第2章 常用逻辑用语（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学单元复习讲义通过表格与定义解析系统构建常用逻辑用语知识体系，涵盖命题、充分必要条件、全称与存在量词等内容，用对比表格呈现充分必要条件的四种关系，以符号表格明确量词命题的否定规则，清晰标注重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，如“充分条件求参数范围”典例结合集合关系分析，变式题从基础辨析到综合应用，培养数学思维。每个题型配易错点提醒，基础生掌握方法，优生深化探究，助力教师精准教学，提升学生逻辑表达与问题解决能力。

第二章 常用逻辑用语单元复习讲义 教学目标 1.掌握命题、定理、定义的核心概念，能够辨别命题真假，熟练将命题转化为“若p，则q”的标准逻辑形式。 2.明晰充分条件、必要条件的内涵，理清充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的对应联系，理解充要条件的本质，可独立完成基础充要条件辨析题型。 3.区分全称量词、全称量词命题与存在量词、存在量词命题的定义，能准确识别两类量词命题，并判定命题的真假。 4.掌握单一量词命题的否定规则，规范完成命题改写 教学重难点 1.重点 充分、必要条件的判断；全称与存在量词命题真假判断 2.难点 利用充分必要条件求参数范围；依据量词命题真假求解参数 知识点1 命题 1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 2．判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题. 3．命题常写成“若p，则q”的形式，其中命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 4．定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 5.定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 6．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题． 知识点2 充分条件与必要条件与充要条件 1.一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件 2.几点说明 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 知识点3 全称量词和存在量词 全称量词和存在量词 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． 2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 知识点4 全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，p(x) 注意：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． 题型01 命题真假的判定与求参 【典例1】下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 【变式1】判断下列命题的真假： (1)若，则方程有实数根． (2)若，则． (3)如果两个三角形相似，则两个三角形全等． (4)若，则且． 【答案】(1)真命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)假命题 【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系进行判断； （2）根据子集关系结合交集运算求解； （3）根据三角形相似和全等的定义分析判断； （4）根据题意举例说明. 【详解】（1）当时，恒成立，则方程一定有实数根，故是真命题． （2）当时，任意，则，故，所以成立，故是真命题． （3）若两个三角形相似，则三个内角对应相等，边长对应成比例，不一定相等， 故两个三角形不一定全等，是假命题． （4）若，例如，不满足且，是假命题． 【变式2】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意得到判别式大于0，解之即可得解； （2）先求得命题为真时的取值范围，再结合（1）中结论即可得解. 【详解】（1）若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 【变式3】已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由p为真命题，q为假命题列不等式求x的范围. 【详解】∵  命题为真命题， ∴  或 又命题为假命题，∴  或， ∴  或． 所以实数的取值范围为． 【变式4】命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 题型02 充分条件、必要条件及充要条件的判定 【典例1】下列结论中正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．“且”是“”的既不充分也不必要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【答案】C 【分析】利用集合的包含关系可判断A项错误；利用充分条件，必要条件的定义可判断B项错误；利用互为逆否的命题同真假的性质即可判断C项正确；运用取特殊值法即可判断D项错误. 【详解】对于A，因是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，在中，由可得，即为直角三角形； 而由为直角三角形时，则或或,必要性不成立，故B错误； 对于C，首先判断“”是“或”的既不充分又不必要条件. 因时满足“”，但得不到“或”； 反过来，时，若取，满足“或”但得不到“”， 同理时，若取，满足“或”，但得不到“”， 即“”是“或”的既不充分又不必要条件， 则其逆否命题“且”是“”的既不充分也不必要条件也是正确的，故C正确； 对于D，因时无理数，但时有理数，即“为无理数”不是“为无理数”的必要条件，故D错误. 故选：C. 【变式1】“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【分析】通过举反例判断充分性及必要性不成立，从而可判断结果. 【详解】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 【变式2】（多选）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即得 【详解】对于A，取，满足，而， 因此“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，，而当时，成立，显然不成立， 则“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，取显然，但， 因此“” 不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 【变式3】下列各组p，q中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除． 【答案】(1)充要条件 (2)必要而不充分条件 (3)必要而不充分条件 (4)充分而不必要条件 【分析】结合充分条件，必要条件的定义判断即可得到结果. 【详解】（1）若三角形为等腰三角形，则三角形存在两角相等， 若三角形存在两角相等，则对应的两边一定相等，则三角形为等腰三角形， 所以，所以 p是q的充要条件. （2）若⊙O内两条弦相等，则所对圆周角相等或者互补， 若⊙O内两条弦所对的圆周角相等，则⊙O内两条弦相等， 故，，所以 p是q的必要而不充分条件. （3）取，则， 所以，推不出A与B之一为空集， 但A与B之一为空集，则， 所以p是q的必要而不充分条件. （4）若a能被6整除，故也能被3和2整除，故， 若a能被3整除，如，则a不能被6整除，故. 所以p是q的充分而不必要条件. 题型03充分条件、必要条件及充要条件的探求与应用 【典例1】下列选项中为“”的必要不充分条件的是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】先求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得或， 对于A中，可得或是“”的必要不充分条件，符合题意； 对于B中，可得或是“”的充要条件，不符合题意； 对于C中，可得或是“”的充分不必要条件，不符合题意； 对于D中，可得是“”的充分不必要条件，不符合题意. 故选：A. 【典例2】设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 【变式1】“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得的取值范围，再根据充分不必要条件即可得结论. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为，解得， 又是的充分不必要条件， 故选：. 【变式2】（多选）下列条件是“”的充分条件的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由充分条件的概念结合重要不等式可判断ABC，由特例可判断D. 【详解】由，，可得，则，是的充分条件. 由，可得，则由，可得，则是的充分条件. 由，可得，则由，可得，则是的充分条件. 取，满足，不满足，所以不是的充分条件. 故选：ABC 【变式3】已知两个关于x的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为_______________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的概念、一元二次方程由实数根，求得，根据两方程的根是整数，则其根的和与积也为整数列式，由此求得的值. 【详解】因为是一元二次方程，所以． 又另一方程为，且两方程都要有实根， 所以，解得． 因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数， 所以，所以m为4的约数．又，所以或． 当时，第一个方程的根为非整数； 而当时，两方程的根均为整数，所以两方程的根都是整数的充要条件是． 故答案为： 【变式4】设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. 题型04 利用充分、必要条件求参数的取值范围 【典例1】若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是的真子集，即可求解. 【详解】由题意可知是的真子集， 所以， 即实数的取值范围为， 故选：A 【典例2】已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据方程的根可得命题：，分析可知集合是集合的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】对于命题：“方程至少有一个解”， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得且； 综上所述：. 若的一个必要不充分条件为“”， 可知集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】 / 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是. 【变式2】已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 【变式3】已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在. 【分析】（1）根据必要条件的定义可得，进而可得，即得； （2）根据补集的定义及必要条件的定义可得，进而即得； （3）根据充要条件的概念可得，进而即得. 【详解】（1）因为是的必要条件， 所以，又，， 所以， 解得， 即实数的取值范围是； （2）若是的必要条件，则⇒， 所以， 又或，或， 所以， 解得， 故实数的取值范围； （3）若是的充要条件，则， 所以， 方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． 题型05 全称命题、存在命题的否定与命题真假判断 【典例1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假． (1)对任意的实数，都有； (2)存在实数，使得； (3)所有的素数都是奇数； (4)方程的每一个根都是正数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定并判定真假即可. 【详解】（1）全称量词命题． 原命题的否定：存在一个实数，使得．原命题的否定是真命题． （2）存在量词命题． 原命题的否定：对任意的实数，都有．原命题的否定是假命题． （3）全称量词命题． 原命题的否定：存在一个素数不是奇数．原命题的否定是真命题． （4）全称量词命题． 原命题的否定：方程至少有一个根不是正数．原命题的否定是假命题. 【变式1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假： (1)p：对任意的x∈R，都成立； (2)q：∃x∈R，使． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】判断命题是特称命题还是全称命题，然后利用否定形式写出命题的否定，进而判断真假即可． 【详解】（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题， 又因为“任意的”的否定为“存在一个”， 所以其否定是：存在一个x∈R，使成立， 即“∃x∈R，使”， 因为，所以方程无实数解， 此命题为假命题． （2）由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因此，该命题是存在量词命题． 又因为“存在一个”的否定为“任意一个”， 所以其否定是：对任意一个实数x，都有成立． 即“∀x∈R，有”， 因为，所以对∀x∈R，总成立， 此命题是真命题． 【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明． (1)存在实数x，使得； (2)有些三角形是等边三角形； (3)方程的每一个根都不是奇数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】判断命题的量词，根据特称命题和全称命题的定义和性质进行判断即可． 【详解】（1）含有特称量词存在，命题为特称命题， 命题的否定是：对任意一个实数x，都有，该命题为真命题． （2）含有特称量词有些，命题为特称命题， 命题的否定是：所有的三角形都不是等边三角形；故命题为假命题． （3）含有全称量词每一个，命题为全称命题， 命题的否定是：方程的至少有一个根是奇数，故命题为假命题． 【变式3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断否定的真假． (1)对任意； (2)存在． 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析 【分析】（1）依据全称量词命题定义可得该命题为全称量词命题，利用全称命题的否定规则即可得到其否定形式，举特例即可得到其为真命题； （2）依据存在量词命题定义可得该命题为存在量词命题，利用特称命题的否定规则即可得到其否定形式，利用判别式即可判定其为真命题. 【详解】（1）对任意是全称量词命题， 其否定为. 由，可得命题为真命题； （2）存在是存在量词命题， 其否定为， 由，可得方程无根， 故为真命题. 【变式4】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定并判断真假. (1)，与3的和不等于0； (2)存在三角形至少有两个锐角. 【答案】(1)答案详见解析 (2)答案详见解析 【分析】（1）根据全称量词命题及其否定的知识确定正确答案. （2）根据存在量词命题及其否定的知识确定正确答案. 【详解】（1）命题：，与3的和不等于0， 是全称量词命题， 其否定是：，与3的和等于0， 由于，所以这是一个假命题. （2）命题：存在三角形至少有两个锐角， 是存在量词命题， 其否定是：任意三角形至多有一个锐角， 由于等边三角形有三个锐角，所以这是一个假命题. 题型06 由全称命题、存在命题真假求参数 【典例1】若命题“存在，使”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出给定命题的否定，再借助一元二次不等式恒成立列式求解作答. 【详解】命题“存在，使”是假命题，则，恒成立， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 【典例2】已知，； (1)写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围 (2)若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据特称命题的否定为全称命题可写出否定，并转化为对任意恒成立即可求解； （2）命题为真，则，命题为真，则，利用、有且只有一个为真时，求解的取值范围. 【详解】（1）由题意，的否定为， 若的否定为真命题，则对任意恒成立， 所以只需，解得； （2）由（1）可得，当的否定为真命题时，，所以当为真命题时，. 若为真命题，则对于任意的，恒成立， 因此只需，解得. 因为，中有且只有一个为真命题，所以可分为两种情况： 若为真命题，为假命题，则有或，解得； 若为假命题，为真命题，则有，解得. 综上可知，实数的取值范围是或. 【变式1】已知命题，使，则命题p的否定为__________；若命题p为真命题，则实数a的取值范围为_________． 【答案】 ，使 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得结果；分析可知，结合二次函数性质分析求解. 【详解】因为命题，使，且全称命题的否定是特称命题， 所以命题p的否定为，使； 若命题p为真命题，等价于， 且函数的开口向上，对称轴为， 因为，可知当时，函数取得最小值， 可得，即， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：，使；. 【变式2】已知，命题p：，，命题q：，． (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p，q有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）不等式可转化为，对成立，求出的最小值，即可得到； （2）先求出命题为真时，实数a的取值范围.然后根据命题p，q有且仅有一个是真命题，讨论得到命题p，q的真假情况，即可得到. 【详解】（1），，等价于，. 令，则，因为，即， 所以，. （2）若命题为真，则有实数解，则， 即，解得或. 由命题p，q有且仅有一个是真命题，即命题，一真一假. 当真假时，即，解得； 当假真时，即或，解得. 综上所述，a的取值范围为或. 【变式3】已知， （1）写出命题的否定；命题的否定； （2）若或为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（1）特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出命题的否定形式即可； （2）由或为真命题，则有为真命题或为真命题，从而即可求得实数的取值范围． 【详解】解：（1）：；： （2）由题意知，真命题或真命题， 当真命题时，， 当真命题时，，解得， 因此，当或为真命题时，实数的取值范围为或，即． 【变式4】命题：“任意，”，命题：“存在，使”. (1)写出命题的否定命题形式，并求当命题为真时，实数的取值范围； (2)若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据全称命题的否定形式写出，当命题为真时，可转化求解即可； （2）由（1）可得为真命题时的取值范围，再求解为真命题时的取值范围，分真和假，假和真两种情况讨论，求解即可 【详解】（1）由题意，命题：“，”， 命题的否定形式为：“，” 当命题为真时，即“任意，”恒成立，则 ，. （2）由（1）若为真命题时，，则若为假命题时，. 若命题：“，” 为真命题 则，解得，故若为假命题时，. 由题意，和中有且只有一个是真命题， 当真和假时，且，故； 当假和真时，且，故； 综上：实数的取值范围是：或，即. 1．命题：的否定为（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【详解】由全称量词命题的否定可知，命题的否定为. 2．2025年10月24日，全国人大常委会通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日．台湾是中国不可分割的一部分，这一历史事实无可辩驳．那么“小明是台湾人”是“小明是中国人”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的概念进行判断. 【详解】因为“小明是台湾人”可以推出“小明是中国人”，“小明是中国人”不能推出“小明是台湾人”， 所以“小明是台湾人”是“小明是中国人”的充分不必要条件． 故选：A 3.给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由空集的性质判断①②，由集合元素的互异性判断③，由集合的表示判断④. 【详解】①空集只有本身一个子集，①错误； ②若，则，不一定成立，②错误； ③若，则，此时成立，若，不符合集合元素的互异性，故，③错误； ④，④正确； 故选：B. 4．（多选）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件和必要条件定义结合题意分析即可得解. 【详解】， 故. 所以p是s和q的充分条件，r是q的充分条件，s是q的充要条件. 故AC错误，BD正确. 故选：BD. 5.（多选）下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“，”的否定是“，” D．命题“，”是假命题 【答案】ABD 【分析】从充分不必要条件的定义可判断AB；利用全称量词命题的否定可判断C；利用一元二次方程判别式以及存在量词命题的真假性可判断D. 【详解】对于A选项：若，则必有，充分性成立； 反之，若，不一定有（例如且），必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B选项：若，则，不等式两边同乘以，得，即，充分性成立； 反之，取，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C选项：全称量词命题“”的否定为“”，C错误； 对于D选项：方程的判别式，无实数根， 故命题“”为假，D正确. 故选：ABD 6.写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在，函数随x值的增大而减小； (3)，使得． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）将存在量词命题否定为全称量词命题，然后利用反证法判断其真假； （2）（3）将存在量词命题否定为全称量词命题，举例判断其真假即可. 【详解】（1）该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分． 假设存在梯形的对角线互相对分， 而对角线互相平分的四边形为平行四边形，这与四边形为梯形相矛盾， 所以任意一个梯形的对角线都不互相平分， 所以命题的否定为真命题． （2）该命题的否定：对任意，函数不随x值的增大而减小． 当时，函数随x值的增大而减小，所以命题的否定为假命题． （3）该命题的否定：，． 当，时，， 因此命题的否定为假命题． 7．设集合，，命题p：，命题q：． (1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过解不等式可得，由p是q的充要条件，得，即，从而即可求出实数a的取值范围； （2）根据p是q的必要不充分条件，得，从而即可求出实数a的取值范围． 【详解】（1）由，得， 解得，所以， 由p是q的充要条件，得，即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由p是q的必要不充分条件，得， 又，则，所以，解得， 综上实数a的取值范围是． 1．甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【答案】C 【分析】根据四人的描述可知，甲和丙的说法要么同时成立，要么同时不成立；若同时成立则可知丁的说法也对，这不合题意；所以甲和丙的说法都不成立，据此分情况讨论即可得出结论. 【详解】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 2．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 3.现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来得到充分性，结合若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入得到不必要性，进而得到结果； 【详解】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来． 若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入， 所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件． 故选：A. 4.数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理解： 近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 【答案】 必要不充分条件 充分不必要条件 必要不充分条件 【分析】利用充分条件和必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】（i）在本题的情境中，网络暴力是截图加上恶毒的语言辱骂共同作用的结果，因此q 是 s 的不充分条件； 网络暴力是在校园论坛上发生的，其起因是宋某将蔡宇杰的朋友圈内容截图和转发行为，如果没有宋某的这一行为，该事件就不会发生，故q 是 s 的必要条件， 故q 是 s 的必要不充分条件； （ii）宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰，这必然导致论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力，所以r 是 s 的充分条件， 但网络暴力的产生不一定是由宋某的这一行为发生的，可能是其他人的行为发生的，所以r 是 s 的不必要条件， 故r 是 s 的充分不必要条件； （iii）宋某不直接辱骂，他有其他违法行为仍需承担责任，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的不充分条件， 若宋某直接辱骂了，他显然是需承担责任的，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要条件， 故“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要不充分条件. 5.已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可. 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 6.已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)R. 【分析】（1）直接由三角不等式可得； （2）由两集合的交集为空集，对一元二次方程的根的情况进行分类讨论，进而可得所求结果. 【详解】（1）因命题：不等式对任意恒成立，而， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 所以实数的取值范围为 （2）若命题为真命题，由，，， ①当，即，，符合； ②当，即或， 当时，，不符合； 当时，，符合； ③当，即或，设方程的两根为. 当时，，所以，，此时，所以不符合题意； 当时，，所以，，此时，所以符合题意； 综上可得，命题为真命题时，. 所以命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为. 所以实数的取值范围为R. 7．已知命题p：任意，，命题q：存在，． (1)若命题p与q有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围． (2)若命题p与q至少有一个是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)R 【分析】(1)先假设命题p，命题q为真命题，解得a的取值范围为集合A,B，再根据问题命题p与q有且只有一个是真命题，即p真q假（取A集合与B的补集的交集），或p假q真（取A的补集与B集合的交集）取上述两个范围的并集即可. （2）命题p与q至少有一个是真命题的反面是p假q假，取A集合补集与B的补集的交集，再取上述范围的补集. 【详解】（1）若命题p为真命题，则，记为集合， 若命题q为真命题，则，即或，记为集合 ∵命题p与q有且只有一个是真命题，即p真q假，或p假q真 当p真q假，； 当p假q真，; ∴实数a的取值范围为. （2）∵命题p与q至少有一个是真命题的反面是p假q假， 当p假q假时， ∴实数a的取值范围为R. 8.已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. (4)命题：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由求解即可； （2）由题意得到，构造不等式求解即可； （3）根据充分不必要条件转化为，即可根据包含关系求解， （4）先通过求得，进而可求解. 【详解】（1）由，可得， 解得， 即实数m的取值范围是； （2）由题意知，， 可得：，得. 所以实数的取值范围为. （3）由是的充分不必要条件，所以， 即且等号不同时成立，得， ∴实数的取值范围为. （4）由“，使得”是真命题， 可得：, 先求， ， 当时，由（1）知， 当时，则或， 解集为：， 综上可知时，， 所以时，， 即“，使得”是真命题时实数m的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 常用逻辑用语单元复习讲义 教学目标 1.掌握命题、定理、定义的核心概念，能够辨别命题真假，熟练将命题转化为“若p，则q”的标准逻辑形式。 2.明晰充分条件、必要条件的内涵，理清充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的对应联系，理解充要条件的本质，可独立完成基础充要条件辨析题型。 3.区分全称量词、全称量词命题与存在量词、存在量词命题的定义，能准确识别两类量词命题，并判定命题的真假。 4.掌握单一量词命题的否定规则，规范完成命题改写 教学重难点 1.重点 充分、必要条件的判断；全称与存在量词命题真假判断 2.难点 利用充分必要条件求参数范围；依据量词命题真假求解参数 知识点1 命题 1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 2．判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题. 3．命题常写成“若p，则q”的形式，其中命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 4．定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 5.定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 6．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题． 知识点2 充分条件与必要条件与充要条件 1.一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件 2.几点说明 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 知识点3 全称量词和存在量词 全称量词和存在量词 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． 2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 知识点4 全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，p(x) 注意：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． 题型01 命题真假的判定与求参 【典例1】下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【变式1】判断下列命题的真假： (1)若，则方程有实数根． (2)若，则． (3)如果两个三角形相似，则两个三角形全等． (4)若，则且． 【变式2】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【变式3】已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【变式4】命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 题型02 充分条件、必要条件及充要条件的判定 【典例1】下列结论中正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．“且”是“”的既不充分也不必要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【变式1】“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【变式2】（多选）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【变式3】下列各组p，q中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除． 题型03充分条件、必要条件及充要条件的探求与应用 【典例1】下列选项中为“”的必要不充分条件的是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【典例2】设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【变式1】“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 【变式2】（多选）下列条件是“”的充分条件的是（    ） A．， B． C． D． 【变式3】已知两个关于x的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为_______________． 【变式4】设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 题型04 利用充分、必要条件求参数的取值范围 【典例1】若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 【变式1】若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【变式2】已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 题型05 全称命题、存在命题的否定与命题真假判断 【典例1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假． (1)对任意的实数，都有； (2)存在实数，使得； (3)所有的素数都是奇数； (4)方程的每一个根都是正数． 【变式1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假： (1)p：对任意的x∈R，都成立； (2)q：∃x∈R，使． 【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明． (1)存在实数x，使得； (2)有些三角形是等边三角形； (3)方程的每一个根都不是奇数． 【变式3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断否定的真假． (1)对任意； (2)存在． 【变式4】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定并判断真假. (1)，与3的和不等于0； (2)存在三角形至少有两个锐角. 题型06 由全称命题、存在命题真假求参数 【典例1】若命题“存在，使”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知，； (1)写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围 (2)若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【变式1】已知命题，使，则命题p的否定为__________；若命题p为真命题，则实数a的取值范围为_________． 【变式2】已知，命题p：，，命题q：，． (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p，q有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围． 【变式3】已知， （1）写出命题的否定；命题的否定； （2）若或为真命题，求实数的取值范围． 【变式4】命题：“任意，”，命题：“存在，使”. (1)写出命题的否定命题形式，并求当命题为真时，实数的取值范围； (2)若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 1．命题：的否定为（    ） A．， B． C． D． 2．2025年10月24日，全国人大常委会通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日．台湾是中国不可分割的一部分，这一历史事实无可辩驳．那么“小明是台湾人”是“小明是中国人”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（多选）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 5.（多选）下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“，”的否定是“，” D．命题“，”是假命题 6.写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在，函数随x值的增大而减小； (3)，使得． 7．设集合，，命题p：，命题q：． (1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围． 1．甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 2．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 3.现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理解： 近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 5.已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 6.已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 7．已知命题p：任意，，命题q：存在，． (1)若命题p与q有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围． (2)若命题p与q至少有一个是真命题，求实数a的取值范围． 8.已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. (4)命题：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $