞b，且满足a﹣b＝2c﹣6，a+b＝3c﹣6，若c为整数，则c的长是（　　） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 8．若三角形的三边长分别是3，4，2x﹣1，则x的取值范围是（　　） A．0＜x＜4 B．1＜x＜4 C．0＜x＜3 D．1＜x＜3 9．若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝（　　） A．a+b﹣c B．b﹣a+c C．a﹣b+c D．2a﹣b+c 10．如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点A，B对应的数分别为﹣5，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为﹣2，则点D在数轴上对应的数可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉 　 　 根木条． 12．已知三角形的三边长分别为3，2a﹣1，8．则正整数a的值可以是 　 　 ． 13．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是　 　 ． 14．如图，线段AB和线段AC是三角形ABC的两条边，点D在线段AB上，点E在线段AC上，将三角形ABC沿DE所在直线裁去一个角得到四边形DBCE，则四边形DBCE的周长 　 　 （填“大于”，“等于”或“小于”）三角形ABC的周长，理由是 　 ． 15．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 　 　 （填序号）． ①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 　 　 ． 16．如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC， 求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 17．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长． 18．某市木材市场上的木棒规格与价格如下表： 规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 价格/（元/根） 10 16 22 28 34 40 46 小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为3m和6m的木棒，还需要购买一根． （1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ （2）在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为4的倍数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？ 19．已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 20．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $