2.3.1 全称量词命题与存在量词命题 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该教案聚焦全称量词命题与存在量词命题，通过含变量陈述句实例和哥德巴赫猜想情境导入，衔接命题概念，引导学生探究量词对变量的限定，构建从命题到含量词命题的学习支架。 以数学抽象和逻辑推理为核心，通过问题链对比分析含变量语句与量词命题，结合例题变式及符号化表达，培养学生用数学语言描述命题的能力。提升学生抽象思维与逻辑判断，为教师提供结构化教学流程和实例支持。

第2章 常用逻辑用语 2.3 全称量词命题与存在量词命题 2.3.1 全称量词命题与存在量词命题 ▍教学目标 1. 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义． 2. 能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并能判断含有量词的命题的真假． 数学抽象：通过实例得出全称量词命题、存在量词命题的含义． 逻辑推理：通过理解和运用全称量词命题、存在量词命题，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力． ▍情境设置 【情境1】 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，这样的短语称为量词．下面，我们将学习全称量词和存在量词以及全称量词命题和存在量词命题． 【情境2】 哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一．1742年，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想： 1 任何一个大于6的偶数都可以表示成两个质数之和； 2 任何一个大于9的奇数都可以表示成两个质数之和． 观察①②的结构形式，有何共同特点？能不能用其他短语来代替“任何”两字？请大家探究交流，说出自己的想法． [学生活动] (1) 探讨出什么是量词． (2) 学生分组讨论交流①②中的“任何”这个全称量词，理解“任意”的含义． ▍概念的探究与建构 一、全称量词与全称量词命题 【问题1】 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1) ； (2) 是整数； (3) 对所有的，； (4) 对任意一个，是整数． [解析] 语句(1)(2)中含有变量，由于不知道变量代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题． 形成知识 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号并用符号“”表示“对任意”．含有等全称量词的命题称为全称量词命题． 例如，命题“对任意的，是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题．常见的全称量词还有“一切”“任给”等． 通常，将含有变量的语句用，，…表示，变量的取值范围用表示．那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”，可用符号简记为“，”． 二、存在量词与存在量词命题 【问题2】 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1) ； (2) 能被2和3整除； (3) 存在一个，使得； (4) 至少有一个，使得能被2和3整除． [解析] 语句(1)(2)不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题． 形成知识 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“”表示“存在”．含有等存在量词的命题称为存在量词命题． 例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题．常见的存在量词还有“有些”“对某些”“至少有一个”等． 存在量词命题“存在中的元素，成立”，可用符号简记为“，”． 【思考1】 下列命题中含有哪些量词？ (1) 对所有的实数，都有； (2) 存在实数，使得； (3) 至少有一个实数，使得成立； (4) 存在有理数，使得成立； (5) 对于任何自然数，都有一个自然数使得； (6) 有一个自然数使得对于所有自然数，有． [答案] 含有“所有的”“存在”“至少”“任何”等，表示全体和部分的量词． 【思考2】 下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题？ (1) 方程只有一解； (2) 凡是质数都是奇数； (3) 方程有实数根； (4) 没有一个无理数不是实数； (5) 如果两直线不相交，则这两条直线平行； (6) 集合是集合的子集． [答案] (1)存在量词命题；(2)全称量词命题；(3)存在量词命题；(4)全称量词命题；(5)全称量词命题；(6)全称量词命题． ▍知识的运用与升华 【例题1】 下列命题中，全称量词命题的个数是________，存在量词命题的个数是________． (1) 正方形的四条边相等； (2) 有两个角相等的三角形是等腰三角形； (3) 正数的平方根不等于； (4) 至少有一个正整数是偶数． [答案] 3；1 [提示] (1) 分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题． (2) 当命题中不含量词时，要注意根据命题的含义进行判断． (3) 全称量词命题有时会省略全称量词，但存在量词命题的量词一般不能省略． [解析] (1)(2)(3)是全称量词命题，(4)是存在量词命题． 方法归纳 判断一个语句是全称量词命题，还是存在量词命题的思路： [说明]全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 【变式1】 判断下列语句是不是全称量词命题或者存在量词命题，如果是，用量词符号表达出来． (1) 中国的所有河流都注入太平洋； (2) 不能作除数； (3) 任何一个实数除以，仍等于这个实数． [提示] 引导学生说出每一个命题中的量词，再结合全称量词命题和存在量词命题的定义得到答案． [解析] (1) 全称量词命题，河流{中国的河流}，河流注入太平洋； (2) 存在量词命题，，不能作除数； (3) 全称量词命题，，． 方法归纳 (1) 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题，应先判断它是否为命题． (2) 判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词．要注意的是，有些全称量词命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题的意义去判断． 【例题2】 (1) 判断下列全称量词命题的真假： 1 所有的素数都是奇数； 2 ，； 3 对任意一个无理数也是无理数． (2) 判断下列存在量词命题的真假： 1 有一个实数，使得； 2 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； 3 有些平行四边形是菱形． [答案] (1) ①假命题，②真命题，③假命题； (2) ①假命题，②假命题，③真命题． 方法归纳 全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧： (1) 全称量词命题： 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每个元素验证成立；要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合中的一个，使得不成立即可． (2) 存在量词命题： 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合中，找到一个，使成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题． 【变式2】 判断下列命题的真假： (1) ，； (2) ，； (3) 的解为为无理数； (4) ，． [提示] 理解“任意”和“存在”量词：任意要求每一个、所有的，存在至少一个满足就可以． [答案] (1)真命题；(2)假命题；(3)真命题；(4)真命题 【例题3】 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（　　）． A． B． C． D． [提示] 先求出，是真命题的范围，再把它转化成集合之间的关系，要注意把倒装句转化成习惯的说法． [解析] 首先要把命题倒装句重新转化成习惯的说法：（*）是“，”的一个充分不必要条件． ，恒成立，可知，所以，（*）应是的真子集． [答案] C 【变式3】 已知命题“，”，命题“，”．若命题，均为真命题，则实数的取值范围为（　　）． A． B． C． D． [提示] 首先求出令是真和是真的的范围，然后再判断真假． [解析] 真，，恒成立，； 真，，则或． 若命题，均为真命题，则． [答案] A 方法归纳 恒成立问题建议分参，若命题，均为真命题，取交集，建议画数轴分析． ▍课堂反馈 1． 下列命题中，是真命题的是（　　）． A．任何实数都有平方根 B．至少有一个整数，使得为奇数 C．，是无理数 D．，使得是无理数 [解析] A．负数没有平分根； B．必为偶数，相邻的整数相乘必为偶数； C．，所以是错误的； D．是无理数． [答案] D 2． (多选)下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是（　　）． A．菱形的两条对角线互相垂直 B．一次函数的图象是一条直线 C．存在两个无理数，它们的和是无理数 D．所有实数都能使 [解析] AB是真命题且是全称量词命题；C是存在量词命题；D是假命题，当时，就不满足． [答案] AB 3． 对于下列命题：①存在，；②对于一切实数，都有．其中，真命题的个数是________． [解析] ①真命题，；②真命题，对于一切实数时，成立． [答案] 2 4． 用量词符号“”“”表述下列命题，并判断真假． (1) 所有实数都能使成立； (2) 对所有实数，，方程恰有一个解； (3) 一定有整数，，使得成立； (4) 所有的有理数都能使是有理数． [解析] (1) ，，真命题； (2) ，恰有一个解，假命题； (3) ，，真命题； (4) ，是有理数，真命题． ▍课堂总结 【问题3】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [教师引导] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． 知识框图 1. 知识与技能层面： (1) 理解全称量词与存在量词的意义； (2) 理解全称量词命题和存在量词命题的意义； (3) 能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性； 2. 思想与方法层面：解决问题的方法运用了类比思想、整体思想与数形结合思想． 学科网（北京）股份有限公司 $