第2章 常用逻辑用语（高效培优单元测试·提升卷）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦常用逻辑用语单元，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，融合文化情境（如诗句条件判断）与跨知识综合题（如集合与逻辑结合），适配单元复习的核心素养培养需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|命题判断、量词否定、充分必要条件（如甲不是冠军与乙是冠军的条件关系）|基础概念辨析，梯度合理| |多选|3/18|命题否定、条件判断（如方程根与充要条件）|多角度逻辑推理，考查思维严谨性| |填空|3/15|文化情境（如“不破楼兰终不还”条件判断）、集合与逻辑|结合文化传承，体现数学语言表达| |解答|5/77|集合与逻辑综合（如17题选条件求参数范围）、命题真假判断|跨知识综合应用，培养创新意识与推理能力|

第二章 常用逻辑用语（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D D C A D A A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD AD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．必要不充分 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】对于（1），因为“有些”是存在量词，所以“有些奇数是合数”是存在量词命题， 比如，9是奇数也是合数，所以该命题是真命题； 对于（2），因为“任何”是全称量词，所以“任何实数都有算术平方根”是全称量词命题. 比如，是实数，但没有算术平方根，所以该命题是假命题； 对于（3），因为“至少有一个”是存在量词，所以“至少有一个数能被3和5整除”是存在量词命题． 比如，15能被3和5整除，所以该命题是真命题； 对于（4），因为“所有的”是全称量词，所以“所有的反比例函数的图象都是中心对称图象”是全称量 词命题.因反比例函数的解析式形如，其图象关于坐标原点中心对称，故该命题是真命题. 16．（15分） 【详解】（1）由题意可知：集合是集合的真子集， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以“，则”是真命题，实数的取值范围． 那“，则”是假命题时， 17．（15分） 【详解】（1）当时，， ，所以， 所以． （2）， 选①：“”是“”的充分条件．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     选②：“”是“”的必要条件．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     选③：对，，使得成立．． 只需，解得， 所以实数a的取值范围是． 18．（17分） 【详解】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 19．（17分） 【详解】（1）集合，集合. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以 ，解得. 当时，，符合题意； 所以的取值范围是. （2）若命题“，”是真命题，则集合是的子集. 或. 因为恒成立，所以. 所以或， 解得：或. 所以的取值范围是或. （3）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，即或. 所以当时，的取值范围是. 所以，若命题“，”是真命题，则的取值范围是. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 常用逻辑用语（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列语句中是命题的个数为（    ） ①；②不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④是无理数. A．1 B．2 C．3 D．4 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．甲，乙，丙三人参加“中学生诗词大赛”，若该比赛的冠军只有1人，则“甲不是冠军”是“乙是冠军”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．表示不超过x的最大整数，如，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 6．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 7．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列说法中正确的有（  ） A．命题，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10．已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．取整函数：不超过x的最大整数，如，，.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（    ） A．， B．， C．，，，则 D．， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的___________条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”） 13．已知集合，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是___________． 14．已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 16．（15分）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 17．（15分）已知集合，． (1)当时，求； (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，补充在横线上，并解答：若________，求实数a的取值范围． 条件①：“”是“”的充分条件； 条件②：“”是“”的必要条件； 条件③：对，，使得成立． 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分． 18．（17分）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 19．（17分）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 常用逻辑用语（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列语句中是命题的个数为（    ） ①；②不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④是无理数. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由命题的定义，即能够判断真假的语句为命题，对各项一一判断即可 【详解】解：因为能够判断真假的语句为命题， ①，为负整数，所以为正确的命题； ②是无理数，所以是实数，所以是不正确的命题； ③大边所对的角大于小边所对的角，是正确的命题； ④是无理数.，是正确的命题， 所以①②③④都是命题， 故选：D 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 故选：D 3．甲，乙，丙三人参加“中学生诗词大赛”，若该比赛的冠军只有1人，则“甲不是冠军”是“乙是冠军”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】若甲不是冠军，则乙是冠军或丙是冠军； 若乙是冠军，则甲不是冠军， 所以“甲不是冠军”是“乙是冠军”的必要不充分条件. 故选：C. 4．表示不超过x的最大整数，如，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】因为！，则，再分别判断充分性和必要性是否成立即可求解 【详解】若，则，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据点和圆的位置关系可得选项A错误；举例可说明选项B错误；根据等腰三角形和等边三角形的关系可得选项C错误；举例可说明选项D正确. 【详解】A. “点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的充要条件，选项A错误. B. 若两个直角三角形直角边长分别为和，则两个三角形的面积相等，但不能得到这两个三角形全等， 由“两个三角形全等”可得“这两个三角形的面积相等”，故“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的必要不充分条件，选项B错误. C.由“等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形”可得“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件，选项C错误. D.若，则，为无理数，但是有理数， 若为无理数，则，的值可能分别为，不满足，为无理数， 故“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件，选项D正确. 故选：D. 6．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据存在量词命题为假命题，可得：方程无实数根，进而利用判别式进行求解即可. 【详解】命题“”为假命题，则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A． 7．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为是的真子集．再分当和时，进行讨论求解． 【详解】若是的必要不充分条件，则是的真子集． 当时，，所以； 当时，，又（等号不能同时取得），所以． 综上，． 故选：A 8．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列说法中正确的有（  ） A．命题，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D. 【详解】命题p的否定是，，故A正确； 不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 当时，，故C错误； 若关于x的方程有一正一负根，则， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：AD. 10．已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对进行讨论，求解为真命题的充要条件是，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】当时，显然，使得； 当时，，. 综上，命题为真命题的充要条件是， 故选：. 11．取整函数：不超过x的最大整数，如，，.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（    ） A．， B．， C．，，，则 D．， 【答案】BCD 【分析】判断特称命题正确，只要举出例子即可，判断全称命题错误，也只要举出例子即可.可以用特殊值法，举例判断. 【详解】对于A，根据新定义“取整函数”的意义知不一定成立，如x取1.5，，，故A错误； 对于B，x取1，，，B正确； 对于C，设，，若，则，因此，故C正确； 对于D，设，当时，，， 所以，当时，，，所以，即D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的___________条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据古诗的含义依次判断充分性和必要性即可. 【详解】由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立； “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 13．已知集合，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由题意得是的子集，再根据包含关系列出不等式组即可求解. 【详解】因为是的必要条件，所以是的子集， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14．已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 【答案】 【分析】对，不等式恒成立，令，则，求出，解不等式即可得出答案.若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案. 【详解】对，不等式恒成立， 令，则， 当时，即，解得. 因此，当p为真命题时，m的取值范围是. 若q为真命题，则存在，使得成立，所以； 故当命题q为真时，. 又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p真q假时，由，得； 当p假q真时，由或，且，得. 综上所述，m的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据命题中的量词确定其命题性质，再逐一判断命题真假. 【详解】对于（1），因为“有些”是存在量词，所以“有些奇数是合数”是存在量词命题， 比如，9是奇数也是合数，所以该命题是真命题； 对于（2），因为“任何”是全称量词，所以“任何实数都有算术平方根”是全称量词命题. 比如，是实数，但没有算术平方根，所以该命题是假命题； 对于（3），因为“至少有一个”是存在量词，所以“至少有一个数能被3和5整除”是存在量词命题． 比如，15能被3和5整除，所以该命题是真命题； 对于（4），因为“所有的”是全称量词，所以“所有的反比例函数的图象都是中心对称图象”是全称量 词命题.因反比例函数的解析式形如，其图象关于坐标原点中心对称，故该命题是真命题. 16．（15分）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解． （2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解． 【详解】（1）由题意可知：集合是集合的真子集， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以“，则”是真命题，实数的取值范围． 那“，则”是假命题时， 17．（15分）已知集合，． (1)当时，求； (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，补充在横线上，并解答：若________，求实数a的取值范围． 条件①：“”是“”的充分条件； 条件②：“”是“”的必要条件； 条件③：对，，使得成立． 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分． 【答案】(1) (2) 选①：实数a的取值范围是．     选②：a的取值范围是．     选③：a的取值范围是．     【分析】（1）先求出集合，再应用补集和交集计算求解； （2）根据添加的条件，把充分必要条件转化为集合关系，最后列式计算求解. 【详解】（1）当时，， ，所以， 所以． （2）， 选①：“”是“”的充分条件．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     选②：“”是“”的必要条件．． 只需， 解得， 所以实数a的取值范围是．     选③：对，，使得成立．． 只需，解得， 所以实数a的取值范围是． 18．（17分）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据命题p是真命题，则列式计算即可； （2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解之即得； （3）分命题为真，命题为假或命题为假，命题为真两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 19．（17分）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出集合A，根据已知条件得是的真子集，列出关于的不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，分析可得.列出关于的不等式，即可求解； （3）由命题“，”是真命题，得.可先求得“时，的取值范围”，再求得“当时，的取值范围”. 【详解】（1）集合，集合. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以 ，解得. 当时，，符合题意； 所以的取值范围是. （2）若命题“，”是真命题，则集合是的子集. 或. 因为恒成立，所以. 所以或， 解得：或. 所以的取值范围是或. （3）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，即或. 所以当时，的取值范围是. 所以，若命题“，”是真命题，则的取值范围是. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $