第二十七章 反比例函数（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学反比例函数单元提升卷，通过基础巩固、综合应用及创新探究的梯度设计，全面考查反比例函数定义、图像性质及与一次函数、几何的综合应用，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数定义（题1）、图像判断（题2）|基础概念与图像直观结合，考查抽象能力| |填空题|6/18|性质辨析（题13）、几何综合（题14）|通过结论判断与图形面积计算，培养推理意识| |解答题|8/72|实际应用（题20“药熏消毒”）、函数与几何综合（题24矩形应用）|结合生活情境与动态几何，发展模型意识与创新意识|

第二十七章 反比例函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．C 2．D 3．B 4．D 5．A 6．C 7．D 8．C 9．A 10．D 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．2 12． 13．②③④ 14． 15．或 16． 2 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式求解与求值，熟练掌握反比例函数的定义与代入求值法是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的、值求出比例系数，进而得到函数关系式． （2）将代入第题求出的函数关系式中，计算得出的值． 【详解】（1）解：设（）， 将，代入得， 解得， ∴函数关系式为； （2）解：当时，． 18．(1) (2)点在函数图像上，点不在函数图像上 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：在中，当时，，当时，， ∴点在函数图像上，点不在函数图像上． 19．(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案； （3）如图所示，设直线与轴交于，求出点C的坐标，得到，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得到， 反比例函数解析式为， 在反比例函数图像上， ， ， 把和代入一次函数解析式， ， 解得， ； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或， 满足的的取值范围是或． （3）解：如图所示，设直线与轴交于， 当时，， ， ， ． 20．(1) (2)或 (3)这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：，利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，设y与x的函数关系式为：， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：将代入得：，解得：， 代入得，解得：． 综上，或； （3）解：这次“药熏消毒”是有效消毒， 理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、函数图象与不等式等知识点，熟练掌握函数图象法和待定系数法是解题的关键． （1）先将点代入可得反比例函数的解析式，再点代入反比例函数的解析式可得c的值，然后利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）先求出反比例函数的图象经过点，一次函数的图象必经过点，再分和两种情况，分别结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数解析式为， 将点代入得：， ∴， 将点，代入得： ，解得， ∴一次函数的解析式． （2）解：由（1）已得：反比例函数的解析式为， 当时，，即反比例函数的图象经过点， 将代入一次函数得：， ∴一次函数的图象必经过点， ①如图，当时， 此时，当时，对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，不符合题意； ②如图，当时， 将点代入一次函数得：，解得：， 结合函数图象可知，当时，对于x的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，则． 综上，a的取值范围为． 22．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查求一次函数与反比例函数的解析式、函数图像解不等式、三角形面积等知识点，正确求得函数解析式、掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将代入求出m的值，再将代入求出n，然后运用待定系数法求出一次函数即可； （2）根据函数图像直接写成不等式的解集即可； （3）先求出出一次函数与x轴的交点坐标，进而得到，再根据列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：把代入得； ∴反比例函数解析式为， 把代得， ∴， 把，分别代入， 得：，解得：， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，， ∴由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时， ∴的解为：或． （3）解：设一次函数与y轴交点为C， 在中，令，则，即， ∴一次函数的图象与y轴的交点C的坐标为，则， ∵， ∴，即，解得：或． 23．(1)，． (2)或 (3)①，② (4) 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式，再代入反比例解析式求解即可； （2）根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集； （3）①用待定系数法求一次函数解析式；② 过点D作轴于点G，过点B作轴于点F，则．在中，当时，．进而求得，证明．得，，从而得．进而带入解析式即可判断． （4）联立一次函数与反比例函数解析式，转化为一元二次方程无实数根的问题，利用判别式求解的范围． 【详解】（1）解：把点，代入，得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得． （2）由（1）得：，则， 由图象可知：或， （3）①把分别代入， 得，解得： ∴一次函数的表达式为， ②点在反比例函数的图象上 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点， 则． 在中，当时， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴ ∴． ∵， ∴点在反比例函数图象上， （4）若一次函数与反比例函数的图象没有公共点， 则无实数根，整理得：， ， 当时，，， ∵的函数图象开口向上， ∴的解集是． ∴一次函数与反比例函数的图象没有公共点， 的取值范围为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，以及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题关键． 24．(1)；；；；； (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据矩形的性质及可得点的坐标，从而得出反比例函数的解析式，再把代入可得点的坐标，然后利用矩形的面积公式和三角形的面积公式可得的面积； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，求出直线的解析式，再令可求出点的坐标； （3）分类讨论：①当，为对角线时，②当，为对角线时，③当，为对角线时，利用中点坐标公式建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵在矩形中，，， ∴轴，轴，，， ∵点是边上的点且， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过点，交边于点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，，反比例函数的解析式为，的面积， 故答案为：；；；；；； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 由（1）知：， ∴，， ∴，当点、、共线时取“”， 此时取得最小值，即的周长取得最小值，最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴； （3）设，， ∵，， ①当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ②当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ③当，为对角线时，得： ，解得：， ∴（不符合题意，舍去）； 综上所述，存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数、一次函数及矩形的综合应用，考查坐标与图形，待定系数法确定函数解析式，矩形的性质，轴对称最短路线问题，平行四边形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数是反比例函数，则m=（ ）． A． B． C． D．2或 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．正比例函数y＝kx和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ） A．（－1，－2） B．（－2，－1） C．（1，2） D．（2，1） 6．函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，，则（为正整数）的坐标是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是______． 12．已知点，在反比例函数的图象上，则的大小关系_____． 13．已知反比例函数 ，下列结论∶①图象必经过；②图象在一、二象限内；③y随的增大而增大；④当 时，则 ，其中错误的结论有________．(填序号) 14．如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为_______． 15．对于反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是______． 16．如图，在反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…，分别过这些点作x轴的垂线，垂足依次为，…，分别以…为对角线作平行四边形，另两顶点分别落在与上（1，2，3，…，为y轴），所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，…，记，，，…，则______；______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知y与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 18．（8分）已知反比例函数的图像经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点B，是否在这个函数图像上？ 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图像相交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)求的面积． 20．（8分）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与函数的图象交轴于点． (1)求的值及一次函数的解析式 (2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 22．（10分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、两点，若已知． (1)分别求一次函数与反比例函数的关系式； (2)观察图像，直接写出不等式的解集 ； (3)点为y轴上一点，若的面积为10，求a的值． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形ABCD． (1)求m，n的值； (2)写出不等式的解集为____________； (3)①求一次函数的解析式； ②请判断点是否在反比例函数的图象上？并说明理由； (4)记一次函数的图象为，若与反比例函数的图象没有公共点，直接写出的取值范围． 24．（10分）如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数是反比例函数，则m=（ ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，利用代入法求y值并比较大小是关键．根据反比例函数性质，时，函数图像在第一、三象限，代入点坐标计算y值并比较大小． 【详解】解：∵点，，在反比例函数上，   ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，的大小关系为， 故选：B． 4．已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象位于第一、三象限，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故选：． 5．正比例函数y＝kx和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ） A．（－1，－2） B．（－2，－1） C．（1，2） D．（2，1） 【答案】A 【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数y=2x和反比例函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数y=2x和反比例函数的一个交点为（1，2）， ∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称， ∴另一个交点是（-1，-2）． 故选：A． 6．函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意， 故选：C． 7．如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：D． 8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是正确理解函数图象和性质． 观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， 不等式的解集是或． 故选：． 9．若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题、直接开方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一次函数与反比例函数交点问题是解题的关键． 联立与得，利用双曲线与直线一定有交点，则方程有解，再利用根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 化简为：， ∵双曲线与直线一定有交点， ∴方程有解， 又∵双曲线中， ∴，解得：． 故选：A． 10．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，，则（为正整数）的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题． 由题意，，，，……，都是等腰直角三角形，想办法求出，，，，……，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论． 【详解】解：点在直线上，， 是等腰直角三角形， ，， ，，……，都是等腰直角三角形， ∴， 直线与双曲线交于点， ， 作轴于，则， ， 设， 则有， 解得（负值舍去）， ， 设，则有， 解得（负值舍去）， ， 同理可得，， ，……， ， ， 故选D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是______． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的一般形式进行计算即可． 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴，且， ∴， 故答案为：2． 12．已知点，在反比例函数的图象上，则的大小关系_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是掌握反比例函数，当时，经过二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大；反之经过一、三象限，随的增大而减小．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数经过二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大， ∴在第二象限，在第四象限， ， 故答案为：． 13．已知反比例函数 ，下列结论∶①图象必经过；②图象在一、二象限内；③y随的增大而增大；④当 时，则 ，其中错误的结论有________．(填序号) 【答案】②③④ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案． 【详解】解：①当时，，即图象必经过点，正确； ②，图象在第二、四象限内，错误； ③，每一象限内，y随x的增大而增大，错误； ④，每一象限内，y随x的增大而增大，当时，；当时，；当时，函数无意义，错误， 故答案为：②③④． 14．如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．先得出，根据反比例函数k值的几何意义得出，故，进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，，记交y轴于点C， ∵轴， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴ 故答案为： 15．对于反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，而当时，，所以当时，或．关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式． 【详解】解：反比例函数中，， 图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， 当时，， 当时，或 故答案为：或 16．如图，在反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…，分别过这些点作x轴的垂线，垂足依次为，…，分别以…为对角线作平行四边形，另两顶点分别落在与上（1，2，3，…，为y轴），所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，…，记，，，…，则______；______． 【答案】 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质．也考查了三角形面积公式和反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，，，，再根据平行四边形的性质和三角形面积公式可计算出，，，，，所以，，，即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…， ∴，，，，， ∴，，，，， ∴，，， 故答案为：，． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知y与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式求解与求值，熟练掌握反比例函数的定义与代入求值法是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的、值求出比例系数，进而得到函数关系式． （2）将代入第题求出的函数关系式中，计算得出的值． 【详解】（1）解：设（）， 将，代入得， 解得， ∴函数关系式为； （2）解：当时，． 18．（8分）已知反比例函数的图像经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点B，是否在这个函数图像上？ 【答案】(1) (2)点在函数图像上，点不在函数图像上 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：在中，当时，，当时，， ∴点在函数图像上，点不在函数图像上． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图像相交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案； （3）如图所示，设直线与轴交于，求出点C的坐标，得到，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得到， 反比例函数解析式为， 在反比例函数图像上， ， ， 把和代入一次函数解析式， ， 解得， ； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或， 满足的的取值范围是或． （3）解：如图所示，设直线与轴交于， 当时，， ， ， ． 20．（8分）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：，利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，设y与x的函数关系式为：， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：将代入得：，解得：， 代入得，解得：． 综上，或； （3）解：这次“药熏消毒”是有效消毒， 理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与函数的图象交轴于点． (1)求的值及一次函数的解析式 (2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、函数图象与不等式等知识点，熟练掌握函数图象法和待定系数法是解题的关键． （1）先将点代入可得反比例函数的解析式，再点代入反比例函数的解析式可得c的值，然后利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）先求出反比例函数的图象经过点，一次函数的图象必经过点，再分和两种情况，分别结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数解析式为， 将点代入得：， ∴， 将点，代入得： ，解得， ∴一次函数的解析式． （2）解：由（1）已得：反比例函数的解析式为， 当时，，即反比例函数的图象经过点， 将代入一次函数得：， ∴一次函数的图象必经过点， ①如图，当时， 此时，当时，对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，不符合题意； ②如图，当时， 将点代入一次函数得：，解得：， 结合函数图象可知，当时，对于x的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，则． 综上，a的取值范围为． 22．（10分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、两点，若已知． (1)分别求一次函数与反比例函数的关系式； (2)观察图像，直接写出不等式的解集 ； (3)点为y轴上一点，若的面积为10，求a的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查求一次函数与反比例函数的解析式、函数图像解不等式、三角形面积等知识点，正确求得函数解析式、掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将代入求出m的值，再将代入求出n，然后运用待定系数法求出一次函数即可； （2）根据函数图像直接写成不等式的解集即可； （3）先求出出一次函数与x轴的交点坐标，进而得到，再根据列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：把代入得； ∴反比例函数解析式为， 把代得， ∴， 把，分别代入， 得：，解得：， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，， ∴由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时， ∴的解为：或． （3）解：设一次函数与y轴交点为C， 在中，令，则，即， ∴一次函数的图象与y轴的交点C的坐标为，则， ∵， ∴，即，解得：或． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形ABCD． (1)求m，n的值； (2)写出不等式的解集为____________； (3)①求一次函数的解析式； ②请判断点是否在反比例函数的图象上？并说明理由； (4)记一次函数的图象为，若与反比例函数的图象没有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，． (2)或 (3)①，② (4) 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式，再代入反比例解析式求解即可； （2）根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集； （3）①用待定系数法求一次函数解析式；② 过点D作轴于点G，过点B作轴于点F，则．在中，当时，．进而求得，证明．得，，从而得．进而带入解析式即可判断． （4）联立一次函数与反比例函数解析式，转化为一元二次方程无实数根的问题，利用判别式求解的范围． 【详解】（1）解：把点，代入，得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得． （2）由（1）得：，则， 由图象可知：或， （3）①把分别代入， 得，解得： ∴一次函数的表达式为， ②点在反比例函数的图象上 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点， 则． 在中，当时， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴ ∴． ∵， ∴点在反比例函数图象上， （4）若一次函数与反比例函数的图象没有公共点， 则无实数根，整理得：， ， 当时，，， ∵的函数图象开口向上， ∴的解集是． ∴一次函数与反比例函数的图象没有公共点， 的取值范围为． 24．（10分）如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；；；； (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据矩形的性质及可得点的坐标，从而得出反比例函数的解析式，再把代入可得点的坐标，然后利用矩形的面积公式和三角形的面积公式可得的面积； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，求出直线的解析式，再令可求出点的坐标； （3）分类讨论：①当，为对角线时，②当，为对角线时，③当，为对角线时，利用中点坐标公式建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵在矩形中，，， ∴轴，轴，，， ∵点是边上的点且， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过点，交边于点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，，反比例函数的解析式为，的面积， 故答案为：；；；；；； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 由（1）知：， ∴，， ∴，当点、、共线时取“”， 此时取得最小值，即的周长取得最小值，最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴； （3）设，， ∵，， ①当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ②当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ③当，为对角线时，得： ，解得：， ∴（不符合题意，舍去）； 综上所述，存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $