专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件（六大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（苏教版2019必修第一册）

专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件 重难点题型1 充分条件的判定与探索 (1)、一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2、)几点说明 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 2．（24-25高二下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，一定成立，故充分性成立， 当时，则，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件（若A则B）和必要条件（若B则A）定义判断两个不等式间的逻辑关系. 【详解】假设时，，两边取倒数，不等式方向改变，即. 所以，是的充分条件. 假设： 当时，两边取倒数，不等式方向改变，即，满足. 当时，，但此时，不满足. 因此，当时，可能大于，也可能小于，无法推出，故必要性不成立. 所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 4．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知命题：方程无实数根，命题；那么是的 条件； 【答案】充分不必要 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】方程无实数根，则，根据充分条件和必要条件的概念即可求解. 【详解】方程无实数根，则有，所以，但不能推出，所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 重难点题型2 必要条件的判定与探索 1．（24-25高一上·福建漳州·周测）设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】化简和，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】化简可得或， 化简可得， 因为是或的子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 2．（24-25高二下·天津·期末）“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、分式不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】首先求解绝对值不等式与分式不等式，然后再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得：；由，解得：. 由于“”推不出“” 但“”可以推出“” 因此可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 3．（24-25高二下·江西赣州·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用必要不充分条件，逐项验证即可. 【详解】对于A：当时，，由，所以当时，，所以是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B：由于在上为增函数，由有，当时，，所以是的充要条件，故B错误； 对于C：由有，所以或，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D：由有，当时，，即，所以是必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·山东淄博·月考）命题“”是命题“”的 条件． 【答案】必要不充分 【难度】0.94 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】因为或， 所以命题“”是命题“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 5．（24-25高一下·广东湛江·周测）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】必要条件 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 6．（24-25高一上·河北石家庄·月考）设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】必要条件、根据集合的包含关系求参数 【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】因为p是q的必要条件， 所以， 所以， 则实数m的取值范围是， 故答案为： 重难点题型3 由充分条件、必要条件求参数或参数范围 1．已知命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、解含参数的一元一次不等式 【解析】化简命题，分类讨论解不等式，根据p是q的充分不必要条件列式可解得结果. 【详解】因为，所以，所以，所以， 当时，由得或， 因为p是q的充分不必要条件，所以，所以， 当时，由得，满足题意， 当时，由得或，满足题意， 综上所述：. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 2．（23-24高一上·广西南宁·周测）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】由题意可得对应的集合是对应的集合的真子集，进而可得出答案. 【详解】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·云南昭通·周测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】由必要不充分条件得确定两集合关系，再列出不等关系，从而可求解． 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 5．（24-25高一上·江苏南通·月考）设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】（1）根据元素是否属于集合来确定不等式的取值范围； （2）充分不必要条件意味着集合是集合的真子集. 【详解】（1）因为，将代入，得到，解得. 又因为，将代入，得到，解得.   综合可得. （2）因为是的充分不必要条件，所以为的真子集。. 对于集合，方程的两个根为和. 当时，. 因为为的真子集，所以.   当时，. 此时不可能是的真子集.   当时，，也不可能是的真子集.   故满足题意时，. 6．（24-25高一上·浙江·周测）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据必要不充分条件求参数、已知命题的真假求参数 【分析】（1）根据命题为真即方程有解，利用判别式法列不等式求解即可. （2）根据必要不充分条件的定义列不等式求解即可. 【详解】（1）命题为真命题，：关于的方程有实数根， 则，解得， 故实数的取值范围为. （2）：，：. 是的必要不充分条件，则，解得. 故的取值范围为. 重难点题型4 由充要条件求参数或参数范围 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 1．已知，若p是q的充要条件，则 ， . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据两个集合相等求参数、根据充要条件求参数 【解析】由p是q的充要条件，可得，建立方程组即可求解. 【详解】若p是q的充要条件，则， ，解得. 故答案为：；. 【点睛】本题考查充要条件与集合的关系，属于基础题. 2．（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、充要条件的证明 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 3．设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合、根据充要条件求参数 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. 【详解】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 4．设集合，集合，命题，命题. （1）若是的充要条件，求正实数的取值范围 （2）若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围． 【答案】（1）2；（2）． 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据充要条件求参数 【分析】（1）由命题是的充要条件，即，结合集合相等，即可求解； （2）由命题是的必要不充分条件，得到集合B是集合A的真子集，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，集合，， （1）因为命题是的充要条件，即，可得解得． （2）因为命题是的必要不充分条件，即是q的必要不充分条件， 可得集合B是集合A的真子集，所以或， 解得，即正实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了利用充分条件、必要条件求解参数问题，其中解答中把充分条件、必要条件转化为集合间的包含关系，列出相应的条件是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 重难点题型5 充要条件的证明 1．若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据充要条件求参数 【分析】将问题转化为恒成立即可求解. 【详解】恒成立，，所以，解得． 故选：B 2．（23-24高一上·江苏连云港·月考）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据充要条件求参数 【分析】先求出一元二次方程有两个不相等的正实根时的取值范围，再根据充要条件的定义即可求解. 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的正实根， 设两根分别为：， 故， 解得：， 故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是. 故选：B. 3．（24-25高一上·广西南宁·周测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 【答案】（1）或（2）证明见解析 【难度】0.85 【知识点】根据必要不充分条件求参数、充要条件的证明 【分析】（1）根据必要不充分条件得到取值范围； （2）先证明充分性，再证明必要性即可. 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明：充分性：若，则， 方程有两个实根， 根据根与系数的关系得， 所以方程有两个异号实根； 必要性：若方程有两个异号实根， 则，即， 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·月考）已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【难度】0.4 【知识点】充要条件的证明、根据两个集合相等求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）首先证明充分性：当时可求得集合，对参数是否为零进行分类讨论，可得集合中至少含有中的所有元素；再证明必要性：若可得方程的所有实数根都是方程的实根，即，得出证明； （2）根据（1）的结论可知，然后对于参数是否为零进行分类讨论，易知当时符合题意，当时，对于方程的根的个数结合判别式进行讨论，并利用集合间的包含关系求得的取值范围是. 【详解】（1）充分性：若，则； 当时，可得 若，可得或； 当时，；即可得 所以可得集合中至少含有两个元素，可知， 当时，可得；此时当时，即可得； 此时，满足；综上可知充分性成立； 必要性：因为为非空集合，所以可知当时， 可知方程的所有实数根都是方程的实根， 即可得， 即，可得，所以必要性成立； 综上可得，的充要条件是； （2）若时，满足； 由（1）中的结论可得， 此时； 当时，可得，此时，符合题意； 当时，可得，此时； 为使可知，集合； 对于方程，令 ①当时，即时，，符合题意； ②当时，即时，此时，但且，不合题意； ③当时，即或时，， 为使，需满足或，即，解得； 这与大前提矛盾，不合题意；综合①②③可得符合题意； 综上可知，满足题意的的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题在求解参数的取值范围时，要结合（1）的结论将代入计算，并根据将集合转化成集合的子集，再对参数进行分类讨论后再利用判别式进行讨论计算可得结果. 重难点题型6 综合应用（与集合的交汇） 1．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)、定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)、集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 2．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)、要注意区间端点值的检验. 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）可知，结合集合的交集、并集和补集运算求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】（1）若，则，且， 可得，， 所以或. （2）若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 显然集合B不是空集，则，解得， 所以实数的取值范围为. 2．（24-25高一上·浙江温州·期中）设集合，. (1)求集合； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）先根据题意求出集合的取值范围，再根据集合的运算可求出结果； （2）根据条件得到是的真子集，即可求得取值范围. 【详解】（1）对于集合，可得，解得，所以， 对于集合，可得，即，， 解得，所以， 所以或， 则； （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，此时解集为空集，满足题意； 当时，，即， 因为是的真子集， 所以，解得，所以， 综上实数的取值范围为. 3．（24-25高一上·江苏徐州·期中）设全集为实数集，集合，. (1)当时，求，； (2)若命题：，命题：，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）求得集合，进而可求得，； （2）根据给定条件可得，且，求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以， 当时，， 所以， 因为或， 所以或， （2）由（1）知，， 因为是的充分不必要条件， 所以，且， 解得. 4．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知集合，集合， (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）由得，再利用集合的补集和并集的定义求解即可； （2）由是的充分不必要条件，得是的真子集，分情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 所以或， 所以或； （2）由于是的充分不必要条件，故是的真子集， 若，则，所以， 若，则，且且（等号不同时取得）， 当时，真包含于， 当时，真包含于， 故：， 综上所述，实数的取值范围是或. 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 2．（2025·海南三亚·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】若，，则，所以是的充分条件， 若，满足，而，所以不能推出， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 3．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数新定义、解不含参数的一元二次不等式、根据充分不必要条件求参数 【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】因为，则，则， 又因为表示不大于的最大整数， 所以不等式的解集为：， 因为所求的时不等式成立的充分不必要条件， 所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可， 选项中只有⫋. 故选：B. 4．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据充要条件求参数 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 5．（24-25高一下·云南玉溪·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】充分性：当时，可得，故充分性成立； 必要性：当时，可得，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，故C正确. 故选:C． 6．（24-25高二下·浙江嘉兴·周测）已知实数，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、定义法判断或证明函数的单调性、充要条件的证明 【分析】利用分离参数法求出的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可. 【详解】对，则，而， 当且仅当时取等号，因此； 当时, ，当且仅当时取等号， 所以是的充要条件. 故选：C. 7．（2025高三下·甘肃武威·月考）“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据充要条件的判断结合一元二次方程的根的情况可判断. 【详解】若一元二次方程有实数根，则； 当时，为一元二次方程，且时，有两个实数根. 故选：C. 二、填空题 8．“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】结合不等式的范围检验充分及必要性即可判断． 【详解】当时，一定成立，即充分性成立； 当时，不一定成立，即必要性不成立． 故答案为：充分不必要． 9．（24-25高一上·四川泸州·期中）使方程有实根的一个充分而不必要条件的a的范围是 . 【答案】(答案不唯一). 【难度】0.85 【知识点】方程与不等式、充分条件、判断命题的充分不必要条件 【分析】由方程有实根，可得判别式非负，当时方程有实根，而方程有实根时不一定有，从而可得到其一个充分不要条件. 【详解】因为方程有实根， 所以，即，解得， 当时，方程有实根， 而当方程有实根时不一定是， 所以是方程有实根的一个充分不要条件. 故答案为： (答案不唯一). 10．（24-25高一上·陕西西安·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 【答案】－1 【难度】0.85 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】由必要不充分条件的概念即可求解. 【详解】或， 因为是“”的必要不充分条件， 即 ， 所以，a的最大值为-1， 故答案为：-1 11．（24-25高一上·江苏南京·周测）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得. 【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即； 因此实数m的取值范围为. 故答案为： 12．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】分别把不等式表示为集合形式，将必要不充分条件转化为集合间的真包含关系，从而得到结果. 【详解】设，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 13．（23-24高一上·江苏南京·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、分式不等式 【分析】先分别把不等式表示为集合的形式，由题意可得，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】因为， 且， 所以由题意可得， 所以，，且等号不同时成立， 所以解得，即实数m的取值范围是． 故答案为：. 14．（23-24高一上·江苏苏州·周测）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据充要条件求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】由绝对值的几何意义求出集合，依题意，即可求出参数的值. 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 15．（24-25高一上·广西来宾·月考）“”是“”的 （填“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”） 【答案】充要条件 【难度】0.94 【知识点】充要条件的证明 【分析】看“”与“”之间的推出关系，结合充分条件，必要条件定义得解. 【详解】解得，则“”是“”的充要条件. 故答案为：充要条件. 16．（23-24高一上·重庆江北·周测）已知两个命题p：，q：，则p是q的 条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要）. 【答案】充要 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】当时， 若中至少有一个为零，则成立， 若，则， 若，则， 综上，当时，成立，故充分性成立； 当时，，即， 整理得，所以成立，故必要性成立； 所以p是q的充要条件. 故答案为：充要 17．下列命题为真命题的是（写出所有正确说法的序号） . ①函数经过点的充要条件是； ②二次函数经过点的充要条件是； ③若已知二次函数，则经过点的充要条件是； ④“”是“二次函数有两个异号零点”的必要不充分条件. 【答案】①③ 【难度】0.85 【知识点】二次函数的图象分析与判断、探求命题为真的充要条件、充要条件的证明、判断命题的真假 【分析】利用二次函数的性质和韦达定理，结合充分条件必要条件的定义，判断各选项即可. 【详解】对于函数，如果经过点，则， 反之，若，则，即函数经过点， 故函数经过点的充要条件是， 所以①③正确， 对于②若时，函数不是二次函数，后者推不出前者， 而二次函数经过点，则，前者可推出后者， 所以后者是前者的必要不充分条件，故②不正确； 有两个异号零点， 设为，且，则， 若，对于二次函数， 由且， 所以二次函数有两个异号零点. 所以“”是“二次函数有两个异号零点”的充要条件. 故答案为：①③. 三、解答题 18．（24-25高一上·江苏镇江·周测）设全集，集合，集合. (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）由“”是“”’的充分条件可得，利用子集的概念求范围； （2）把转化为，分情况讨论集合是空集和非空集，结合子集的概念求参数范围. 【详解】（1）若“”是“”的充分条件，则， ∴ ∴. （2）若，则. 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，a的取值范围是. 19．（24-25高一上·浙江温州·月考）已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）当时，得到，结合并集的概念，即可求解； （2）根据题意，转化为是的真子集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，或，所以. （2）解：因为是的必要不充分条件，可得是的真子集， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. （3）解：因为是的充分不充分条件，可得是的真子集， ①当时，即时，此时，符合题意； ②当时，即时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 20．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【难度】0.85 【知识点】根据充要条件求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 21．求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明 【分析】先证明充分性，即当时，方程有两个同号且不相等的实根；再证明必要性，方程有两个同号且不相等的实根，则． 【详解】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，， 则，，， 故方程有两个同号且不相等的实根； 再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 令， 当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点， 则，解得； 当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的负根， 则函数，有两个负零点， 则，无解； 故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是； 方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 22．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）根据集合的补集和交集运算即可求； （2）由题意可得是的真子集，分和两种情况讨论即可求. 【详解】（1）当时，集合， 所以或， 又， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，即时，，满足是的真子集， 当时，即时， ，且不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为或. 23．（24-25高一上·广东广州·周测）设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）先求得集合A、B，然后利用交集、并集及补集运算的概念求解即可； （2）根据题意得是的真子集，按照和分类讨论，列不等式组求解即可，注意求并集. 【详解】（1）由，可得，解得， 所以，或， 当时，集合，即， 所以，或； （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，，解得，满足题意， 当时，， 由得，由得，由得， 所以， 综上，实数的取值范围是. 24．（24-25高一上·广东清远·月考）设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、空集的性质及应用、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由题意可得，从而可求出实数的取值范围； （2）可知集合B是集合A的真子集，然后根据两集合的包含关系列不等式组可求得答案. 【详解】（1）因为， 则，解得， 即实数的取值范围为. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合B是集合A的真子集， 因为，， 若，由（1）可知：； 若，则且（等号不同时成立），无解； 综上所述：实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件 重难点题型1 充分条件的判定与探索 (1)、一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2、)几点说明 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）“”是“”的 条件． 4．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知命题：方程无实数根，命题；那么是的 条件； 重难点题型2 必要条件的判定与探索 1．（24-25高一上·福建漳州·周测）设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·天津·期末）“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（24-25高二下·江西赣州·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东淄博·月考）命题“”是命题“”的 条件． 5．（24-25高一下·广东湛江·周测）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 6．（24-25高一上·河北石家庄·月考）设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 重难点题型3 由充分条件、必要条件求参数或参数范围 1．已知命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广西南宁·周测）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 4．（24-25高一上·云南昭通·周测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 5．（24-25高一上·江苏南通·月考）设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 6．（24-25高一上·浙江·周测）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 重难点题型4 由充要条件求参数或参数范围 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 1．已知，若p是q的充要条件，则 ， . 2．（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 3．设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 4．设集合，集合，命题，命题. （1）若是的充要条件，求正实数的取值范围 （2）若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围． 重难点题型5 充要条件的证明 1．若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏连云港·月考）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一上·广西南宁·周测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·月考）已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 重难点题型6 综合应用（与集合的交汇） 1．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)、定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)、集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 2．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)、要注意区间端点值的检验. 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 2．（24-25高一上·浙江温州·期中）设集合，. (1)求集合； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·江苏徐州·期中）设全集为实数集，集合，. (1)当时，求，； (2)若命题：，命题：，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围. 4．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知集合，集合， (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（2025·海南三亚·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 5．（24-25高一下·云南玉溪·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高二下·浙江嘉兴·周测）已知实数，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025高三下·甘肃武威·月考）“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 8．“”是“”的 条件． 9．（24-25高一上·四川泸州·期中）使方程有实根的一个充分而不必要条件的a的范围是 . 10．（24-25高一上·陕西西安·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 11．（24-25高一上·江苏南京·周测）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 12．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 13．（23-24高一上·江苏南京·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 14．（23-24高一上·江苏苏州·周测）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 15．（24-25高一上·广西来宾·月考）“”是“”的 （填“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”） 16．（23-24高一上·重庆江北·周测）已知两个命题p：，q：，则p是q的 条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要）. 17．下列命题为真命题的是（写出所有正确说法的序号） . ①函数经过点的充要条件是； ②二次函数经过点的充要条件是； ③若已知二次函数，则经过点的充要条件是； ④“”是“二次函数有两个异号零点”的必要不充分条件. 三、解答题 18．（24-25高一上·江苏镇江·周测）设全集，集合，集合. (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·浙江温州·月考）已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围. 20．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 21．求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 22．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 23．（24-25高一上·广东广州·周测）设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 24．（24-25高一上·广东清远·月考）设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$