第2章 常用逻辑用语（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题2.5 常用逻辑用语单元复习 教学目标 1.理解命题、定理、定义的概念，会判断命题的真假，能把命题改写成“若p，则q”的形式； 2.理解充分条件、必要条件的概念，了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系，.理解充要条件的意义，会判断一些简单的充要条件问题； 3..理解全称量词、全称量词命题的定义以及存在量词、存在量词命题的定义，会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假； 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 教学重难点 1.重点 充分条件与必要条件的判断；全称量词命题与存在量词命题的真假判断 2.难点 利用充分、必要条件求参数的取值范围，根据含有量词的命题的真假求参数 知识点01 命题、定理、定义 1.命题的定义：在数学中，我们把用_____________________________叫作命题． 注：命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 2.命题的分类 真命题：_____________________________ 假命题：_____________________________ 3.命题的一般形式： “若p，则q”，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________． 注：确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 4.定理的概念： 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 5.定义的概念： 在数学中，定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 定义的特点：用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别。如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述。 【即学即练】 1．（多选）下列语句是命题的有（　　） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 2.（多选）下列语句中，真命题有（　　） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 知识点02 充要条件的四种判断方法 充要条件的四种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 牢记：小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围 若p⇒q，则p是q的________条件，q是p的________条件 p是q的___________条件 p⇒q且qp p是q的___________条件 p⇒ / q且q⇒p p是q的___________条件 p⇔q p是q的___________条件 pq且q p 注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同． ①是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） ②的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．_________________________________第一：化简条件和结论 第二：根据条件与结论范围的大小进行判断 第三：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 ①若，则_______________； ②若，则_______________； ③若，则__________________； ④若，则__________________； ⑤若，则__________________； ⑥若且，则__________________. (3)传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件． ①若是的充分条件，是的充分条件，则__________________; ②若是的必要条件，是的必要条件，则__________________; ③若是的充要条件，是的充要条件，则__________________． (4)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 【即学即练】 1．下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？ (1)对角线相等的菱形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)有一个角是直角的菱形． 2.（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（　　） A． B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 3.使或}成立的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 4.已知全集为R，集合，，若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 知识点03 全称量词命题与存在量词命题 定义:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“______”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为__________________. 对存在量词与存在量词命题的理解 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. (3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. (4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”. (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 【即学即练】 1．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（　　） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．对任意，若，则 D．存在一个实数x，使得 2．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 3.命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 知识点04 含有一个量词命题的否定 (1)命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． (2)全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：__________________ ． (3)存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题：__________________ ． (4)命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 【即学即练】 1．（多选）下列四个命题的否定为真命题的是（　　） A．p:所有四边形的内角和都是 B．q:, C．是无理数，是无理数 D．s:对所有实数a，都有 2．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为________. 题型01 命题真假求参 【典例1】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：若命题为真命题，则实数的取值范围为___________； 【变式1】（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【变式2】已知命题：方程有实数根为假命题，则实数的取值范围是_________. 【变式3】命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 【变式4】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：若命题真q假，则实数的取值范围为___________； 题型02 充分条件与必要条件的判断 【典例1】（多选）下列命题中叙述不正确的是（　　） A．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“”的一个充分不必要条件可以是“” D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件 【变式1】已知，，则是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知均为实数，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】“”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】（多选）下列选项中是的必要不充分条件的有（　　） A． B． C．：两个三角形全等，：两个三角形面积相等 D． 题型03 充分条件与必要条件的探求与应用 【典例1】设全集，集合，非空集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【变式1】（多选）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（　　） A． B． C．- D．0 【变式2】（多选）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围； 【变式4】设全集，集合，集合，其中. (1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 题型04 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【典例1】（多选）下列命题中，真命题的是（　　） A．若且则至少有一个大于 B． C．的充要条件是 D．至少有一个实数，使得 【变式1】判断下列命题的真假. (1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示； (2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形； (3)存在一个实数x，使得方程成立； (4)； (5). 【变式2】命题p：∃x0∈R，x02+2x0+5＝0是 （填“全称命题”或“存在命题”），它是 命题（填“真”或“假”）. 【变式3】（多选）关于命题“”，下列判断正确的是（　　） A．该命题是全称量词命题 B．该命题是存在量词命题 C．该命题是真命题 D．该命题是假命题 【变式4】在下列命题中，是真命题的是（　　） A． B． C． D．已知，则对于任意的，都有 题型05 全称量词命题与存在量词命题的否定 【典例1】（多选）下列是全称量词命题的否定的有（　　） A．存在一个能被2整除的整数不是偶数 B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上 C．存在实数不是方程的根 D．没有一个平行四边形是菱形 【变式1】已知命题，则的否定为（　　） A． B． C． D． 【变式2】命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是（　　） A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 【变式3】命题“”的否定是 ． 题型06 根据含有量词的命题的真假求参数 【典例1】若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 ． 根据命题的真假求参数 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围． (2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． (3)利用参变量分离法求解不等式恒（能）成立。 【变式1】若命题“任意，使”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【变式3】已知：命题：，，则命题的否定是 ；若命题为假命题，则实数的取值范围是 . 题型07 转化与化归思想的应用 【典例1】已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式1】设全集，集合，集合，若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【变式2】若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________________. 【变式3】已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为______． 1．在下列语句中，是命题的有（　　） A. 空集是任何集合的子集 B.若，则 C.若，则. D. A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．设，下列说法中错误的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 4．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 5．已知命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x－a≥0；若是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3 6．设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有（ ） A．是的必要条件 B．是的充分条件 C．是的充分不必要条件 D．是的既不充分也不必要条件 7．（多选）关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（　　） A．：∃x∈R，x2＋1＝0 B．：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，是假命题 D．p是假命题，是真命题 8．（多选）已知p：，成立，则下列选项是p的充分不必要条件的是（　　） A． B． C． D． 9．（多选）下列命题中是真命题的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件 D. 是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件 10．若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 11．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 12．已知命题p：，，q：，．若与均为假命题，则实数的取值范围为 ． 13．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 14．已知命题，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 常用逻辑用语单元复习 教学目标 1.理解命题、定理、定义的概念，会判断命题的真假，能把命题改写成“若p，则q”的形式； 2.理解充分条件、必要条件的概念，了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系，.理解充要条件的意义，会判断一些简单的充要条件问题； 3..理解全称量词、全称量词命题的定义以及存在量词、存在量词命题的定义，会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假； 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 教学重难点 1.重点 充分条件与必要条件的判断；全称量词命题与存在量词命题的真假判断 2.难点 利用充分、必要条件求参数的取值范围，根据含有量词的命题的真假求参数 知识点01 命题、定理、定义 1.命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 注：命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 2.命题的分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 3.命题的一般形式： “若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． 注：确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 4.定理的概念： 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 5.定义的概念： 在数学中，定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 定义的特点：用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别。如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述。 【即学即练】 1．（多选）下列语句是命题的有（　　） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【答案】CD 【分析】根据命题的定义即可求解. 【解析】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题． 故选：CD 2.（多选）下列语句中，真命题有（　　） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据定义、性质等直接判断即可. 【解析】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误． 故选：AD 知识点02 充要条件的四种判断方法 充要条件的四种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 牢记：小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 p⇒ / q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p 注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同． ①是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） ②的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题 第一：化简条件和结论 第二：根据条件与结论范围的大小进行判断 第三：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 ①若，则是的充分条件； ②若，则是的必要条件； ③若，则是的充分不必要条件； ④若，则是的必要不充分条件； ⑤若，则是的充要条件； ⑥若且，则是的既不充分也不必要条件. (3)传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件． ①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件; ②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件; ③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件． (4)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 【即学即练】 1．下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？ (1)对角线相等的菱形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)有一个角是直角的菱形． 【答案】(1)是充分条件；(2)是充分条件；(3)不是充分条件；(4)是充分条件 【分析】（1）根据充分条件的定义判断；（2）根据充分条件的定义判断； （3）根据充分条件的定义判断；（4）根据充分条件的定义判断. 【解析】(1)菱形的对角线垂直，它的对角线相等时，一定是正方形，是充分条件； (2)矩形的对角线相等，它的对角线垂直时，一定是正方形，是充分条件； (3)对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，不是充分条件； (4)菱形的四边相等，有一个角是直角，则四个内角都是直角，它是正方形，是充分条件． 2.（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（　　） A． B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质，结合充要条件的判断，即可由选项逐一求解. 【解析】对于A选项，p⇒q，但不一定得到，故p不是q的充要条件； 对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件； 对于C选项，不能得到，但一定，故p不是q的充要条件； 对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件． 故选：BD. 3.使或}成立的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案. 【解析】对于A，因为或或，故错误； 对于B，因为或或，故正确； 对于C，因为或或，故错误； 对于D，因为不是或的真子集，故错误. 故选：B. 4.已知全集为R，集合，，若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据交集定义计算；由必要不充分条件得集合的包含关系，由包含关系得参数范围． 【解析】（1），又， ； （2）因为“”是“的必要不充分条件，所以， 因为，所以且等号不同时成立， 解得，即 知识点03 全称量词命题与存在量词命题 定义:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为. 对存在量词与存在量词命题的理解 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. (3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. (4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”. (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 【即学即练】 1．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（　　） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．对任意，若，则 D．存在一个实数x，使得 【答案】C 【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的定义，结合命题真假的判断即可得到答案. 【解析】A选项是全称量词命题，二次函数的图象有开口向上的， A是假命题，不符合题意； B选项是存在量词命题，不符合题意； C选项是全称量词命题，对任意，若，则，即，C是真命题，符合题意； D选项是存在量词命题，不符合题意. 故选：C. 2．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题；(2)存在量词命题，真命题；(3)全称量词命题，假命题； (4)存在量词命题，假命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假. 【解析】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题． （2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题． （3）全称量词命题，存在，但，该命题是假命题． （4）存在量词命题，由于，则，因此使得的实数x不存在，该命题是假命题． 3.命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题“，”为真命题对参量讨论即得。 【解析】依题意命题“，”为真命题， 当时，成立， 当时，成立， 当时，函数开口向下，不恒成立. 综上所述，. 故选：B 知识点04 含有一个量词命题的否定 (1)命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． (2)全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． (3)存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． (4)命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 【即学即练】 1．（多选）下列四个命题的否定为真命题的是（　　） A．p:所有四边形的内角和都是 B．q:, C．是无理数，是无理数 D．s:对所有实数a，都有 【答案】BD 【分析】A选项，判断出为真命题；B选项，写出，得到其为真命题；C选项，举出反例得到为真命题；D选项，举出反例得到为假命题. 【解析】A选项，所有四边形的内角和都是，故为真命题，则为否命题，A错误； B选项，，，由于，故为真命题，B正确； C选项，当时，也是无理数，故为真命题，则为假命题，C错误； D选项，当时，，故为假命题，故为真命题，D正确. 故选：BD 2．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据“，”是假命题，得出它的否定命题是真命题，转化为一元二次不等式的能成立问题，求出实数a的取值范围. 【解析】∵命题“，”是假命题， ∴命题“∃x∈R, ”是真命题， 即存在x使得. 因为，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 题型01 命题真假求参 【典例1】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：若命题为真命题，则实数的取值范围为___________； 【答案】或. 【分析】根据命题的真假得出结论． 【解析】若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或. 【变式1】（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【解析】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD 【变式2】已知命题：方程有实数根为假命题，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】依题意判断方程无解条件即可. 【解析】命题：方程有实数根为假命题，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式3】命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】根据命题的真假得出结论． 【解析】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为： 【变式4】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：若命题真q假，则实数的取值范围为___________； 【答案】或. 【分析】根据命题的真假得出结论． 【解析】若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或. 题型02 充分条件与必要条件的判断 【典例1】（多选）下列命题中叙述不正确的是（　　） A．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“”的一个充分不必要条件可以是“” D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件 【答案】BCD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐项判断各选项即可. 【解析】由关于的方程有实数根可得， 由可得关于的方程有实数根， 所以“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，A正确； 由三角形为正三角形可得该三角形为等腰三角形， 所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分条件，B错误； 由不能推出， 所以“”不是“”的充分条件，C 错误； 当时，若，则，若，则， 所以“”是“”的充要条件， 所以若集合，则“”可能是“”的充要条件，D错误； 故选：BCD. 【变式1】已知，，则是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】将相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【解析】由，可得出，故， 由，得不出，所以是的充分而不必要条件， 故选：A. 【变式2】已知均为实数，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【解析】由于，所以和均不为， 所以可以推断； 取，可得，但 故由不能推出. 所以“”是“的充分不必要条件. 故选：B. 【变式3】“”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求的解集，根据充分、必要关系的定义判断条件间的关系. 【解析】由，可得或， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 【变式4】（多选）下列选项中是的必要不充分条件的有（　　） A． B． C．：两个三角形全等，：两个三角形面积相等 D． 【答案】AD 【分析】根据包含关系判断A；根据与等价判断B；根据充分条件与必要条件的定义判断CD. 【解析】选项A： 因为不能推出，而能推出， 所以是的必要不充分条件，正确； 选项B： 是的充要条件，错误； 选项：若两个三角形全等，则两个三角形面积相等， 但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等， 是的充分不必要条件，C错误； D：当时，则， 反之，当时或，故不一定成立， 是的必要不充分条件，正确. 故选：AD. 题型03 充分条件与必要条件的探求与应用 【典例1】设全集，集合，非空集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由条件列不等式求的取值范围． 【解析】“”是“”的充分条件 ∴，又集合， ∴，解得 ∴实数的取值范围为. 【变式1】（多选）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（　　） A． B． C．- D．0 【答案】BCD 【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可. 【解析】设，, 因为p是q的必要条件，所以， 当时，由无解可得，符合题意； 当时，或，当时，由解得， 当时，由解得. 综上，的取值为0，，. 故选：BCD 【变式2】（多选）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据是的充分不必要条件可得，求得a的范围，可得答案. 【解析】由题意可知是的充分不必要条件， 则，故， 故a的值可取， 故选：BCD. 【变式3】已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围； 【答案】(1)；(2) 【分析】根据充分不必要条件得出集合的包含关系，根据包含关系可求答案； 【解析】若“”是“”的充分不必要条件， 则B是A的真子集，而不为空集， 则（等号不同时成立），解得， 即m的取值范围是. 【变式4】设全集，集合，集合，其中. (1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)。(2) 【分析】（1）解不等式，得到，根据充分条件得到，列出不等式组，求出答案； （2）根据必要条件得到，分和两种情况，求出答案. 【解析】（1），， 因为是的充分条件， 所以，即，解得：， 故的取值范围是； （2）因为是的必要条件， 所以， 当时，，解得：，满足要求， 当时，，即时，要满足， 解得：， 综上：，所以实数的取值范围是； 题型04 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【典例1】（多选）下列命题中，真命题的是（　　） A．若且则至少有一个大于 B． C．的充要条件是 D．至少有一个实数，使得 【答案】ABD 【分析】假设，中没有一个大于得，与矛盾可判断A；可判断B；取时可判断C；取可判断D. 【解析】对于A，假设，中没有一个大于2，即，，则，与矛盾，故A正确； 对于B，由即，则，故在上恒成立，故B正确； 对于C，当时，，推不出，必要性不成立，故C错误； 对于D，当，此时，所以至少有一个实数， 使得，故D正确. 故选：ABD. 【变式1】判断下列命题的真假. (1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示； (2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形； (3)存在一个实数x，使得方程成立； (4)； (5). 【答案】(1)假命题，(2)真命题，(3)假命题，(4)真命题，(5)真命题 【分析】（1）举反例说明命题为假命题；（2）举特例说明存在性；（3）用判别式判断二次方程根的情况；（4）举特例说明存在性；（5）可证明结论恒成立. 【解析】（1）是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示． （2）是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形． （3）是假命题，方程的判别式，故方程无实数根． （4）是真命题，或，都能使成立． （5）是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立． 【变式2】命题p：∃x0∈R，x02+2x0+5＝0是 （填“全称命题”或“存在命题”），它是 命题（填“真”或“假”）. 【答案】 特称命题 假 【分析】根据全称命题和特称命题的定义，结合一元二次方程根的判别式进行分析判断即可. 【解析】命题p，含有存在量词∃，是存在命题， x2+2x+5＝0， 所以， 方程无实数解，命题为假命题. 故答案为：存在命题；假 【变式3】（多选）关于命题“”，下列判断正确的是（　　） A．该命题是全称量词命题 B．该命题是存在量词命题 C．该命题是真命题 D．该命题是假命题 【答案】BC 【分析】根据存在量词命题、全称量词命题概念判断AB，再由命题真假判断CD. 【解析】是存在量词命题， A选项错误B选项正确； 时，成立， 命题为真命题，即C正确D错误. 故选：BC 【变式4】在下列命题中，是真命题的是（　　） A． B． C． D．已知，则对于任意的，都有 【答案】B 【分析】根据各选项命题的描述判断是否为全称量词命题或存在量词命题及其真假即可. 【解析】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除； 选项B，，，故该选项正确； 选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除； 选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除. 故选：B. 题型05 全称量词命题与存在量词命题的否定 【典例1】（多选）下列是全称量词命题的否定的有（　　） A．存在一个能被2整除的整数不是偶数 B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上 C．存在实数不是方程的根 D．没有一个平行四边形是菱形 【答案】ABC 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题分析可得答案． 【解析】对于A，“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的整数不是偶数”，故A是；对于B，“每一个三角形的三个顶点在同一个圆上”的否定是“存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上”，故B是；对于C，“任何实数都是方程的根”的否定是“存在实数不是方程的根”，故C是；对于D，“有些平行四边形是菱形”的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形，是存在量词命题的否定，故D不是． 故选：ABC. 【变式1】已知命题，则的否定为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题分析可得答案． 【解析】命题的否定为：. 故选：C. 【变式2】命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是（　　） A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 【答案】C 【分析】根据存在性命题的否定求解. 【解析】命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根． 故选：C 【变式3】命题“”的否定是 ． 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可写出原命题的否定. 【解析】易知命题“”的否定是“”. 故答案为： 题型06 根据含有量词的命题的真假求参数 【典例1】若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对，使得，可求出，因为命题为假命题，即可求出实数的取值范围. 【解析】若对，使得， 则，解得：， 因为命题“，使得”是假命题， 所以实数的取值范围是：或 故答案为：. 根据命题的真假求参数 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围． (2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． (3)利用参变量分离法求解不等式恒（能）成立。 【变式1】若命题“任意，使”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题为真命题，结合实数的性质，可求得a的范围，即得答案. 【解析】由于任意，都有， 故要使命题“任意，使”为真命题，需有， 故选：B 【变式2】若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据全称命题的定义和性质结合不等式进行求解即可. 【解析】命题“”为真命题， 则有判别式，解得. 故答案为： 【变式3】已知：命题：，，则命题的否定是 ；若命题为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 ， 【分析】写出特称命题的否定，根据命题为假，则其否定为真，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【解析】由题设，命题的否定是，； 为假命题，即，为真命题， 所以，可得. 故答案为：，；. 题型07 转化与化归思想的应用 【典例1】已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）命题是真命题，可转化为即可求解； （2）若是的充分不必要条件,可转化为是的真子集即可求解. 【解析】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是 【变式1】设全集，集合，集合，若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】将真命题转化为，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解. 【解析】命题“，则”是真命题，所以. 当时，，解得； 当时，，解得，所以. 综上所述，实数a的取值范围是. 【变式2】若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【分析】解不等式得到，由“”是“”的充分不必要条件得到是的真子集，从而比较端点得到不等式组，求出实数的取值范围. 【解析】， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 故，解得：， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式3】已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为______． 【答案】1 【分析】首先解出不等式，再根据题意得到，即可求出的取值范围，从而得解； 【解析】由，得或， 因为的必要不充分条件是“或”， 所以，解得，所以实数a的最大值为1； 故答案为： 1．在下列语句中，是命题的有（　　） A. 空集是任何集合的子集 B.若，则 C.若，则. D. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的定义直接判断即可. 【解析】命题是可以判断真假的陈述句，对于选项ABC，均为可判断真假的陈述句，即都是命题.D不能判断真假，不是命题 故选：C. 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可写出原命题的否定. 【解析】命题“，”的否定是， 故选：D. 3．设，下列说法中错误的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可. 【解析】对于A，因为的解集为，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确； 对于B，“”时， “”不一定成立，反之“”成立时，“”一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故正确； 对于C，“”时，“”一定成立，反之 “”成立时，不一定成立，例如，所以 “”是“”的充分不必要条件，故错误； 对于D，当时，满足“”，但不满足“”；当时，满足“”，但不满足“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确. 故选：C 4．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据必要不充分条件的概念转化为即可求解. 【解析】命题的否定为：“” 若该命题为真命题得，所以， 所以为该命题的一个必要不充分条件， 故选：A. 5．已知命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x－a≥0；若是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3 【答案】D 【分析】根据存在量词命题为假命题进行等价转化 【解析】是真命题，所以∀x∈{x|1<x<3}，x－a<0为真命题，所以当1<x<3时，a>x恒成立，所以a≥3. 故选：D 6．设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有（ ） A．是的必要条件 B．是的充分条件 C．是的充分不必要条件 D．是的既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据条件得到可判断每一个选项. 【解析】由题意，，则. 故选：B. 7．（多选）关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（　　） A．：∃x∈R，x2＋1＝0 B．：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，是假命题 D．p是假命题，是真命题 【答案】AC 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题分析可得答案． 【解析】：∃x∈R，x2＋1＝0,p是真命题，是假命题，所以A、C正确，B、D错误 故选：AC. 8．（多选）已知p：，成立，则下列选项是p的充分不必要条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据存在量词命题、全称量词命题概念判断AB，再由命题真假判断CD. 【解析】由p：，成立，得当时，，即. 对于A，“”是“”的充分不必要条件； 对于B，“”是“”的既不充分也不必要条件； 对于C，“”是“”的充分不必要条件； 对于D，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：AC. 9．（多选）下列命题中是真命题的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件 D. 是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例，得到充分性不成立；B选项，解不等式得到且，从而得到B正确；C选项，根据的根都是正根求出，从而得到C正确；D选项，分与两种情况，求出，从而得到D正确. 【解析】A选项，当时，满足，但不满足，故充分性不成立，A错误； B选项，，解得且， 所以不能推出，但能推出，故是的必要不充分条件，B正确； C选项，根都是正根，则要满足，解得， 故，但， 故是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件，C正确； D选项，不等式对一切实数恒成立，当时，恒成立，满足题意， 当时，要满足，解得， 综上所述，不等式对一切实数恒成立，则， 因为，但， 故是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件，D正确. 故选：BCD 10．若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 【答案】 【分析】由命题“，”为真命题等价于即可. 【解析】命题“，”为真命题， 所以，又在上单调递增， 所以，所以， 所以实数k的最大值为. 故答案为：. 11．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】先求得，然后根据必要不充分条件的知识求得集合. 【解析】依题意，， 若，则，满足是的必要不充分条件. 当时，， 由于是的必要不充分条件，所以或， 解得或， 综上所述，的所有可能取值构成的集合为. 12．已知命题p：，，q：，．若与均为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意若为假命题，则或，若为假命题，则，.可求． 【解析】依题意，若为假命题，则或，所以. 若为假命题，则，所以. 所以，若p与q均为假命题，则实数a的取值范围为. 故答案为： 13．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)．;(2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【解析】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 14．已知命题，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据一元二次不等式所对应的方程的判别式即可求解； （2）讨论是否是空集，以及是的真子集列不等式组，解不等式组即可求解. 【解析】（1）因为命题：，为真命题， 所以方程的， 解得：，即. （2）又因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 当时，应满足，解得.此时是的真子集，故满足题意. 当时，应满足，解得. 因为是的真子集， 所以且不能同时取等号，解得：， 综上实数的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$