课下培优巩固练（六）命题、定理、定义-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．下列说法正确的是(　　) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题 解析：选D.命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以A错误；语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以B错误；C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确． 2．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．所有质数都是奇数 B．若>，则a>b C．对任意的x∈N*，都有x2≥x成立 D．方程x2＋x＋2＝0有实根 解析：选BC.A错误，因为2是偶数也是质数；B正确；不论x取N*内的任何数，x2≥x恒成立，故C正确；D错误，因为Δ＝12－8＝－7<0，所以方程x2＋x＋2＝0无实根，故选BD. 3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　) A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直 C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平形四边形 解析：选C.把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确，故选C. 4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为(　　) ①M中的元素都不是P的元素； ②M中有不属于P的元素； ③M中有属于P的元素； ④M中的元素不都是P的元素． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.①③错误；②④正确． 5．(多选)给出命题“方程x2＋ax＋1＝0有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(　　) A．4 B．2 C．0 D．－3 解析：选ABD.方程有实根时，应满足Δ＝a2－4≥0. 6．下列命题中真命题有(　　) ①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程； ②函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选B.①中，当m＝0时，不是一元二次方程；②中，函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点，②正确；③正确；④中，空集不是本身的真子集． 7．(多选)下列命题中是假命题的为(　　) A．面积相等的三角形是全等三角形 B．若xy＝0，则|x|＋|y|＝0 C．若a>b，则a＋c>b＋c D．矩形的对角线互相垂直 解析：选ABD.A错误；B中，若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故B错误；C正确；D中，矩形的对角线不一定互相垂直． 8．命题“对顶角相等”中的条件为____________________，结论为______________． 答案：两个角是对顶角　它们相等 9．下列语句中是命题的有________(填序号)，其中是假命题是有________(填序号). ①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ②一个数不是正数就是负数； ③大角所对的边大于小角所对的边； ④求证方程x2＋x＋1＝0无实根． 解析：①是疑问句，不是命题； ②是假命题，0既不是正数也不是负数； ③是假命题，没有说明在同一个三角形内； ④是祈使句，不是命题． 答案：②③　②③ 10．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a>b时，有ac2>bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 解：(1)若a>b，则ac2>bc2，是假命题． (2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题． (3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题． 【能力提升题组】 11．能够说明“若a，b，c是实数，a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________________． 解析：如a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a>b>c，但不满足a＋b>c. 答案：－1，－2，－3(答案不唯一) 12．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}； ②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}； ④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． 其中是集合X上的拓扑的是________(填序号). 解析：{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑；{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑；②④满足集合X上的拓扑的集合τ的定义，故答案为②④. 答案：②④ 13．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题． 解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4. 若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4. 故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”． 学科网（北京）股份有限公司 $