专题2.1 命题、定理、定义（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 以“概念辨析-结构拆解-真假判定-参数应用”为主线，构建命题逻辑学习体系，突出数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |命题的概念|1典例+3变式|陈述句+可判断真假双要素|从定义本质区分命题与非命题| |命题的改写|1典例+3变式|大前提不变，规范拆分p、q|命题结构形式化表达训练| |命题真假判断|1典例+3变式|真命题需推理证明，假命题用反例|联结公理、定理进行逻辑验证| |参数范围问题|2典例+3变式|转化为恒成立/存在性问题求解|命题真假与代数运算的综合应用|

专题2.1 命题、定理、定义 教学目标 （1）准确理解命题的概念，能够区分语句是否为命题，清晰辨别真命题与假命题，掌握命题的基本特征， （2）掌握命题的结构，能熟练将普通命题改写为“若p，则q”的标准形式，精准拆分命题的条件p和结论q，厘清命题的逻辑构成。 （3）理解定义、定理的数学概念，明确三者的内涵与本质区别， （4）初步掌握判断命题真假的基本方法，能够通过举例验证、逻辑推理判定简单命题的真假，会用反例推翻假命题。 教学重难点 1.重点 （1）理解命题概念，能准确区分命题、非命题，辨别真假命题。 （2）掌握命题结构，可将命题改写为“若p，则q”的标准形式。 （3）明晰命题、定理、定义的内涵，掌握其基本用途。 2.难点 （1）辨析特殊语句，精准判断含变量语句是否为命题。 （2）准确拆分复杂命题的条件与结论，规范完成命题改写。 （3）区分命题、定理与定义的异同，会用反例判断假命题。 知识点1 命题 1.命题的定义：在数学中，我们把用 叫作命题． 注意：命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 2.命题的分类 命题中， 叫作真命题， 叫作假命题。 （1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等; （2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可; （3）判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。 3、判断一个命题真假的方法: 在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可;而要说明一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。 4.命题的结构形式： 1、命题的一般形式:若，则”，其中叫做命题的 , 叫做命题的 。 2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若，则”的形式. 【即学即练】 1．（多选）下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 2．下列语句是命题的有__． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 3．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集．②任何集合都有真子集吗？③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人．⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是________，真命题的序号为________． 知识点2 公理、定理、定义 1、公理、公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理的依据而直接使用。 2、定理:已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据而直接使用。 3、定义:定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 题型01 命题的概念 【典例1】有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣；（2）0是自然数；（3）；（4）；（5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一,是不是陈述句,第二,是否可以判断真假,这两个条件缺一不可。一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 【变式1】下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【变式2】下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】下列语句:①是无限循环小数；②；③当时，；④请把门关上．其中不是命题的是________． 题型02 命题的改写 【典例1】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 将含有大前提的命题改写为“若,则”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件中。改写前后命题的真假不发生变化。 【变式1】命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【变式2】把下列命题改写成“若，则”的形式． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【变式3】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）当ab＝0时，a＝0或b＝0； （2）等腰三角形的两个底角相等； （3）末位数字是0或5的整数，能被5整除； （4）方程x2＋x＋1＝0有两个实数根． 题型03命题真假的判断 【典例1】下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 1.由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论,则该命题为真命题; 2.由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论,则该命题为假命题。 【变式1】下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【变式2】若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为________ 【变式3】判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 题型04 根据命题的真假求参数 【典例1】（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【典例2】已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 由命题的真假确定参数的取值范围问题的步骤：第一步,明确题设条件的含义；第二步,将问题转化为不等式恒成立问题；第三步,利用恒成立问题的求解方法求出参数的取值范围。 【变式1】已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是________________． 【变式2】已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 【变式3】已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 1．下列语句为命题的是（    ） A．0不是偶数 B．求证对顶角相等 C． D．今天心情真好啊 2．下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 3.下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 5.（多选）假设“语文好，上本科”是真命题，那么下列命题正确的是（    ） A．语文好，不一定上本科 B．上本科，语文不一定好 C．不上本科，语文一定不好 D．语文不好，一定不上本科 6.命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为______ 7．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 1．对于命题p，q，以下逻辑正确的有（    ） A．如果p真，则q真 B．如果p真，则q真，那么q假，则p假 C．如果p真且q真，则p真 D．如果p真，则p或q真 2．甲､乙､丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（    ） A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答 C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答 3.已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 4.（多选）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，下列命题正确的为（    ） A．存在至少一组正整数组是关于x，y，z的方程的解； B．关于x，y的方程有正有理数解； C．关于x，y的方程没有正有理数解； D．当整数时，关于x，y，z的方程有正实数解. 5.能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 6.已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 7．命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 8.已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 命题、定理、定义 教学目标 （1）准确理解命题的概念，能够区分语句是否为命题，清晰辨别真命题与假命题，掌握命题的基本特征， （2）掌握命题的结构，能熟练将普通命题改写为“若p，则q”的标准形式，精准拆分命题的条件p和结论q，厘清命题的逻辑构成。 （3）理解定义、定理的数学概念，明确三者的内涵与本质区别， （4）初步掌握判断命题真假的基本方法，能够通过举例验证、逻辑推理判定简单命题的真假，会用反例推翻假命题。 教学重难点 1.重点 （1）理解命题概念，能准确区分命题、非命题，辨别真假命题。 （2）掌握命题结构，可将命题改写为“若p，则q”的标准形式。 （3）明晰命题、定理、定义的内涵，掌握其基本用途。 2.难点 （1）辨析特殊语句，精准判断含变量语句是否为命题。 （2）准确拆分复杂命题的条件与结论，规范完成命题改写。 （3）区分命题、定理与定义的异同，会用反例判断假命题。 知识点1 命题 1.命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 注：命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 2.命题的分类 命题中，判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题。 （1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等; （2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可; （3）判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。 3、判断一个命题真假的方法: 在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可;而要说明一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。 4.命题的结构形式： 1、命题的一般形式:若，则”，其中叫做命题的条件, 叫做命题的结论。 2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若，则”的形式. 【即学即练】 1．（多选）下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【答案】CD 【详解】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题． 2．下列语句是命题的有__． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 【答案】①③④ 【分析】根据命题的定义进行判断. 【详解】②是疑问句，不是命题；⑤中未知数的值未知，无法判断真假，故不是命题； ⑥是祈使句，不是命题，其他均为可以判断真假的陈述句，为命题. 故答案为：①③④ 3．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集．②任何集合都有真子集吗？③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人．⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是________，真命题的序号为________． 【答案】 ③ ①④ 【分析】首先根据命题是可以判断真假的陈述句，来判断出是否为命题，如果判断为真，即为真命题，如果判断为假，即为假命题． 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 知识点2 公理、定理、定义 1、公理、公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理的依据而直接使用。 2、定理:已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据而直接使用。 3、定义:定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 题型01 命题的概念 【典例1】有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣；（2）0是自然数；（3）；（4）；（5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据命题的概念逐项判断即可. 【详解】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 故选：B. 判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一,是不是陈述句,第二,是否可以判断真假,这两个条件缺一不可。一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 【变式1】下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【分析】根据命题的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 【变式2】下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据命题的概念逐一判断. 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 【变式3】下列语句:①是无限循环小数；②；③当时，；④请把门关上．其中不是命题的是________． 【答案】②④ 【分析】根据命题的定义判断. 【详解】①是陈述句，且能判断真假，故①是命题； ②语句中含有变量，没有给赋值前，无法判断语句的真假，故不是命题； ③是陈述句，且能判断真假，故③是命题； ④是祈使句，故④不是命题. 故答案为：②④ 题型02 命题的改写 【典例1】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【详解】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 将含有大前提的命题改写为“若,则”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件中。改写前后命题的真假不发生变化。 【变式1】命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写成“若p，则q”的形式即可 【详解】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A 【变式2】把下列命题改写成“若，则”的形式． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）按给定条件改写命题，再判断真假. 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除． （2）若，则． （3）已知、为正整数，若，则且． 【变式3】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）当ab＝0时，a＝0或b＝0； （2）等腰三角形的两个底角相等； （3）末位数字是0或5的整数，能被5整除； （4）方程x2＋x＋1＝0有两个实数根． 【答案】（1）若ab＝0，则a＝0或b＝0；（2）若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等；（3）若一个整数的末位数字是0或5，则能被5整除；（4）若一个方程为x2＋x＋1＝0，则它有两个实数根． 【分析】根据“若p，则q”的形式求解. 【详解】（1）若ab＝0，则a＝0或b＝0； （2）若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等； （3）若一个整数的末位数字是0或5，则能被5整除； （4）若一个方程为x2＋x＋1＝0，则它有两个实数根． 题型03命题真假的判断 【典例1】下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 【答案】D 【分析】对各选项逐一判断真假即可. 【详解】对于A，有元素，所以不是空集，故A不是真命题，A错误； 对于B，，即，即，为有限集，故B错误； 对于C，是无理数，故C错误； 对于D，方程的根0和5是自然数，故D正确. 故选：D 1.由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论,则该命题为真命题; 2.由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论,则该命题为假命题。 【变式1】下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【分析】一一判断各命题的真假即可. 【详解】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D 【变式2】若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为________ 【答案】3 【分析】根据新定义逐一判断即可求解 【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确， （2）若数域有非零元素，则， 从而，故（2）正确； （3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误， （4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3. 故答案为：3 【变式3】判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 【分析】（1）利用一元二次方程有解的条件求解即可. （2）举反例判断即可. 【详解】（1）真命题．理由：若，则， 故方程有实数根，命题是真命题． （2）假命题．理由：因为当时，显然方程有实数根， 此时不满足，所以命题是假命题． 题型04 根据命题的真假求参数 【典例1】（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 【典例2】已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案. 【详解】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即， ∴若q为真命题，实数a的取值范围为：. （2）∵为真命题，为假命题， ∴，解得. ∴. 由命题的真假确定参数的取值范围问题的步骤：第一步,明确题设条件的含义；第二步,将问题转化为不等式恒成立问题；第三步,利用恒成立问题的求解方法求出参数的取值范围。 【变式1】已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是________________． 【答案】 【分析】设分别表示的集合为，求出集合，则由题意可得，从而可求出实数的取值范围. 【详解】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先分别求出当、为真命题时的取值范围，然后分真假、假真两种情况讨论，求出的取值范围，综合可得出结果. 【详解】若命题为真命题，设方程的两根分别为、， 则，解得， 若命题为真命题，则，解得， 因为和有且只有一个为真命题， 若真假，，此时不存在， 若假真，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 1．下列语句为命题的是（    ） A．0不是偶数 B．求证对顶角相等 C． D．今天心情真好啊 【答案】A 【解析】根据命题的概念，即可判定. 【详解】根据命题的定义：能判定真假的语句，可得： 对于A中，不是偶数，能判定是错误的，所以是命题； 对于B、C、D给出的语句，不能判定其真假，所以不是命题. 故选：A. 2．下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 3.下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等式的性质分别判断各个小题即可. 【详解】对于①：可得,①正确； 对于②：可得,②正确； 对于③：则或,③错误； 对于④：可得,④正确. 故选：C. 4．（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求出命题“方程没有实数根”为真时，的取值范围，再结合选项，即可求解. 【详解】当方程没有实数根时，有，得到， 故选：BC. 5.（多选）假设“语文好，上本科”是真命题，那么下列命题正确的是（    ） A．语文好，不一定上本科 B．上本科，语文不一定好 C．不上本科，语文一定不好 D．语文不好，一定不上本科 【答案】BC 【分析】根据已知若p ,则q 为真命题，再结合集合间的基本关系判断各个选项即可. 【详解】设p:语文好，q:上本科， 由题意，若p ,则q 为真命题， 如果将语文好的学生定义为集合P ,上本科的学生定义为集合Q，则是的子集，A选项错误； 或许存在，但不在集合内，即上本科语文不一定好， B 正确；语文不好，上本科,D错误； 因为是的子集，则的补集是补集的子集，因此可以说不上本科的语文一定不好，C 正确； 故选：BC . 6.命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 7．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 【答案】(1)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等；假命题 (2)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；真命题 (3)若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数；假命题 【分析】（1）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据绝对值的知识判断命题的真假. （2）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据矩形的知识判断命题的真假. （3）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据无理数的知识判断命题的真假. 【详解】（1）命题：绝对值相等的数也相等， 改写为：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等. 命题是假命题，比如和，两个数的绝对值都是，但是这两个数不相等. （2）命题：矩形的对角线相等， 改写为：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等. 命题是真命题，因为矩形的对角线是相等的. （3）命题：两个无理数的和是无理数， 改写为：若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数. 命题是假命题，如和都是无理数，但这两个数的和为是有理数. 1．对于命题p，q，以下逻辑正确的有（    ） A．如果p真，则q真 B．如果p真，则q真，那么q假，则p假 C．如果p真且q真，则p真 D．如果p真，则p或q真 【答案】D 【分析】举反例可以排除A、B选项，逻辑推理可以排除C. 【详解】对A选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：，命题p为真命题，但命题q为假命题，故A错误； 对B选项，令命题p：正方形是平行四边形，命题q：，满足p真，则q真，所以q假为假命题，则p假也是假命题， 令命题m：“q为假命题”是一个假命题，命题n：“p为假命题”是一个假命题， 那么“若q假，则p假”等价于“若m真，则n真”，参考A选项，可知B错误； 对C选项，若“p真且q真”为假命题，则p可能为假；故C错误； 对D选项，若p真,则p与q的真假分以下两种情况：p真或q真，p真或q假，这两种情况p或q均为真，故D正确， 故选：D. 2．甲､乙､丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（    ） A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答 C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答 【答案】A 【分析】用反证法说明A正确，用反例说明BCD错误． 【详解】假设没有2题有多于一人正确解答，取极端情况，假设3人均答对3题，有一题3人均答对，且三人回答的其它两个问题均不同，则至少还需要六道不同的题，与题设不符，故A正确； 5道题编号为，甲正确解答，乙正确解答，丙正确解答，则每题都只有2人正确解答．B错； 如果3人都正确解答了所有题，则C错； 如果三人都是正确解答，这时有两题没有人正确解答．D错； 故选：A． 3.已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】由题可知“方程至少有两个解”为真命题，求解即可. 【详解】由题可知“方程至少有两个解”为真命题， ， ， ， 综上且． 故选：B. 4.（多选）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，下列命题正确的为（    ） A．存在至少一组正整数组是关于x，y，z的方程的解； B．关于x，y的方程有正有理数解； C．关于x，y的方程没有正有理数解； D．当整数时，关于x，y，z的方程有正实数解. 【答案】CD 【分析】对于A：根据题意分析判断即可；对于BC：注意到BC选项是对立的，结合题意分析判断即可；对于D：举例说明即可. 【详解】对于A：当整数时，关于x，y，z的方程没有正整数解， 故方程没有正整数解，A错误； 对于BC：没有正整数解，即，， 没有正有理数解，B错误，C正确； 对于D：方程，当满足条件，故有正实数解，D正确. 故选：CD. 5.能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 【答案】2，2，3（也可取3，4，5，答案不唯一） 【分析】选取满足且的正实数即可. 【详解】若，，，满足a，b，c均为正实数，且，此时，不满足，故原命题为假命题； 若，，，满足a，b，c均为正实数，且，此时，不满足，故原命题为假命题. 6.已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据一元二次方程无实根的条件即可求解； （2）首先根据一元二次不等式恒成立的条件计算出分当为真命题时，的范围，然后为真假和假真两种情况，最后根据集合的运算即可求解. 【详解】（1）由题意可知. （2）当为真命题时，即对于任意恒成立. 当，不等式即为，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，当为真命题时， ，则当为假命题时或； 由第（1）可知，当为真命题时， ，则当为假命题时； 若、有且只有一个真命题，则真假或假真. 当真假时，的范围是或； 当假真时，的范围是. 所以若、有且只有一个真命题，的范围是. 7．命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 8.已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）由题设两根为，则，据此结合韦达定理可得答案； （2）即方程无解，分两种情况结合题意可得答案； （3）由（1）（2）答案结合题意可得真假或假真，据此可得答案. 【详解】（1）由题设两根为，则判别式或. 关于的方程在有两个不相等的实数根， 则，由韦达定理：. 则，结合或，可得实数的取值范围为：； （2）即方程无解. 当时，方程显然无解，满足题意； 当时，判别式. 综上可得，实数的取值范围为； （3）由（1）（2）分析，若命题为假，实数的取值范围为； 若命题q假，实数的取值范围为或. 命题与命题恰有一个为真，则真假或假真. 若真假，则； 若假真，则. 综上，实数的取值范围为：或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $