2.2 充分条件、必要条件、充要条件-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本高中数学讲义聚焦充分条件、必要条件、充要条件核心知识点，从命题真假切入推出关系，通过表格对比定义条件关系，结合判定定理、性质定理深化理解，构建逻辑严密的知识链条，辅以微点拨和分层例题搭建学习支架。 资料以表格直观呈现命题与条件关系，微点拨多角度解析逻辑联系，培养学生抽象能力与推理意识。互动探究结合生活实例（如务工补贴条件判断），分层练习兼顾基础与提升，助力课中高效教学与课后查漏补缺，发展应用意识。

2.2　充分条件、必要条件、充要条件 [课程标准]　1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．　2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．　3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 第一课时　 充分条件、必要条件 ► 对应学生用书P21 一、充分条件、必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p q 条件 关系 p是q的充分条件； q是p的必要条件 p不是q的充分条件； q不是p的必要条件 微点拨：对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释： ①“若p，则q”形式的命题为真命题； ②由条件p可以得到结论q； ③p是q的充分条件或q的充分条件是p； ④只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的； ⑤q是p的必要条件或p的必要条件是q； ⑥为得到结论q，具备条件p就可以推出． 显然，“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同． 注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题． 二、判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系 (1)性质定理是指某类对象具有的具体特征，所以性质定理具有“必要性”； (2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征，所以判定定理具有“充分性”； (3)数学中的定义既可以用于判定，也可以作为性质．即数学中的定义具有“充要性”． 微思考：(1)“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”可以看成一个判定定理，这里“一组对边平行且相等”是“四边形为平行四边形”的什么条件？ (2)“菱形的对角线互相垂直”可以看成一个性质定理，这里“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的什么条件？ 提示：(1)充分条件；(2)必要条件． 【基点小试】 1．命题“已知n∈Z，若a＝4n，则a是偶数”中，“a是偶数”是“a＝4n”的________条件；“a＝4n”是“a是偶数”的________条件．(用“充分”“必要”填空) 解析：当a是偶数时，取a＝2，不能得到a＝4n；当a＝4n时，a是偶数． 故“a是偶数”是“a＝4n”的必要条件，“a＝4n”是“a是偶数”的充分条件． 答案：必要　充分 2．若a，b∈R，则“a＝b”是“a2＝b2”的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”填空) 解析：由a2＝b2可得a＝b或a＝－b， ∴“a＝b”是“a2＝b2”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 题型一　充分、必要条件的判断方法 例1.用“充分不必要”“必要不充分”填写下列各题． (1)“x，y∈Q”是“xy∈Q”的___________________条件． 解析：若x，y∈Q，则xy∈Q； 若xy∈Q，当x＝y＝时，x，y∉Q. 所以“x，y∈Q”是“xy∈Q”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 (2)“－3<x<4”是“－2<x≤3”的__________________条件． 解析：设集合A＝，集合B＝.可知B⫋A， 所以B是A成立的充分不必要条件，即“－3<x<4”是“－2<x≤3”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 (3)对于实数x，y，命题p：x＋y≠3，命题q：x≠2或y≠1，则p是q的_________条件． 解析：对于实数x，y，“若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是“若x＝2且y＝1，则x＋y＝3”，显然为真命题．反过来，若当x＝0，y＝3时，满足x≠2或y≠1，但是x＋y＝3.所以“x＝2且y＝1”是“x＋y＝3”的充分不必要条件，由等价命题知，p是q的充分不必要条件． 答案：充分不必要 [总结] 　充分、必要条件的判断方法 (1)定义法 若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件； 若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； 若B⫋A，则p是q的必要不充分条件． (3)等价法 等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断． 【练一练】 1．某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1 000元专项补贴．小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1 000元疫情专项补贴”的__________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”填空) 解析：只有非本市户籍并在本市缴纳社保的外来务工人员就地过年，才可领取1 000元专项补贴，小张是该市的一名务工人员，但他可能是本市户籍或非本市户籍但在本市未缴纳社保，所以“他在该市过年”是“他可领取1 000元疫情专项补贴”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 2．若M≠∅，则“M∩N＝∅”是“N＝∅”的____________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”填空) 解析：“M∩N＝∅”成立，“N＝∅”不一定成立，如：M＝(1，2)，N＝(3，4)，所以“M∩N＝∅”是“N＝∅”的不充分条件； “N＝∅”成立时，“M∩N＝∅”一定成立，所以“M∩N＝∅”是“N＝∅”的必要条件． 所以“M∩N＝∅”是“N＝∅”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 3．设集合M＝，P＝，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的____________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”填空) 解析：因为集合M＝，P＝，所以若x∈M或x∈P，则x∈R，若x∈M∩P，则x∈，即是R的真子集，所以“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 题型二　充分条件与必要条件的应用 例2.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}⫋{x|－2≤x≤10}， 故有或解得m≤3. 又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 【母题探究】　(1)(变条件)若将例题中的条件“m>0”去掉，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：当m<0时，{x|1－m≤x≤1＋m}为空集，满足题意； 当m＝0时，条件q对应集合{1}，满足题意； 当m>0时，同例2的解法． 综上，实数m的取值范围为{m|m≤3}． (2)(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A⫋B. 所以或解得m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}． [总结] 　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 【练一练】 4．若p：x2＋x－6＝0是q：ax－1＝0(a≠0)的必要而不充分条件，则实数a的值为(　　) A．－ B．－或 C．－ D．或－ 解析：选D.p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3，q：∵a≠0，∴x＝， 由题意知p：x2＋x－6＝0是q：ax－1＝0(a≠0)的必要而不充分条件， 则＝2或＝－3，解得a＝或a＝－. [课后分层练(七)]　充分条件、必要条件 （多选题每题6分，填空题每题5分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．(多选)下列选项中，满足p是q的充分不必要条件的是(　　) A．p：x>1，q：x>0 B．p：≠2，q：x2≠4 C．p：x＝0，q：xy＝0 D．p：x>y，q：x2>y2 解析：选AC.对于A，∵p：x>1，q：x>0， ∴由p能推出q，由q推不出p，即p是q的充分不必要条件，故A正确； 对于B，∵p：≠2即x≠±2，q：x2≠4即x≠±2，∴p是q的充要条件，故B错误； 对于C，∵p：x＝0，q：xy＝0即x＝0或y＝0，∴由p能推出q，由q推不出p，即p是q的充分不必要条件，故C正确； 对于D，∵p：x>y，q：x2>y2，取x＝－1>y＝－2，则x2＝1<y2＝4，由p推不出q；取x＝－1<y＝0，x2＝1>y2＝0，由q推不出p；故p是q的既不充分也不必要条件，故D错误． 2．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分，p是q的____________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”填空) 解析：由正方形的性质知其对角线互相垂直．反之不一定成立，也可能是一般的菱形．所以p是q的充分不必要条件． 答案：充分不必要 3．已知p：x≠1，q：x2－3x＋2≠0，则p是q的____________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”填空) 解析：判断p是q的什么条件，等价于判断“x2－3x＋2＝0”是“x＝1”的什么条件． 显然当x＝1时，x2－3x＋2＝0成立；反之不一定，因为还可能x＝2. 所以p是q的必要不充分条件． 答案：必要不充分 4．若A、B均为集合，则“A⫋B”是“A∩B＝A”的____________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”填空) 解析：当A ⫋B时，有A∩B＝A成立； 当A∩B＝A时，有A⊆B成立，即不能得到A ⫋B，故“A⫋B”是“A∩B＝A”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 5．“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的____________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”填空) 解析：若xy＝0，如x＝0，y＝1，则x2＋y2≠0，故充分性不成立； 若x2＋y2＝0，则x＝y＝0，则xy＝0，故必要性成立． 所以“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 6.是成立的____________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”填空) 解析：由令x＝2，y＝7，可知x<3，不能推出 但能推出所以是的必要不充分条件． 答案：必要不充分 7．“一个自然数的个位数是0”是“这个数能被5整除”的____________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”填空) 解析：若一个自然数的个位数是0，则这个数能被5整除，是真命题，所以充分性成立． 反过来，一个数能被5整除，个位数也可能是5，所以不是必要条件． 答案：充分不必要 8．设a是实数，若x＝1是x>a的一个充分条件，则a的取值范围是__________． 解析：因为x＝1是x>a的一个充分条件，则⊆，所以a<1， 则a的取值范围是. 答案： 9．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：4x＋p<0，即x<－，“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件， 故－≤－1，故p≥4.故存在p≥4满足条件． 10．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围． 解：(1)由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B， 则解得a≥2，故实数a的取值范围是[2，＋∞). (2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A， 当B＝∅时，2－a＞1＋2a，即a＜时，满足题意， 当B≠∅时，即a≥时，则解得≤a≤1. 综上a≤1，故实数a的取值范围是. 【能力提升题组】 11．(多选)已知集合A＝，B＝，则B是A的真子集的充分不必要条件可以是(　　) A. m∈ B．m∈ C．m∈ D． m∈ 解析：选AD.因为集合A＝{x|x2＋x－6＝0}＝，若集合B是集合A的真子集， 当m＝0时，即集合B＝∅，显然成立； 当m≠0时，则－＝－3或－＝2，所以m＝或m＝－ 所以若集合B是集合A的真子集，则m∈； 所以B是A的真子集的充分不必要条件可以是m∈或m∈. 12．《渔樵问对》通过渔樵对话来消解古今兴亡等厚重话题，作者是邵雍，北宋儒家五子之一，下面是节选的一段译文： 樵者问渔者：“你如何钓到鱼？” 答：“我用六种物具钓到鱼．” 问：“六物具备，就能钓到鱼吗？” 答：“六物具备而钓上鱼，是人力所为；六物具备而钓不上鱼，非人力所为．一不具，则鱼不可得．” 由此可知，“六物(注：六物是指鱼竿、鱼线、鱼漂、鱼坠、鱼钩、鱼饵)具备”是“能钓上鱼”的____________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”填空) 解析：六物具备不一定能钓上鱼，而钓上鱼肯定要六物具备．所以“六物具备”是“能钓上鱼”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 13．已知集合A＝，B＝{x|x≤1或x≥4}． (1)当a＝3时，求A∩B； (2)若a>0，且“x∈A”是“x∈∁RB”的__________条件，求实数a的取值范围． (请在“①充分不必要；②必要不充分”两个条件中选一个条件填入横线后作答) 解：(1)当a＝3时，A＝，所以A∩B＝或. (2)当a>0时，则2－a<2＋a，A≠∅，∁RB＝. 若选择条件①，则A⫋∁RB，可得解得0<a<1； 若选择条件②，则A⫌∁RB，可得解得a≥2. 14．已知a，b∈R，证明：“a≥2且≤4”是“关于x的方程x2＋2ax＋b＝0有实数根，且两根均小于2”的充分条件． 证明：由a≥2且≤4，得a≥2，－4≤b≤4， 则方程x2＋2ax＋b＝0的判别式Δ＝4a2－4b≥0，所以该方程有两根， 不妨设方程两根分别为x1、x2，因为＝4＋4a＋b>0，＋＝－2a－4<0，所以x1<2且x2<2. 第二课时　充要条件　　　　　　 ► 对应学生用书P24 (1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 为了方便起见，如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． “⇒”和“⇔”都具有传递性，即 ①如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s； ②如果p⇔q，q⇔s，则p⇔s． (2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． (4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 微思考：怎样判断命题p是不是q的充要条件？ 提示：需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 【基点小试】 1．△ABC的三个内角为A，B，C，则“B＝60°”是“A＋C＝120°”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.△ABC的三个内角为A，B，C，则∠A＋∠B＋∠C＝π＝180°. 若B＝60°，则一定有A＋C＝120°；反之，当A＋C＝120°，一定有B＝60°. 故“B＝60°”是“A＋C＝120°”的充要条件． 2．设p：两个三角形相似，q：两个三角形的三边成比例，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例， 即p⇔q，故p是q的充要条件． 题型一　充要条件的判断 例1.(多选)下列选项中，p是q的充要条件的是(　　) A．p：xy>0，q：x>0，y>0 B．p：A∪B＝A，q：B⊆A C．p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两角相等 D．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分 解析：选BC.对于A，由xy>0，得x>0，y>0或x<0，y<0，故p不是q的充要条件，故A错误； 对于B，由A∪B＝A，则B⊆A，若B⊆A，则A∪B＝A，故p是q的充要条件，故B正确； 对于C，三角形是等腰三角形⇔三角形存在两角相等，故p是q的充要条件，故C正确； 对于D，四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p不是q的充要条件，故D错误． [总结] 　充要条件判断的两种方法 (1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向． 【练一练】 1．(多选)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∩B＝A B．∩B＝∅ C．⊆ D．A∪＝U 解析：选BCD.由Venn图可知，B，C，D都是B⊆A的充要条件． 2．下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是______． ①同位角相等；②内错角相等； ③同旁内角互补；④同旁内角相等． 解析：由①②③均可推出“两条直线平行”的结论，由“两条直线平行”也可以推出①②③均成立；由④不能推出“两条直线平行”的结论． 所以可作为“两条直线平行”的充要条件的是①②③. 答案：①②③ 题型二　充要条件的证明 例2.证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 证明：(1)充分性：∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0，<0. ∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根． 设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝<0， ∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根． (2)必要性：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0. 故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. [总结] 　充要条件的证明思路 (1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反． (2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明． 注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向． 【练一练】 3．已知ab≠0，求证：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件是a＋b＝1. 证明：(1)充分性(条件⇒结论) 因为a＋b＝1，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)， a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2 ＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0，所以成立； (2)必要性(结论⇒条件) 因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，且a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)， 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2 ＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0， 而a2－ab＋b2≥2ab－ab＝ab，又ab≠0，所以a＋b－1＝0， 所以a＋b＝1，所以成立， 综上：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件是a＋b＝1. 题型三　充要条件的探求与应用 例3.(1)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　　) A．m＝－2 B．m＝1 C．m＝－1 D．m＝0 解析：选A.当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之，若函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2. 所以f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. (2)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 若p是q的充要条件，则方程组无解． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． [总结] 　探求命题成立的充要条件的方法 (1)等价转化法：将原命题进行等价变形或转化，直至获得使原命题成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以此时不需要再分开证明充分性和必要性． (2)非等价转化法：先探求出该命题成立的必要条件，然后务必证明该条件也是该命题成立的充分条件，方可得出该命题成立的必要条件． 【练一练】 4．若集合A＝，B＝，其中b为实数． (1)若A是B的充要条件，则b＝________； (2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是：__________．(答案不唯一，写出一个即可) 解析：(1)由已知可得A＝B，则x＝2是方程bx＝1的解，且有b>0，解得b＝； (2)若不等式bx>1对任意的x>2恒成立，则b>对任意的x>2恒成立， 当x>2时，∈，则b≥， 因为A是B的充分不必要条件，故b的取值范围可以是(答案不唯一). 答案：　(答案不唯一) 5．已知M＝，N＝{(x，y)|(x－a)2＋y2＝9}，求M∩N≠∅的充要条件． 解：M∩N≠∅的充要条件是方程组至少有一组实数解， 即方程x2＋2x＋a2－9＝0至少有一个非负根，方程有根则Δ＝4－4≥0，解得a≤5. 上述方程有两个负根的充要条件是x1＋x2<0且x1x2>0，即∴a<－3. 于是这个方程至少有一个非负根的a的取值范围是－3≤a≤5. 故M∩N≠∅的充要条件为－3≤a≤5. [课后分层练(八)]　充要条件 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选C.因为圆的内接四边形对角互补，若“A，B，C，D四点共圆”，可得“∠A＋∠C＝180°”； 因为对角互补的四边形内接于圆，所以若“∠A＋∠C＝180°”可得“A，B，C，D四点共圆”． 所以“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的充要条件． 2．已知c＝1，则“a，b的平均数大于1”是“a，b，c的平均数大于1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.若a，b，c的平均数大于1，则＝>1，∴a＋b>2，∴>1，即a，b，c的平均数大于1，反之亦成立． 3.如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的两点，若α：＝，β：DE∥BC，则α是β的(　　) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 解析：选C.因为＝，所以△ADE～△ABC， 所以∠ADE＝∠ABC，所以DE∥BC，所以α是β的充分条件； 由DE∥BC，可得∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，所以△ADE～△ABC， 所以＝，所以α是β的必要条件． 所以α是β的充要条件． 4．若集合A＝，B＝{x|－2<x<a}，则“A∩B≠∅”的一个充要条件是(　　) A．a>－2 B．a≥－2 C．a>－1 D．a>1 解析：选C.x2－x－2<0，解得－1<x<2， ∴A＝，又B＝ ，故A∩B≠∅的等价条件为a>－1， 则“A∩B≠∅”的一个充要条件是a>－1. 5．(多选)下列各命题中，是充要条件的有(　　) A．p：a≠0，q：y＝ax2＋bx＋c为二次函数 B．p：x>0，q：x2>0 C．p：四边形是菱形，q：菱形对角线互相平分 D．p：x＝1或x＝2，q：x－1＝ 解析：选ACD.对选项A，若a≠0，y＝ax2＋bx＋c为二次函数，满足充分性， 若y＝ax2＋bx＋c为二次函数，则a≠0，满足必要性，故A选项为充要条件； 对选项B，若x>0时，则x2>0，满足充分性， 若x2>0时，则x≠0，不满足必要性，故B不符合充要条件； 对选项C，若四边形是菱形，则菱形对角线互相平分，满足充分性， 若菱形对角线互相平分，则四边形为菱形， 满足必要性，故C符合充要条件； 对选项D，若x＝1或x＝2，则x－1＝，满足充分性， 若x－1＝，则解得x＝1或x＝2，满足必要性， 故D选项为充要条件． 6．设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是(　　) A．a，b都为1 B．a，b不都为1 C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0 解析：选C.由ab＋1＝a＋b可得：(a－1)(b－1)＝0， ∴a＝1或b＝1，故“a，b中至少有一个为1”是“ab＋1＝a＋b”的充要条件． 7．“x2＋2x－3＝0”可作为下列结论______的充要条件． ①x＝1 ②x＝－3 ③x＝1或x＝－3 ④x＝－1或x＝－3 解析：由“x2＋2x－3＝0”可推得x＝1或x＝－3，反之也成立． 所以“x2＋2x－3＝0”是③的充要条件． 答案：③ 8．设a，b∈R，则“a2＋b2＝0”的充要条件是__________． 解析：因为a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a2＝b2＝0，即a＝b＝0； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，所以“a2＋b2＝0”的充要条件是“a＝b＝0”． 答案：a＝b＝0 9．设n∈Z，求证：“n是偶数”是“是奇数”的充要条件． 解：若n是偶数，则n＋1为奇数，仍然是奇数，故“n是偶数”是“是奇数”的充分条件； 若是奇数，则n＋1是奇数，所以n为偶数，故“是奇数”是“n是偶数”的必要条件． 所以“n是偶数”是“是奇数”的充要条件． 10．请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中的横线部分．若问题中的a存在，求出a的取值范围；若问题中的a不存在，请说明理由． 问题：已知集合A＝，B＝，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的______？ 解：选①，则A是B的真子集，则1－a≤0且1＋a≥4(两等号不同时取)， 又a>0，解得a≥3， ∴存在a，a的取值集合M＝ 选②，则B是A的真子集，则1－a≥0且1＋a≤4(两等号不同时取)， 又a>0，解得0<a≤1， ∴存在a，a的取值集合M＝， 选③，则A＝B，则1－a＝0且1＋a＝4，又a>0，方程组无解 ∴不存在满足条件的a. 【能力提升题组】 11．(多选)如图所示的电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图有(　　) 解析：选BD.对于A，当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，也可能是S上方开关闭合，因此“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件，A不正确； 对于B, 当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，只可能是S开关闭合，因此B正确； 对于C, 当开关S闭合时，灯泡L不一定亮，所以C不正确； 对于D, 当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，只可能是S开关闭合，因此D正确. 故选BD. 12．在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记[k]＝{6n＋k|n∈Z}，则“整数a，b属于同一‘类’”是“a－b∈[0]”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被6除的余数相同，从而a－b被6除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”． 13．已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则s是q的______条件，p是q的_____条件． 解析：∵p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．q⇒s⇒r⇒q，q⇔s；r⇒q⇒s⇒r，r⇔q；s⇒r⇒p. ∴q，r，s互为充要条件，则s是q的充要条件，p是q的必要条件． 答案：充要　必要 14．已知集合A＝，B＝{0，7，m2＋4m－2，2－m}，求A∩B＝的充要条件． 解：若A∩B＝，A＝{2，3，m2＋4m＋2}，B＝{0，7，m2＋4m－2，2－m}， ∴m2＋4m＋2＝7，且m2＋4m－2＝3，解得m＝1或m＝－5； 或m2＋4m＋2＝7，且2－m＝3(无解，舍去). 经检验，m＝－5时，2－m＝7，不满足集合中元素的互异性，不合题意舍去， 则m＝1，所以m＝1是A∩B＝的必要条件； 若m＝1，A＝，B＝，所以A∩B＝， 所以m＝1是A∩B＝的充分条件， 综上得A∩B＝的充要条件为m＝1. 15．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0. 两式相减，得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0， 可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°. 充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.① 将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0. 故两方程有公共根x＝－(a＋c). ∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 学科网（北京）股份有限公司 $