精品解析：山西省太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

山西大学附中2025～2026学年第二学期高一5月月考 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：高慧姝 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列说法错误的是（ ）． A. 对于两条确定的异面直线，一定不存在直线与这两条直线都平行 B. 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C. 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线所确定的平面 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线的概念，线面的位置关系求解即可. 【详解】A，若存在直线与两条异面直线都平行，根据平行公理，可推出这两条异面直线互相平行，矛盾，A正确. B，假设过直线外一点有至少两个平面，与已知直线垂直，则，这与假设矛盾，故假设不成立， ∴过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直，B正确． C，已知：直线a，b，c共点且两两垂直， 直线a和b确定的平面为，直线a和c确定的平面为，直线b和c确定的平面为. ∵直线a，b，c共点且两两垂直，直线b和c确定的平面为， ∴由直线与平面垂直的判定定理可得，同理可证，，C正确． D，在空间中，过已知直线上一点有无数条直线都可以与该直线垂直，D错误． 2. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 3. 已知正方体中，E，F分别为所在线段的中点，则满足的图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据正方体的结构特征，应用线面垂直的性质及判定、反证思想判定各项的正误. 【详解】正方体中，设，E，F分别为所在线段的中点， 对于A，因为底面ABCD，又平面ABCD，所以， 若，又且都在平面内，则平面， 又平面，所以，显然不成立， 因而不成立，故A错误； 对于B，同A分析，若，得，所以，显然不成立， 因而不成立，故B错误； 对于C，连接AF，EF，如下图所示： 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 若，因为且都在平面AEF内，所以平面AEF， 由平面AEF，所以，则，显然不成立， 因而不成立，故C错误； 对于D，取BC的中点G，连接AG，EG，如下图所示： 因为平面，平面，所以， 又因为，可得，又因为， 所以且都在平面内，所以平面， 由平面，所以，故D正确． 故选：D 4. 正方体中的棱长为2，直线到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体得特征，将直线到平面的距离转化为点A到平面的距离，即可得出答案. 【详解】解：如图所示，连接交于点， 在正方体中，， 又平面，平面， 所以点A到平面的距离即为直线到平面的距离， 正方体中， ，平面， 又平面，所以平面， 故即为点A到平面的距离， ， 所以直线到平面的距离为. 故选：C. 5. 如图所示，已知，GH，GD，HE分别交，于A，B，C，D，E，F，且，，，，则为（ ）． A. 90 B. 96 C. 108 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】由面面平行的性质有，可知的值，结合三角形面积公式得，即可求. 【详解】∵平面，平面，且， ∴．同理有，又与同向， ∴，又，，， ∴， 同理，由，，，可得． ∴， ∴． 6. 如图，在正三棱柱中，，与平面平行的平面截三棱柱得到截面，若几何体的体积为，且几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用棱柱体积公式求得边长，分别求出两个平面和平面的外接圆半径，圆心分别为和，由球心在上，求得球的半径，从而可得表面积. 【详解】因为， ，所以， 又，所以，， 即． 因为到的距离为，所以到的距离为， 如图，设正方形的外接圆圆心为，半径， 设正方形的外接圆圆心为，半径， 已知几何体的所有顶点均在同一个球面上，设此球的半径为R， 设球心为O，则，解得，， 故该球的表面积为． 7. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为的球面上，并且，C，D在同一平面内，点为此八面体表面上的动点，且，则点Q的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据八面体的性质求出其棱长，进而确定点的轨迹，最后根据圆的周长公式计算轨迹长度. 【详解】考虑点在侧面上运动时点的轨迹长度，如下图所示： 易知，且是边长为2的等边三角形， 则三棱锥是正三棱锥， 则点在底面内的射影点为的中心， 取为的中点，连接，则， 因为， 故，则， 所以，为等腰直角三角形，且， ， 因为为等边的中心，则， 所以，， 因为平面平面， 所以， 则， 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在内的圆弧， 如图，设圆与交于两点， 由于在中， 则，所以， 则， 所以圆在内的一段弧的长为， 则点Q的轨迹长度为. 故选：A. 8. 在三棱台中，的面积是的面积的4倍，为的中点，点满足，该棱台被平面分成不同的两部分，记为体积较小的部分的体积，为体积较大的部分的体积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可推得是线段的中点，则平面即平面，计算求得，，，进而可得，即可得解. 【详解】由于三棱台上下底面的三角形相似，所以， 从而， 则是线段的中点，平面即平面.如图，连接. 设三棱台的高为，，则， 三棱台的体积， 而三棱锥的体积， 则剩余部分四棱锥. 在梯形内，由于，为的中点， 所以，所以. 所以，所以. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面间的位置关系求解即可. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或，又，则，B正确； 对于C：如图， 过直线m作平面，交平面于直线a，因为，所以； 过直线m作平面，交平面于直线b，因为，所以； 所以，且，，所以． ，，所以．又，所以．故C正确； 对于D，若，则与可以相交，D错误． 10. 如图所示，已知圆台的轴截面为ABCD，其中，，M为圆弧AB的中点，则（ ）． A. 圆台的体积为 B. 与AB所在直线垂直的母线有2条 C. 圆台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大值为 D. 过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出圆台的高，根据体积公式判断选项A；把圆台补成圆锥，根据线面垂直的性质判断选项B；把圆台补成圆锥，根据母线与平面所成的角最大判断选项C；利用两条母线所在直线夹角为时截面面积最大判断选项D. 【详解】对于A，因为，， 所以圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 所以圆台的高 ， 所以圆台的体积 ，故A正确； 由，,得， 因为，所以， 如图，将圆台补成圆锥，顶点记为T，底面圆的圆心记为O，连接TO，MO，MT， 则与底面圆垂直，故,因M为AB中点，则． 因为平面，则平面,又平面, 则,即对应的圆台的母线与垂直，由对称性可知，在直径的另一侧也仅有一条母线与垂直，故与AB所在直线垂直的母线有2条，故B正确. 因为平面，所以平面平面ABCD， 此时母线所在直线TM与平面ABCD所成的角最大为， 而，故C正确； 由∠，，可得，，所以， 因,则当两条母线所在直线夹角为时，过这两条母线的截面面积最大，为，故D错误. 11. 如图，在正方体中，M为中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为．当A，P，C三点共线时，，则（ ）． A. 当AB的中点在上时，截面图形的面积为 B. 截面形状可能是五边形 C. 记BD的中点为O，当P在线段OB上时，截面图形是四边形 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据当A，P，C三点共线时以及勾股定理得到，当AB的中点在上时分析得到截面图形为矩形，再求截面面积求解选项A.分析平面可能与正方体的几个侧面相交，进而分析截面图形，求解选项BC.利用展开图及余弦定理求解即求解选项D. 【详解】对于A，当A，P，C三点共线时，P为BD中点，取AB的中点E，连接ME，EP，MP， 则，解得， 记AB中点为E，连接CM，CE，ME， 显然有，， 故点在上，则截面图形为矩形， 又，所以， 则截面图形的面积为，故A错误； 对于B， 如图所示，当P在线段上，且靠近时， 平面与正方体五个面相交，得到五个交点，截面为五边形. 对于C，当P在线段OB上时，平面仅与平面，平面，平面， 以及平面相交，得到四个交点，截面为四边形，C正确. 对于D，将沿BD向下翻折与平面共面，连接， 则的最小值即为线段的长度，P为与BD的交点， 因为， 所以由余弦定理得， 则，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．14题第一空2分，第二空3分．） 12. 水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于______． 【答案】4 【解析】 【详解】由题意知， 则， 为直角三角形，，高， ． 13. 如图AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且，，分别为上、下底面圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据线面垂直判定定理得到平面，再利用三棱锥的体积公式求出，即. 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h， 由得． 又因为，，且， 所以平面， 所以三棱锥的体积， 则，即圆柱的高． 14. 如图，在矩形纸片ABCD中，，，E、F、G、H分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）．若折痕用虚线段连接，则这样的虚线段需要连_______条（用数字作答）；若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为，则该小球的半径___________． 【答案】 ①. 5 ②. ## 【解析】 【分析】第一个空：把矩形纸片ABCD通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠），那么每个面都是正三角形，可知每个正三角形边长均为2； 第二个空：小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体每个面的所有接触点形成的轨迹为一正三角形，该正三角形可视为小球球心在正四面体对应面上的投影，小球球心在正四面体对应面上的投影总面积为，再通过小球半径与正四面体高的关系计算出小球半径为. 【详解】 第一个空：折痕如上图1中虚线段，折叠后点A，B，C，D重合为一点如图2，所以折痕虚线段共5条. 第二个空：小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体每个面的所有接触点形成的轨迹为一正三角形， 该正三角形可视为小球球心在正四面体对应面上的投影， 因此小球任意滚动时，小球球心形成的轨迹为一个小正四面体， 该小正四面体的面与正四面体的对应面平行，距离为半径，设其棱长为， 则小球球心在正四面体对应面上的投影总面积为， 取中点，连接，， 设小球与顶点的正四面体的3个面都相切时的球心为，点在平面上的投影为， 那么为的中心，则在线段上，且， 令在平面上的投影为，则在线段上， 设与平面平行的小正四面体的面交于点，设小球半径为， 那么，， 由，可得，， 则，即. 所以，该小球半径为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）说明：本次考试解答题使用空间直角坐标系均不得分 15. 如图，一个圆锥形空杯倒放在一个装满水的半球形容器上，半球的底面与杯口完全贴合．已知圆锥的底面直径与半球的直径均为10． （1）若圆锥的高是，求该组合体（圆锥与半球）的表面积； （2）若将半球形容器中的水全部倒入圆锥形杯子中，水恰好装满杯子且不溢出，求杯子的高度． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据圆锥以及球的表面积公式求解即可. （2）根据体积相等以及球、圆锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 圆锥的侧面面积为 ， 半球的表面积为 ， 该组合体的表面积为 ． 【小问2详解】 设圆锥的高为h，则圆锥的体积为 ， 半球的体积为． 由题意可知，，即，解得， 所以杯子的高度为10． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，分别为线段，，的中点，与交于点，是线段上一点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接EC , 推导出四边形ABCE 是平行四边形，从而 FO∥AP , 由此能证明 AP∥平面BEF； （2）连接 FH , OH ，推导出 FH ∥ PD , 从而FH∥平面 PAD . 再求出 OH ∥ AD， 从而OH∥平面 PAD，进而平面 OHF∥平面PAD， 由此能证明GH∥平面PAD . 【详解】 证明 : ( 1 ) 连接 EC ， ∵ AD ∥BC ， ∴ BC = AE， BC ∥ AE， ∴四边形 ABCE是平行四边形， ∴ O 为 AC 的中点 . 又∵ F 是 PC 的中点，∴ FO ∥ AP ， 又∵ FO ⊂平面BEF，平面 BEF， ∴ AP ∥平面 BEF . ( 2 ) 连接 FH , OH， ∵ F , H 分别是 PC , CD 的中点 , ∴ FH ∥PD ， 又∵ PD ⊂平面 PAD ,平面 PAD， ∴ FH ∥平面 PAD . 又∵ O 是 BE 的中点， H 是 CD 的中点 , ∴ OH ∥ AD , AD ⊂平面 PAD ,平面 PAD， ∴OH ∥平面 PAD . 又∵ FH ∩ OH = H , ∴平面 OHF ∥平面PAD ， 又∵ GH ⊂平面 OHF ， ∴ GH ∥平面 PAD . 17. 如图，多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥组成，其中，，，E是AC上的一点． （1）若E是AC中点，求异面直线与所成角的余弦值． （2）若E为BD与AC交点，K为线段上一点，且满足平面，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，异面直线与所成角为或其补角，求出三边边长，结合余弦定理可求得结果 （2）由线面平行的性质可得出，由此得出，即可得解. 【小问1详解】 如下图所示，连接交于点F，连接EF， 在三棱柱中，，， 所以，四边形为平行四边形． 因为，所以F为的中点． 又因为E为AC的中点，所以，且， 因为平面，平面，故平面； 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， 所以，所以， 同理可得，， 所以，，， 因为，所以，异面直线与所成角为或其补角， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 如下图所示： 因为，，所以． 因为平面，平面，平面平面， 所以 ，故，因此． 所以，线段上存在一点K，使得平面，且． 18. 如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，． （1）证明：平面ABC； （2）若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）由平面PAC，PE，平面PAC， 所以，． 因为，，所以． 在中，， 在中，，所以，即． 又，AC，平面ABC， 所以平面ABC． （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及判定定理求解即可. （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点，根据线面垂直的判定定理、性质以及线线平行的性质求解即可. （ⅱ）根据线面平行得到F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，再根据正弦函数的定义求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点， 即，使得． 理由如下：连接DE， 因为，所以，所以． 因为平面PAC，平面PAC， 所以，所以． 由（1）可知平面ABC，平面ABC，所以． 又因为，平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE． 因为平面PDE，所以．所以． （ⅱ）由（ⅰ）可知，且平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE，则F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，记为h． 由（ⅰ）知：平面PDE，所以． 在中，由 得， 设直线PF与平面PDE所成角为，则， 所以， 所以直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，AC与BD交于点O． （1）设平面SAB交平面SCD于直线l，求证：； （2）若，且M是棱SD的上任意一点，点M到平面SAB，平面SBC，平面ABCD的距离分别为，，．求； （3）若P，Q分别是线段SB、线段AC上的点，且满足，设PQ与SC所成的角为，PQ与BD所成的角为，求的最大值． 【答案】（1）因为，平面SCD，平面SCD， 所以平面SCD． 又因为平面SAB，平面平面直线l，所以． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理以及性质求解即可. （2）根据等体积法得到代入求解即可. （3）作，由可得，根据角的关系可得，然后即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意可得， ∴， 其中. ， 因为，所以，. 即，解得． 【小问3详解】 作，与BC交于点R，连接RQ，如图． 因为，所以． 又，所以， 所以． 因为底面ABCD是正方形，所以. 因为平面ABCD，平面，所以. 因为平面,所以平面,进而，所以， 则，，且， 所以， 当时，取得最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中2025～2026学年第二学期高一5月月考 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：高慧姝 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列说法错误的是（ ）． A. 对于两条确定的异面直线，一定不存在直线与这两条直线都平行 B. 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C. 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线所确定的平面 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 3. 已知正方体中，E，F分别为所在线段的中点，则满足的图形为（ ） A. B. C. D. 4. 正方体中的棱长为2，直线到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，已知，GH，GD，HE分别交，于A，B，C，D，E，F，且，，，，则为（ ）． A. 90 B. 96 C. 108 D. 144 6. 如图，在正三棱柱中，，与平面平行的平面截三棱柱得到截面，若几何体的体积为，且几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为的球面上，并且，C，D在同一平面内，点为此八面体表面上的动点，且，则点Q的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱台中，的面积是的面积的4倍，为的中点，点满足，该棱台被平面分成不同的两部分，记为体积较小的部分的体积，为体积较大的部分的体积，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 10. 如图所示，已知圆台的轴截面为ABCD，其中，，M为圆弧AB的中点，则（ ）． A. 圆台的体积为 B. 与AB所在直线垂直的母线有2条 C. 圆台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大值为 D. 过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为 11. 如图，在正方体中，M为中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为．当A，P，C三点共线时，，则（ ）． A. 当AB的中点在上时，截面图形的面积为 B. 截面形状可能是五边形 C. 记BD的中点为O，当P在线段OB上时，截面图形是四边形 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．14题第一空2分，第二空3分．） 12. 水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于______． 13. 如图AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且，，分别为上、下底面圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则______． 14. 如图，在矩形纸片ABCD中，，，E、F、G、H分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）．若折痕用虚线段连接，则这样的虚线段需要连_______条（用数字作答）；若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为，则该小球的半径___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）说明：本次考试解答题使用空间直角坐标系均不得分 15. 如图，一个圆锥形空杯倒放在一个装满水的半球形容器上，半球的底面与杯口完全贴合．已知圆锥的底面直径与半球的直径均为10． （1）若圆锥的高是，求该组合体（圆锥与半球）的表面积； （2）若将半球形容器中的水全部倒入圆锥形杯子中，水恰好装满杯子且不溢出，求杯子的高度． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，分别为线段，，的中点，与交于点，是线段上一点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 17. 如图，多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥组成，其中，，，E是AC上的一点． （1）若E是AC中点，求异面直线与所成角的余弦值． （2）若E为BD与AC交点，K为线段上一点，且满足平面，求的值． 18. 如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，． （1）证明：平面ABC； （2）若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，AC与BD交于点O． （1）设平面SAB交平面SCD于直线l，求证：； （2）若，且M是棱SD的上任意一点，点M到平面SAB，平面SBC，平面ABCD的距离分别为，，．求； （3）若P，Q分别是线段SB、线段AC上的点，且满足，设PQ与SC所成的角为，PQ与BD所成的角为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $