27.3 实际问题与反比例函数（讲义，1大知识11大题型）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦“实际问题与反比例函数”核心知识点，系统梳理从明确变量关系、设函数关系式到求解并应用的完整步骤，衔接反比例函数概念与性质，搭建从数学模型到实际应用的学习支架。 资料通过11类题型（如行程、工程、跨学科等）及典例变式，以生活实例（如商品销售、杠杆原理）培养学生用数学眼光观察现实世界，在分析与推理中发展数学思维，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识。

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 知识点一 实际问题与反比例函数 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 即学即练 1．（2026·湖北·模拟预测）在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，（单位：）与（单位：）之间的函数关系如图所示．当时，的值可以是（  ）    A．18 B．28 C．38 D．48 【答案】A 【分析】先求出反比例函数的解析式，根据增减性，求出的范围即可. 【详解】解：由题意， 把代入，得， ∴， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴的值可以是18. 2．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（   ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将点代入解答①；将代入关系式判断②； 再观察图像可知在第一象限内函数的增减性解答③；然后将，代入关系式解答④ 即可． 【详解】解：设反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴函数关系式为，则①正确； 当时，，则②不正确； 观察图像可知在第一象限，I随着R的增大而减小，则③正确； 当时，； 当时，， ∴，则④正确． 所以正确的有①③④，一共3个． 3．（2026·贵州遵义·二模）某实践小组进行溶液反应实验，向一定量的甲溶液中逐滴加入乙溶液，反应生成白色沉淀．实验发现：生成沉淀的质量（）与反应后剩余甲溶液的质量（）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 剩余甲溶液的质量 2 4 5 10 20 沉淀的质量 10 5 4 2 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表格数据，推测与之间是反比例函数关系，并写出关系式即可． 【详解】解：由表格可知，为定值， ∴与之间是反比例函数关系， ∴． 4．（2026·陕西商洛·二模）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数，其函数图象如图所示，若要使频率为（即达到标准音高），则张力为_____． 【答案】100 【分析】设反比例函数解析式为，将图象上已知点代入求出的值，确定函数解析式，再将代入计算即可求解 【详解】解：设与的函数解析式为 由图象可知，函数图象经过点 将代入，得 解得 函数解析式为 当时， 解得 检验，是原方程的解且符合题意 5．（25-26九年级下·福建莆田·期中）如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧处，重量．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即）．移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，则弹簧秤的示数y的最小值为______． 【答案】5 【分析】根据题意得到，然后将代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴y关于x的函数解析式为， ∵，x表示弹簧秤与中点O的距离，最大值是， 又∵， ∴y随x的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数y的最小值为． 题型01 行程类反比例应用 典｜例｜精｜析 例1（25-26九年级上·广东河源·期中）问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【答案】（）；（）它的平均速度是；（）行驶时间应不少于． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （）由表格可知，从而求得函数解析式； （）把代入解析式即可求解； （）根据题意得，然后反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：（）由表格可知，， ∴与之间的函数关系式为； （）当时，， 答：它的平均速度是． （）根据题意，得，解得， 答：行驶时间应不少于． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式． (2)若汽车从上午8：00从A市出发， ①如果汽车在当天12：48到14：00之间到达B市，求汽车行驶速度的范围． ②汽车能否在当天11：30到达B市？为什么？ 【答案】(1) (2)①汽车行驶速度的范围为：；②到不了，见解析 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入关于的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围； ②8点至11点30分时间长为小时，将其代入关于的函数表达式，可得速度大于120千米时，从而得答案． 【详解】（1）解：，且全程速度限定为不超过120千米小时， 关于的函数表达式为：； （2）解：①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时， 将代入得； 将代入得． 汽车行驶速度的范围为：； ②汽车不能在当天11点30分前到达地．理由如下： 8点至11点30分时间长为小时， 将代入得千米小时，超速了． 故汽车不能在当天11点30分前到达地． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． (1)①写出y与x的函数关系式； ②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ (2)若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值． 【答案】(1)①；② (2)70 【分析】本题考查反比例函数的应用，分式方程的应用，从实际问题中抽象出函数解析式是解题的关键． （1）①根据时间路程除以速度列出函数解析式即可； ②把代入反比例函数解析式，求出y的值，根据反比例函数性质得出答案即可； （2）根据两段路程共用，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得：， 答：y与x的函数表达式为； ②把代入得， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵汽车的平均速度不超过， ∴汽车从A地到B地至少需要； （2）解：余下路程的行驶平均速度是，根据题意得： ， 解得：， 经检验是所列方程的解， ∴的值为70． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段检测）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录．请根据以上知识解决下列问题：已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． 请根据以上知识解决下列问题： (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶，通过该路段的时间为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据路程速度时间，可求出与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到的范围； （2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，则t随v的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴的范围为； （2）解：前用时， 剩余，用时， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 题型02 工程类反比例应用 典｜例｜精｜析 例2（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【答案】(1) (2)平均每天至少要回填30吨土 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 【详解】（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 变｜式｜巩｜固 1．（2023·广西南宁·二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【答案】(1)①；②50天 (2)7500 m 【分析】（1）①根据题意可知，运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）之间的函数关系即可函数关系；②令求得x即可； （2）该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米，再根据“工期比原计划减少了10天”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“运送土方总量=平均的运送速度×完成运送任务所需的时间”可得： ，即； ②令时，则（天）． 答：该公司完成全部运输任务需要50天． （2）解：该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） 检验：当时， 所以，是原分式方程的解． 答：该公司原计划每天运送土石方为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，根据题意列出反比例函数解析式和分式方程是关键． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数（天）是每天完成的工程量（米/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求与的函数关系式． (2)当每天完成米时，求该工程队完成工程所需的时间． (3)若完成工程的天数小于天，则该工程队每天完成的工程量的取值范围是______． 【答案】(1) (2)天 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量取值求函数值，解不等式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值即可； （3）根据反比例函数图象即可求解． 【详解】（1）解：设， 点在其图象上， ， ， 与的函数关系式为； （2）解：当时，， 答：该工程队完成工程所需的时间为天； （3）解：根据反比例函数图象知：若完成工程的天数小于天，则， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东淄博·期中）某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【答案】(1) (2)乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务 【分析】此题主要考查了反比例函数和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式． （1）根据工作量时间土石方总量可得，进而可得函数解析式，再根据，即可解答； （2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车，根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意：解：， ，， 随的增大而减小，当时，有最小值， ； （2）解：设乙车队需要派出x辆同样的卡车才能按时完成任务． 则原计划需要的天数为： 解得， 答：乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务． 题型03 面积定值类几何实际问题 典｜例｜精｜析 例3．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用． （1）利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）中的解析式，即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， 即这个三角形的底边长为． 变｜式｜巩｜固 1．（21-22九年级上·浙江杭州·阶段检测）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为时，它的另一边长为． (1)设矩形的相邻两边长分别为，，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为，方方说有一个矩形的周长为，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)方方的说法对，圆圆的说法不对． 【分析】（）先利用矩形面积公式得到与的数量关系，进而求出关于的函数解析式和自变量取值范围； （）根据矩形周长公式得到与的和，代入反比例函数解析式整理得到一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否存在正实数根，即可判断两人的说法是否正确． 【详解】（1）解：由题意得，所有矩形的面积相等， ∴矩形面积为， ∵矩形相邻两边长分别为，， ∴，整理得， ∵是矩形的边长， ∴自变量的取值范围是， ∴关于的函数解析式为； （2）解：若矩形周长为， 根据矩形周长公式得，即， 把代入上式得， 整理得一元二次方程， ∵， ∴该方程没有实数根，不存在周长为的符合要求的矩形，圆圆说法不对； 若矩形周长为， 根据矩形周长公式得，即， 把代入上式得， 整理得一元二次方程， ∵， ∴该方程有两个不相等的正实数根，存在周长为的符合要求的矩形，方方说法对． 2．（23-24九年级上·北京·期末）如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为平方米的矩形饲养场地．设为米，为米． (1)求与的函数关系式； (2)延长至，使比少米，围成一个新的矩形，结果场地的面积增加了平方米，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、矩形的面积以及分式方程的求解等， （1）利用矩形的面积公式，可得出与的函数关系式； （2）由的长可得出的长，再利用矩形的面积公式，结合矩形的面积为平方米，即可得出关于的方程． 【详解】（1）解：矩形饲养场的面积为平方米． 即： （2）比少米，为米． 为米． 此时新增加的面积为矩形的面积． 即： 又 化简得： 解得：． 经检验，是所列方程的解，符合题意， 所以的长为米． 3．（2025·山西朔州·一模）如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，． (1)求与之间的函数关系． (2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由． 【答案】(1) (2)不合理，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意可得与之间的函数为反比例函数，利用待定系数法即可解答； （2）把代入函数可得小路的长，得到的结果和起点和终点间的距离比较即可解答． 【详解】（1）解；根据石板搭建的小路面积一定，可得为定值， 与之间的函数为反比例函数， 设， 把，代入可得， ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得，经检验分式成立， ， 故不符合题意，设计不合理． 题型04 商品销售单价-销量反比例模型 典｜例｜精｜析 例4．（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应为160元 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可． （2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可． 【详解】（1）解：设函数式为， ∵当销售定价为120元时，每日可销售20件， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）解：设单价是x元， ∵， ∴，解得：， 检验：当时，利润为元，符合题意． 答：销售单价应为160元． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·河北沧州·阶段检测）某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 【答案】(1) (2)8天 (3)能 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键． （1）设出反比例函数解析数，找一点代入即可； （2）根据题意计算即可； （3）根据，可表示出与之间的函数关系式，再根据求出最大利润，再进行计算即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：（天）， ∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出． （3）解：依题意， 整理得：， ∵， ∴当时，最大， ∴当时，， ∴（天）， ∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）某农户共摘收草莓，为寻求合适的销售价格，进行了天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量与售价（元/）之间成反比例关系，已知第天以元/的价格销售了．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量与销售价格（元/）之间都满足这一关系． (1)求与之间的函数表达式； (2)在试销期间，第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍，求第二天的销售价格； (3)试销天共销售草莓，该农户决定将草莓的售价定为元/，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 【答案】(1) (2)元/ (3)天 【分析】本题考查了反比例函数的应用以及分式方程的应用，正确得出反比例函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“第天以元/的价格销售了”，得出函数解析式即可； （2）设第二天的销售价格是元/，根据“第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍”，列出分式方程，求解即可； （3）把代入得出的值，进而求出答案即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入，得， 解得：， 与之间的函数表达式为； （2）解：设第二天的销售价格是元/，则 ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：第二天的销售价格为元/； （3）解：草莓的销售价格定为元/，每天的销售量为：（千克）， （天）， 答：余下的草莓预计还需天可以全部售完． 题型05 利用反比例解析式求实际最值 典｜例｜精｜析 例5．（24-25八年级下·全国·课后作业）某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 【答案】(1)描点画图见解析，猜想：反比例函数 (2) (3)销售单价x定为8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系． （1）建立坐标系直接描点画图，再猜想即可； （2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可； （3）先确定与的函数关系式，然后根据售价最高不超过8元/根，利用函数的增减性即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示： 猜想：y与x之间具有反比例函数关系． （2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数）， 把代入，得， 将，，分别代入，均成立， 所以y与x之间的函数关系式为. （3）解：， 当时，w随x的增大而增大， 又因为， 所以当时，， 所以，销售单价x定为每根8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 变｜式｜巩｜固 1．（20-21九年级·全国·课后作业）一定质量的二氧化碳，当它的体积时，它的密度． （1）求V与的函数关系式； （2）求当时，二氧化碳的密度； （3）结合函数图象回答：当时，二氧化碳的密度有最大值还是最小值？最大（小）值是多少？ 【答案】（1）；（2）1.5kg/m3；（3）二氧化碳的密度有最大值，最大值为1.5kg/m3 【分析】（1）根据质量＝密度×体积，即可得出V与ρ的函数关系式； （2）将V＝9代入解析式即可求的二氧化碳的密度ρ； （3）根据反比例函数图象的增减性判断即可． 【详解】解：（1）设， 将V＝4，ρ＝2.25代入，得： ， 解得：m＝9， ∴V与的函数关系式为； （2）将V＝6代入，得： ， 解得：， 答：当时，二氧化碳的密度为1.5kg/m3； （3）如图， ∵m＝9＞0，且V＞0，， ∴V随着的增大而减小， ∴当时，， ∴二氧化碳的密度有最大值，最大值为1.5kg/m3． 【点睛】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据质量＝密度×体积列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 2．（2024九年级上·北京·专题练习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)； (2)当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润 【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意． （1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可； （2）首先要知道纯利润=（销售单价日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过10元/张，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x． 【详解】（1）解：反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为； （2）∵， 又∵， ∴当，W最大， 故当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润． 3．（2023·安徽合肥·模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示． 时间x/月份 2 3 4 5 售价 /（元/千克） 12 8 6 甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元/千克，平均每月销售160千克．    (1)求与x之间的函数关系式； (2)求与x之间的函数关系式； (3)若水果店销售水果时需要缴纳元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)为整数） (2)，且x为整数） (3)水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元 【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据图象用待定系数法求函数解析式即可； （3）根据总利润等于甲乙两种水果利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设与x之间的函数关系式为 ， 把代入解析式，则 ， 解得， ∴与x之间的函数关系式为（，x为整数）； （2）解：把代入，得： ，解得 ， ∴与x之间的函数关系式为，且x为整数）； （3）解：设甲乙两种水果获得的总利润为w，则 ， = ， 对称轴为直线 ． ∵， ∴当时，w随x的增大而减小． ∵x为整数， ∴当时，w有最大值，最大值（元）， 答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元． 【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和二次函数解析式，利用二次函数的对称性质，增减性质求最值，利润和售价与进价的关系，是解题的关键． 题型06 根据实际情境列反比例函数解析式 典｜例｜精｜析 例6．（2025九年级·全国·专题练习）某自来水公司计划新建一个容积为的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积S（单位：）关于其深度h（单位：m）的函数解析式为__________________．若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的深度为_________m． 【答案】 5 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，弄清题意，正确列出函数关系式是解题的关键． 根据长方体体积公式，容积等于底面积乘以深度，由此可得底面积关于深度的函数解析式；当给定长和宽时，先计算底面积，再利用体积公式求深度。 【详解】解：由长方体体积公式，体积 ，其中 ， 所以 ，解得 ． 当蓄水池的长为 ，宽为 时，底面积 ． 由 ，代入 ，， 得 ，解得 ． 故答案为：，． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·河北·阶段检测）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    （1）h关于的函数解析式为______． （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，该液体的密度为______． 【答案】 0.8 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设h关于ρ的函数解析式为 ，把代入解析式，解方程即可得到结论； （2）把代入，求得，于是得到结论． 【详解】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为， 把代入解析式，得， ∴h关于ρ的函数解析式为； （2）把代入，得， 解得：， 即，该液体的密度ρ为． 故答案为：；0.8． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知近视眼镜的度数y（单位：度）与镜片焦距x（单位：m）成反比例，若400度近视眼镜镜片的焦距为，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，把代入进行计算，即可作答．本题考查了求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵近视眼镜的度数y（单位：度）与镜片焦距x（单位：m）成反比例， ∴设， ∵400度近视眼镜镜片的焦距为， ∴把代入， 得， ∴， ∴y关于x的函数解析式为， 故选：C． 3．（22-23九年级下·江西南昌·阶段检测）如图，一个电子体重秤的电路图如图（2）所示，可变电阻可随着人的质量的变化而变化，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为（该读数可以换算为人的质量），则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后再化简为关于的函数解析式 【详解】由题意得：可变电阻两端的电压=电源电压-电表电压， 即：可变电阻电压， ∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ∴． 化简得：， ∵， ∴． 故选：C 【点睛】本题以物理中的电路问题为背景，考查了学生对于反比例函数关系式的掌握情况，解题的关键是先要求找出两个要求量之间的等量关系，然后化简为要求的表达式，转化过程中需要注意无关量的消去，一般情况下都是用代入法消元来解决这一问题的． 题型07 结合图像读取信息解决实际问题 利用反比例函数解决实际问题是近年来中考的热点.解题关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质结合方程(组)、不等式(组)求解. 典｜例｜精｜析 例7．（2026·山西吕梁·二模）某款电风扇的电阻可以调节，其范围为，已知电压为，图1是该电风扇的电路图，图2是该电风扇的功率与电阻之间的函数图象，则下列说法正确的是（    ） A．电功率是电阻的一次函数 B．电功率关于电阻的函数解析式为（） C．当电阻从增大到时，电风扇的电功率从增大到 D．若电风扇转速在中等档位时的电阻为，则此时电功率的大小为 【答案】D 【分析】根据函数图象得出，即可判断A，B，C选项，将代入解析式，进而判断D选项，即可求解． 【详解】解：由图2可得 ∴电功率关于电阻的函数解析式为（），电功率是电阻的反比例函数 当电阻从增大到时，电风扇的电功率从减小到 若电风扇转速在中等档位时的电阻为， ，即此时电功率的大小为 综上所述，只有D选项正确． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山西太原·二模）固态电池相比液态电池，有能量密度高，电池体积小，安全性高等优点．某固态电池厂商对甲、乙、丙、丁种型号的电池进行电池容量的测试，已知质量能量密度（），如图，用四个点分别描述块电池的质量能量密度（）和电池质量（），其中描述乙、丁两种型号的电池恰好在同一个反比例函数的图象上，则种电池的容量最大的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】设反比例函数解析式为，则，根据反比例函数的性质可得乙、丁两种电池的容量相同，等于，甲种电池的容量小于，丙种电池的容量大于，据此即可判断求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为，则， 由题意得，的值即为电池的容量， ∵描述乙、丁两种型号的电池恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种电池的容量相同，等于， 如图，∵， ∴甲种电池的容量小于， 同理可得，丙种电池的容量大于， ∴种电池的容量最大的是丙． 2．（2026·河南三门峡·一模）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上的O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，他记录了拉力的大小F与l的变化情况如图2所示，下列说法错误的是（    ） A．拉力的大小F与l符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力F在减小 C．长每增加，所施加的拉力减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【答案】C 【分析】根据杠杆平衡条件得出与的乘积为定值，确定函数关系式为反比例函数，结合图象数据及反比例函数性质逐项判断即可． 【详解】解：由杠杆平衡条件可知：， ， 拉力的大小与符合反比例函数关系，故A正确，不符合题意； ，且， 随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，；当时，；当时，，，， 长每增加，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意； 当时，；当时，，， 当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意． 3．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）节能冰箱通过变频技术或其他节能设计，实现电能高效利用．若某款节能冰箱的耗电功率为（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度（）与时间（min）之间的关系如图所示．通过观察发现：当内部温度为5时，冰箱运行，当温度下降到20时，停止运行，温度上升到5℃时，冰箱再次运行，如此循环．有以下结论：①当时，；②当时，，③；④如果冰箱每天耗电量（kW·h）耗电功率（）每天运行时间（h），则该款冰箱每天的耗电量不到．其中正确的有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先设y关于x的函数表达式为，再将点代入，并求出解可解答①；然后将点代入，求出解说明②；将代入②中的关系式解答③； 最后求出每天的耗电量，比较说明④即可． 【详解】解：设当时，y关于x的函数表达式为，将点代入，得 ， 解得， 所以当时，y是x的一次函数，则①不正确； 当时，y关于x的函数关系式为， 将点代入，得， 所以当时，y是x的反比例函数，则②正确； 当时，， 解得， 所以，则③不正确； 每天的耗电量， 所以该冰箱每天耗电量低于1度，则④正确， 所以正确的有2个． 4．（2026·河南漯河·一模）在一定的温度下，某容器内充满了一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．当时， B．气体体积大于时，压强小于 C．气体体积每增加，压强减小 D．当时，压强的变化范围为 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：容器内气体的压强是气体体积的反比例函数， 设， 将点代入反比例函数的解析式可得，解得， ， 当时，，故A正确，不符合题意； ， 随的增大而减小， 观察图象可知，当气体体积大于时，压强小于，故B正确，不符合题意； 当时，， 当气体体积增加时，即时，， ，故C错误，符合题意； 随的增大而减小，当时，；当时，， 当时，压强的变化范围为，故D正确，不符合题意． 题型08 跨学科问题 跨学科的反比例函数应用问题一般要利用其他学科相关量之间的等量关系构建反比例函数模型，再利用反比例函数的相关知识解决问题. 典｜例｜精｜析 例8．（2026·广东汕头·一模）某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 【答案】(1) (2)米/秒 【分析】（1）设函数关系式为，再代入，求出的值即可求解； （2）解分式方程求出的值，由（1）得，再代入的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 代入，得，， 解得， ∴耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式为； （2）解：∵， ∴， 解得， 由（1）得，， 代入，得， 解得， ∴调整后的速度为米/秒． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·期末）某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为． 根据I与R之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … … 4 p 2.4 2 1.5 … (1)填空： ____________，____________； (2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质； (3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 【答案】(1)3，4； (2)作图见详解，电流随可变电阻R的增大而减小； (3)电子体重秤可称的最大质量为101千克． 【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数图象的综合运用，掌握自变量，函数值的计算方法，待定系数法求解析是解题的关键． （1）根据题意，分别把，代入，即可求解； （2）根据表中数据在图中描出实数对的对应点，用平滑曲线连接即可； （3）根据题意可求出可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，根据电流表量程，电流与电压，电阻的函数关系可求出子体重秤可称的最大质量． 【详解】（1）解：已知电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为， 当时，，即， 当时，，，即， 故答案为：3，4； （2）根据题意： … 1 2 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 1.5 … 根据表格数据在平面直角坐标系描点作图如下： 由图可知：电流随可变电阻R的增大而减小； （3）解：根据题意，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，且该直线过， ，解得：， 可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为：， 可变电阻R随人的质量m增大而减小， 当时，， ； 当时，， ， ， m不能超过； 当时，，解得：， ，解得：， 电子体重秤可称的最大质量为101千克． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期末）数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示所称物体质量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． (1)当放置物体质量为时，求此时可变电阻的值； (2)求电流关于可变电阻的函数表达式； (3)为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练读懂题意，准确求出函数解析式为解题关键． （1）设可变电阻与物体质量之间的关系式为，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入求出结果即可； （2）设电流I与电阻之间的关系式为，再代入求解即可； （3）由题意可知当取得最小值时，x取得最大值，将代入中求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，设可变电阻与物体质量之间的关系式为， 将，代入中， 得，， 解得：， 可变电阻与物体质量x之间的关系式为， 将代入，中，得， 当放置物体质量为时，此时可变电阻的值为； （2）解：电流与总电阻成反比例， 又， 设电流与电阻之间的关系式为：， 由（1）知，当放置物体质量为时，此时可变电阻的值为， 又当放置物体质量为时，电流表显示为， ， ， 电流与电阻之间的关系式为； （3）解：根据素材2图3中的图象易知，当时，随x的增大而减小， 当取得最小值时，x取得最大值， 由（2）知，电流I与电阻之间的关系式为， 当时，， 将代入中， 得，， 解得：， 当电流范围设定为时，该电子托盘秤称得物体最大质量为． 3．（2025·河南开封·一模）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 【答案】(1) (2)；图象见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据解答即可； （2）求出与的关系式，可得L关于x的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （2）解：设与的关系式为， 由图②得图象经过， ， ∴与的关系式为， ， ， ∴， 根据题意得：，， ∴自变量x的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 画出图象如图所示： 4．（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图像求出与的函数关系式，以及利用反比例函数的性质求解电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图像经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 5．（2026·山东滨州·二模）【知识背景】杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即．小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的质量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．    (1)关于的函数关系式是________； (2)若，则的取值范围是________． 任务二：如图3，调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡．设重物的质量为，的长为，完成下列问题： (3)关于的函数关系式是________； (4)完成下表： … 0.5 1 2 4 … … ________ ________ ________ ________ … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点．现有重物约，可选用支点，和秤砣（）、（）进行称量． (5)请通过计算确定：应选择哪个支点和哪个秤砣？并说明如何判断重物是否正好为． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)见解析； (5)选择支点Q和秤砣来秤重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是 【分析】（1）根据即可求出关系式； （2）根据y的范围即可求得x的范围； （3）根据即可求出关系式； （4）将x的值分别代入求解即可； （5）根据题意分别选择支点O和Q计算，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴ ∴； （4）解：根据题意得， … 0.25 0.5 1 2 4 … … 40 20 10 5 2.5 … （5）解：如图所示， 由题意知，，， 如果用支点O，则， （），不合题意，舍去； 如果用支点Q，则， ， 选择支点Q和秤砣来称重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是． 题型09 分段函数+反比例综合实际应用题 典｜例｜精｜析 例9．（24-25九年级上·广东江门·期末）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分． (1)求y与x的函数关系式； (2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为， 当时，设y与x的函数关系式为， ， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 综上所述，y与x的函数关系式为； （2）解：设利润为w元， 当时，， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， 当时，， ∴当时，w取得最大值，此时， ∵， ∴当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元， 答：当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元． 变｜式｜巩｜固 1．（上海第一中学2025-2026学年沪科版九年级数学上册周测三）某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系如下表： 销售价格x/（元/个） 销售量y/万个 (1)求该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式； (2)销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润是50万元 【分析】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据x的范围分类讨论，由“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式； （2）结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可． 【详解】（1）当时，； 当时，． 故该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式为 ； （2）当时，， 所以当时，w取得最大值50； 当时，． 因为，所以w随x的增大而增大， 所以当时，w取得最大值50． 所以销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润是50万元． 2．（安徽省合肥市部分学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）某公司在某地先后举行10场产品促销会，已知该产品每台成本为5万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品50台，然后每增加一场，产品就少卖出2台； 信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场~第5场浮动价与销售场次成正比，第6场~第10场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据： （场） 2 5 10 （万元） 7 10 7.5 (1)求销售量与销售场次之间的函数关系式； (2)求销售单价与销售场次之间的函数关系式； (3)在这10场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)第6场获得的利润最大，最大利润约为万元 【分析】（1）根据每增加一场，产品就少卖出2台，即可列出关系式； （2）根据“成正比”转化为一次函数，“成反比”转化为反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）设每场获得的利润为w万元，分两种情况求出w与x的函数解析式，并求出最大值，进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：依题意得：，其中x为正整数，且； ∴销售量与销售场次之间的函数关系式为． （2）解：设基本价为b， ①∵第1场~第5场浮动价与销售场次x成正比， ∴设p与x的函数关系式为， 依题意得， 解得， ∴； ②∵第6场~第10场浮动价与销售场次x成反比，由①知， ∴设p与x的函数关系式为， 依题意得，解得， ∴； 综上所述，销售单价p与销售场次x之间的函数关系式为： ； （3）解：设每场获得的利润为w万元， ①当时，， ∵， ∴当时，w最大，最大利润为210万元； ②当时，， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w最大，最大利润 (万元)， ∵， ∴在这10场产品促销会中，第6场获得的利润最大，最大利润约为万元 ． 【点睛】本题主要考查了求一次函数不等式，反比例函数不等式和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法求函数的解析式． 3．（浙教版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考测试题）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，售后经过统计得到此商品单价与第x天(x为正整数)的销售量的相关信息，如下表所示． 销售量n(件) 销售单价m(元) 当时， 当时， (1)请计算第几天该商品的单价为25元？ (2)求网店销售该商品30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式． (3)这30天中，第几天获得的利润最大？ 最大利润是多少？ 【答案】(1)第10天或第28天时该商品单价为25元/件 (2) (3)第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元 【分析】本题考查二次函数；反比例函数的实际应用． （1）分两种情形分别代入解方程即可． （2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可． （3）分两种情形根据函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当时，将代入，解得； ②当时，， 解得， 经检验是方程的解． ∴． 答：第10天或第28天时该商品单价为25元/件； （2）解：分两种情况： ①当时， ， ②当时，， 综上所述： ； （3）解：①当时， 由， ∵， ∴当时，有最大值（元）； ②当时， 由，可知随的增大而减小． ∴当时，有最大值（元）． ∵， ∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元． 题型10 多函数综合的实际应用 利用反比例函数与一次函数或二次函数相结合解决实际问题是近年中考的热点题型.两种函数图像的交点的实际意义往往是分析问题的切点，要注意自变量的取值范围，特别要考虑实际情况. 典｜例｜精｜析 例10．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少经过分钟后学生才可以回教室 【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧后； （2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用， ∴当时，， 经检验，是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 【答案】(1)，； (2)； (3)能；40 【分析】(1) 先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至时的总时间确定自变量范围． (2) 分加热和回落两个阶段分别求出水温为时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于的时长并求和． (3) 先求一个完整周期时长，再计算内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在～范围内． 【详解】（1）解：∵ 初始水温为，每分钟上升， ∴ 加热到所需时间为， 即停止加热时，． 设停止加热后水温与通电时间的函数关系式为， ∵ 图象过点， ∴ ， 解得， ∴ 函数关系式为． 当水温降至时，， 解得， ∴ 自变量的取值范围是． （2）解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升， 加热阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 加热阶段水温不低于的时长为． 回落阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 回落阶段水温不低于的时长为． ∴ 这一过程中水温不低于的总时长为． （3）解：∵ 加热需，回落需， ∴一个完整周期为． ∵ 早晨7:40到上午9:20共， ， ∴ 经过个完整周期后，第个周期又进行了． 第个周期中，前加热，后回落， ∵ ， ∴ 此时处于第个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期的温度，第个周期开始后第的温度一样， 此时的温度为： ∵ ， ∴ 同学们能接到～的温开水， 此时水温为． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 4．（25-26九年级上·安徽六安·期末）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分． (1)求当和时，图象所对应的函数表达式； (2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)当时的函数解析式为；当时的函数解析式为 (2)老师的教学设计能实现，见解析 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数的应用，正确理解题意是关键． （1）设当时的函数解析式为，把代入求解即可；设当时的函数解析式为，把代入求解即可； （2）将代入，求得，将代入，求得，由，即可判断． 【详解】（1）解：设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 当时的函数解析式为，当时的函数解析式为； （2）解：能实现． 将代入得， 解得，（舍去）， 将代入得， 解得， ， 老师的教学设计能实现． 题型11 新情境问题 典｜例｜精｜析 例11．（2026·广东广州·二模）某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线，需与一条洋流边界线交汇以采集水样．无人机与洋流边界在交汇点相遇． (1)求无人机航线参数b和洋流边界参数k； (2)一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将分别代入和求解即可； （2）过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接，则为等腰直角三角形，，设，则，解方程即可． 【详解】（1）解：将分别代入和， 得，， 解得，； （2）解：如图，过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接，则， ∵一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北·二模）某环保小组正在开展收集废旧电池活动，第1周收集到废旧电池49节，之后每周的收集量比前一周减少1节．废旧电池的回收单价y（单位：元）由固定的成本价和浮动价两部分相加组成，其中浮动价与周次x（x为整数，且）有如下关系： 第1周至第21周，浮动价与周次x成正比例关系； 第22周至第40周，浮动价与周次x成反比例关系． 已知第2周回收单价为12元，第12周回收单价为32元，第22周回收单价为11元． (1)设第x周收集的废旧电池数量为w节，直接写出w与x的函数表达式； (2)当回收单价为10元时，求此时是开展收集活动的第几周； (3)前21周中，求哪一周的回收总利润是后19周中最大利润的8倍（单周回收总利润（回收单价成本价）回收数量）． 【答案】(1) (2)当回收单价为10元时，是开展收集活动的第1周或第33周 (3)前21周中，第8周的回收总利润是后19周中最大利润的8倍 【分析】（1）根据第1周收集到废旧电池49节，之后每周的收集量比前一周减少1节，列出函数关系式即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出函数解析式，再求出结果即可； （3）先求出后19周中单周利润的最大值为84元，再根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵第1周收集到废旧电池49节，之后每周的收集量比前一周减少1节， ∴； （2）解：当时，设，根据题意得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴此时是开展收集活动的第1周； 当时，设，根据题意得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴此时是开展收集活动的第33周； 综上，当回收单价为10元时，是开展收集活动的第1周或第33周； （3）解：设一周回收总利润为z元，则后19周的回收利润为： ， ∵在自变最取值范围内，z随x的增大而减小， ∴当时，利润最大，且最大利润为：（元）， 前21周的回收利润为： ， 令， 解得：或（舍去）， 答：前21周中，第8周的回收总利润是后19周中最大利润的8倍． 2．（25-26八年级下·山西·期中）综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 【答案】(1)； (2)米； (3)符合安全设置要求，理由见解析； (4)米 【分析】（1）利用待定系数法代入点坐标求反比例函数解析式； （2）根据点纵坐标代入解析式求横坐标，计算横坐标差得到水平距离； （3）求出点横坐标，代入得纵坐标，和安全要求比较验证； （4）将点横坐标代入解析式，求出纵坐标即为竖直高度． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为． 设反比例函数表达式为， 将代入得：，解得， ∴曲线段所在反比例函数的表达式为． （2）解：∵点距离地面竖直高度为米， ∴点纵坐标， 将代入得：，解得， ∵点横坐标为， ∴、两点水平距离为(米)． 答：、两点间的水平距离为米． （3）解：该位置符合安全设置要求，理由如下： ∵，，点到的水平距离为米， ∴点横坐标， 将代入得， ∵，满足“距地面竖直高度不低于3米”的要求， ∴该位置符合安全设置要求． （4）解：由题意，点的横坐标为， 将代入得： ， 因此点距地面的竖直高度为米． 3．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么第二次服用这种抗过敏药物需要隔多少时间（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出上升段的表达式，然后把代入求出时间，再把代入（1）中的函数表达式求出时间，即可求出时间差． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：设上升段的表达式为，代入可得，， 解得， ∴上升段的表达式为， 当时，则； 由（1）得下降过程中的函数， 在中，当时，， 解得或（舍去）， ∴ 答：隔5小时需服用第二次． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 知识点一 实际问题与反比例函数 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 即学即练 1．（2026·湖北·模拟预测）在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，（单位：）与（单位：）之间的函数关系如图所示．当时，的值可以是（  ）    A．18 B．28 C．38 D．48 2．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（   ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026·贵州遵义·二模）某实践小组进行溶液反应实验，向一定量的甲溶液中逐滴加入乙溶液，反应生成白色沉淀．实验发现：生成沉淀的质量（）与反应后剩余甲溶液的质量（）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 剩余甲溶液的质量 2 4 5 10 20 沉淀的质量 10 5 4 2 1 A． B． C． D． 4．（2026·陕西商洛·二模）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数，其函数图象如图所示，若要使频率为（即达到标准音高），则张力为_____． 5．（25-26九年级下·福建莆田·期中）如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧处，重量．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即）．移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，则弹簧秤的示数y的最小值为______． 题型01 行程类反比例应用 典｜例｜精｜析 例1（25-26九年级上·广东河源·期中）问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式． (2)若汽车从上午8：00从A市出发， ①如果汽车在当天12：48到14：00之间到达B市，求汽车行驶速度的范围． ②汽车能否在当天11：30到达B市？为什么？ 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． (1)①写出y与x的函数关系式； ②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ (2)若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段检测）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录．请根据以上知识解决下列问题：已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． 请根据以上知识解决下列问题： (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶，通过该路段的时间为，求的值． 题型02 工程类反比例应用 典｜例｜精｜析 例2（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 变｜式｜巩｜固 1．（2023·广西南宁·二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数（天）是每天完成的工程量（米/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求与的函数关系式． (2)当每天完成米时，求该工程队完成工程所需的时间． (3)若完成工程的天数小于天，则该工程队每天完成的工程量的取值范围是______． 3．（24-25九年级上·山东淄博·期中）某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 题型03 面积定值类几何实际问题 典｜例｜精｜析 例3．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 变｜式｜巩｜固 1．（21-22九年级上·浙江杭州·阶段检测）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为时，它的另一边长为． (1)设矩形的相邻两边长分别为，，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为，方方说有一个矩形的周长为，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 2．（23-24九年级上·北京·期末）如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为平方米的矩形饲养场地．设为米，为米． (1)求与的函数关系式； (2)延长至，使比少米，围成一个新的矩形，结果场地的面积增加了平方米，求的长． 3．（2025·山西朔州·一模）如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，． (1)求与之间的函数关系． (2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由． 题型04 商品销售单价-销量反比例模型 典｜例｜精｜析 例4．（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·河北沧州·阶段检测）某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）某农户共摘收草莓，为寻求合适的销售价格，进行了天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量与售价（元/）之间成反比例关系，已知第天以元/的价格销售了．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量与销售价格（元/）之间都满足这一关系． (1)求与之间的函数表达式； (2)在试销期间，第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍，求第二天的销售价格； (3)试销天共销售草莓，该农户决定将草莓的售价定为元/，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 题型05 利用反比例解析式求实际最值 典｜例｜精｜析 例5．（24-25八年级下·全国·课后作业）某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 变｜式｜巩｜固 1．（20-21九年级·全国·课后作业）一定质量的二氧化碳，当它的体积时，它的密度． （1）求V与的函数关系式； （2）求当时，二氧化碳的密度； （3）结合函数图象回答：当时，二氧化碳的密度有最大值还是最小值？最大（小）值是多少？ 2．（2024九年级上·北京·专题练习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 3．（2023·安徽合肥·模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示． 时间x/月份 2 3 4 5 售价 /（元/千克） 12 8 6 甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元/千克，平均每月销售160千克．    (1)求与x之间的函数关系式； (2)求与x之间的函数关系式； (3)若水果店销售水果时需要缴纳元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？ 题型06 根据实际情境列反比例函数解析式 典｜例｜精｜析 例6．（2025九年级·全国·专题练习）某自来水公司计划新建一个容积为的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积S（单位：）关于其深度h（单位：m）的函数解析式为__________________．若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的深度为_________m． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·河北·阶段检测）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    （1）h关于的函数解析式为______． （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，该液体的密度为______． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知近视眼镜的度数y（单位：度）与镜片焦距x（单位：m）成反比例，若400度近视眼镜镜片的焦距为，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·江西南昌·阶段检测）如图，一个电子体重秤的电路图如图（2）所示，可变电阻可随着人的质量的变化而变化，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为（该读数可以换算为人的质量），则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 题型07 结合图像读取信息解决实际问题 利用反比例函数解决实际问题是近年来中考的热点.解题关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质结合方程(组)、不等式(组)求解. 典｜例｜精｜析 例7．（2026·山西吕梁·二模）某款电风扇的电阻可以调节，其范围为，已知电压为，图1是该电风扇的电路图，图2是该电风扇的功率与电阻之间的函数图象，则下列说法正确的是（    ） A．电功率是电阻的一次函数 B．电功率关于电阻的函数解析式为（） C．当电阻从增大到时，电风扇的电功率从增大到 D．若电风扇转速在中等档位时的电阻为，则此时电功率的大小为 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山西太原·二模）固态电池相比液态电池，有能量密度高，电池体积小，安全性高等优点．某固态电池厂商对甲、乙、丙、丁种型号的电池进行电池容量的测试，已知质量能量密度（），如图，用四个点分别描述块电池的质量能量密度（）和电池质量（），其中描述乙、丁两种型号的电池恰好在同一个反比例函数的图象上，则种电池的容量最大的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2026·河南三门峡·一模）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上的O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，他记录了拉力的大小F与l的变化情况如图2所示，下列说法错误的是（    ） A．拉力的大小F与l符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力F在减小 C．长每增加，所施加的拉力减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 3．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）节能冰箱通过变频技术或其他节能设计，实现电能高效利用．若某款节能冰箱的耗电功率为（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度（）与时间（min）之间的关系如图所示．通过观察发现：当内部温度为5时，冰箱运行，当温度下降到20时，停止运行，温度上升到5℃时，冰箱再次运行，如此循环．有以下结论：①当时，；②当时，，③；④如果冰箱每天耗电量（kW·h）耗电功率（）每天运行时间（h），则该款冰箱每天的耗电量不到．其中正确的有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·河南漯河·一模）在一定的温度下，某容器内充满了一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．当时， B．气体体积大于时，压强小于 C．气体体积每增加，压强减小 D．当时，压强的变化范围为 题型08 跨学科问题 跨学科的反比例函数应用问题一般要利用其他学科相关量之间的等量关系构建反比例函数模型，再利用反比例函数的相关知识解决问题. 典｜例｜精｜析 例8．（2026·广东汕头·一模）某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·期末）某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为． 根据I与R之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … … 4 p 2.4 2 1.5 … (1)填空： ____________，____________； (2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质； (3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 2．（25-26九年级上·山东淄博·期末）数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示所称物体质量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． (1)当放置物体质量为时，求此时可变电阻的值； (2)求电流关于可变电阻的函数表达式； (3)为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 3．（2025·河南开封·一模）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 4．（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 5．（2026·山东滨州·二模）【知识背景】杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即．小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的质量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．    (1)关于的函数关系式是________； (2)若，则的取值范围是________． 任务二：如图3，调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡．设重物的质量为，的长为，完成下列问题： (3)关于的函数关系式是________； (4)完成下表： … 0.5 1 2 4 … … ________ ________ ________ ________ … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点．现有重物约，可选用支点，和秤砣（）、（）进行称量． (5)请通过计算确定：应选择哪个支点和哪个秤砣？并说明如何判断重物是否正好为． 题型09 分段函数+反比例综合实际应用题 典｜例｜精｜析 例9．（24-25九年级上·广东江门·期末）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分． (1)求y与x的函数关系式； (2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？ 变｜式｜巩｜固 1．（上海第一中学2025-2026学年沪科版九年级数学上册周测三）某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系如下表： 销售价格x/（元/个） 销售量y/万个 (1)求该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式； (2)销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 2．（安徽省合肥市部分学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）某公司在某地先后举行10场产品促销会，已知该产品每台成本为5万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品50台，然后每增加一场，产品就少卖出2台； 信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场~第5场浮动价与销售场次成正比，第6场~第10场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据： （场） 2 5 10 （万元） 7 10 7.5 (1)求销售量与销售场次之间的函数关系式； (2)求销售单价与销售场次之间的函数关系式； (3)在这10场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 3．（浙教版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考测试题）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，售后经过统计得到此商品单价与第x天(x为正整数)的销售量的相关信息，如下表所示． 销售量n(件) 销售单价m(元) 当时， 当时， (1)请计算第几天该商品的单价为25元？ (2)求网店销售该商品30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式． (3)这30天中，第几天获得的利润最大？ 最大利润是多少？ 题型10 多函数综合的实际应用 利用反比例函数与一次函数或二次函数相结合解决实际问题是近年中考的热点题型.两种函数图像的交点的实际意义往往是分析问题的切点，要注意自变量的取值范围，特别要考虑实际情况. 典｜例｜精｜析 例10．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 2．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 4．（25-26九年级上·安徽六安·期末）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分． (1)求当和时，图象所对应的函数表达式； (2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由． 题型11 新情境问题 典｜例｜精｜析 例11．（2026·广东广州·二模）某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线，需与一条洋流边界线交汇以采集水样．无人机与洋流边界在交汇点相遇． (1)求无人机航线参数b和洋流边界参数k； (2)一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北·二模）某环保小组正在开展收集废旧电池活动，第1周收集到废旧电池49节，之后每周的收集量比前一周减少1节．废旧电池的回收单价y（单位：元）由固定的成本价和浮动价两部分相加组成，其中浮动价与周次x（x为整数，且）有如下关系： 第1周至第21周，浮动价与周次x成正比例关系； 第22周至第40周，浮动价与周次x成反比例关系． 已知第2周回收单价为12元，第12周回收单价为32元，第22周回收单价为11元． (1)设第x周收集的废旧电池数量为w节，直接写出w与x的函数表达式； (2)当回收单价为10元时，求此时是开展收集活动的第几周； (3)前21周中，求哪一周的回收总利润是后19周中最大利润的8倍（单周回收总利润（回收单价成本价）回收数量）． 2．（25-26八年级下·山西·期中）综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 3．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么第二次服用这种抗过敏药物需要隔多少时间（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $