精品解析：新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2025-2026学年高一下学期7月期末质量监测数学试题

克州2025-2026学年度第二学期期末质量监测试卷 高一年级·数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】复数在复平面内对应点的坐标为，位于第二象限 故选：B 2. 一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了14人，则男运动员被抽取的人数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样原则，按比例计算即可. 【详解】由题意得，男运动员被抽取的人数为； 故选：D 3. 已知随机事件A，B相互独立，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式即可计算. 【详解】依题意，. 4. 已知，，且，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的充要条件即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选：C. 5. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】运用面面垂直判定定理可判断A，借助长方体举反例可判断BCD. 【详解】对于A，若，，则，且，则.故A正确. 对于B,如图所示，，，，，此时，故B错误. 对于C, 如图所示，，， ，，此时异面，故C错误. 对于D, 如图所示，，，，，此时，故D错误. 故选：A． 6. 在 中， 角 的对边分别为，已知，若，则的外接圆半径等于（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，再结合正弦定理，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 可得，即，因为，所以， 又由，所以的外接圆的直径，可得， 所以的外接圆的半径为. 故选：B. 7. 如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，取为平面的一个基底，再利用向量的线性运算计算即得. 【详解】正方形ABCD中，M是BC的中点，则，则， 于是，而， 所以. 故选：C 8. 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（ ）米. A. . B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，表示出，利用结合余弦定理列方程求解. 【详解】设， 则. 由得， 由余弦定理得， 解得，即OP为米． 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分．） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，使用复数的乘法法则即可判断；对于B，使用复数的平方运算即可判断；对于C，使用复数的四则运算法则即可判断；对于D，利用复数模的定义即可求解. 【详解】对于A,由，所以A正确； 对于B，由，所以B错误； 对于C,由，所以C正确； 对于D，，故D正确. 10. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ） A. 若A，B，C成等差数列，则 B. 若，则 C. 若，，则的外接圆的半径为4 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理以及等差中项求解即可. 【详解】对于A，因为A，B，C成等差数列，所以， 所以，，所以A正确； 对于B，因为，则，由正弦定理有，B正确； 对于C，设的外接圆半径为r，由，解得，C错误； 对于D，因为，所以，所以由，得，故D正确. 11. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（    ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长和底面半径，利用圆锥的侧面积公式可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；求出的取值范围，结合可求出的取值范围；将以为轴旋转到与共面，得到，求出的长，即可得出的最小值，可判断D选项. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径. 对于选项A：圆锥的侧面积为，故选项A错误； 对于选项B：由圆的几何性质可知，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，可得， 即，当且仅当时，等号成立， 则三棱锥体积为：， 即三棱锥体积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：因为，故， 当点与点重合时，；当点与点重合时，， 又因为点与、不重合，则， 又，可得，故选项C错误； 对于选项D：因为，，， 由可得. 又，所以为等边三角形，则. 将以为轴旋转到与共面， 得到，则为等边三角形，. 如图，当、、三点共线时，取最小值. 因为，， 所以， ，故选项D正确. 故选：BD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了8个班的比赛得分如下：91，89，90，92，93，87，91，94，则这组数据的分位数为______． 【答案】93 【解析】 【分析】把给定8个得分由小到大排列，再利用分位数的定义求解即得. 【详解】将8个班的比赛得分由小到大排列为：87，89，90，91，91，92，93，94， 由，得这组数据的分位数为93. 故答案为：93 13. 在三角形中， 若 ，，，则角的大小是_________________； 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理，即，解得， 由，所以，所以. 故答案为： 14. 已知，则在上的投影向量的坐标为_______； 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先由平面向量的坐标运算得到，然后由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 则在上的投影向量的坐标为：. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 16. 2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图： （1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； （2）现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得； （2）首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为： ； 【小问2详解】 样本中年龄在区间的频率为， 年龄在区间的频率为， 则年龄在区间抽取人，分别记作、、、， 年龄在区间抽取人，分别记作、， 从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、 、、、、、、、、共个， 其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个， 所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 17. 如图， 在正方体中， 是的中点. （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求证：平面； （3）求和平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明：连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方体的性质得到，即可得到或其补角即为异面直线和所成角，从而得解； （2）连接，设直线交直线于点，连接，即可得到，从而得证； （3）设正方体的棱长为，利用等体积法求出点到平面的距离，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设正方体的棱长为，则， 又，， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 设和平面所成角为，则， 所以和平面所成角的正弦值为. 18. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B的值． （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理求解即可. （2）根据（1），利用正弦定理和正弦函数的值域求解即可. 【小问1详解】 因为， 则， 由余弦定理，． 又因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理可得， 则. 因为是锐角三角形，则，解得， 则，可得， 所以的取值范围是． 19. 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得，根据线面垂直的性质定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）结合等体积法，利用锥体的体积求高即可； （3）根据二面角平面角的定义作出二面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，， 则，故， 又，且，平面，故平面， 而平面，故平面平面． 【小问2详解】 由可得，由（1）知平面， 所以， 又，所以． 【小问3详解】 在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面，平面，故， 因为，，平面，所以平面， 由（2）知，因为平面，故，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角， 又平面，故，所以． 由题意知直角三角形中，， 故， 又，则，所以， 故二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 克州2025-2026学年度第二学期期末质量监测试卷 高一年级·数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了14人，则男运动员被抽取的人数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知随机事件A，B相互独立，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 在 中， 角 的对边分别为，已知，若，则的外接圆半径等于（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（ ）米. A. . B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分．） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ） A. 若A，B，C成等差数列，则 B. 若，则 C. 若，，则的外接圆的半径为4 D. 若，，则 11. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（    ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了8个班的比赛得分如下：91，89，90，92，93，87，91，94，则这组数据的分位数为______． 13. 在三角形中， 若 ，，，则角的大小是_________________； 14. 已知，则在上的投影向量的坐标为_______； 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 16. 2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图： （1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； （2）现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 17. 如图， 在正方体中， 是的中点. （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求证：平面； （3）求和平面所成角的正弦值. 18. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B的值． （2）求的取值范围． 19. 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $