黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

**基本信息** 龙东十校联盟高二数学期末卷聚焦数列、函数与导数，融入杨辉三角垛文化素材及“速增数列”新定义，通过基础与创新梯度设计，考查数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、等比数列性质、幂函数图象|结合韦恩图考查集合关系，以“递增数列”辨析充分必要条件| |多选|3/18|等差数列前n项和、三次函数性质|通过“符号函数”新情境考查函数值域与不等式解法| |填空|3/15|函数值域、奇函数解析式、公切线斜率|需分类讨论奇函数分段解析式，体现数学严谨性| |解答|5/77|导数应用、递推数列求通项、新定义“速增数列”|18题以“速增数列”定义探究数列性质，19题综合导数极值与零点证明，考查创新思维与综合应用能力|

龙东十校联盟高二学年数学期末试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为 A. B. C. D. 2.已知数列是等比数列，公比为，则“”是“是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为 A. B. C. D. 4.已知，且，则下列情况不可能成立的是 A. B. C. D. 5.南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的“三角垛”如图所示，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，┄┄，以此类推，则第层小球的个数为 A. B. C. D. 6.已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为 A. B. C. D. 7.已知关于的不等式的解集为，则的解集为 A. B. C. D. 8.若函数和它的导函数定义域都是，函数和都是偶函数，又，当时，恒成立，则当时，一定有 A.，且 B.，且 C.，且 D.，且 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知等差数列的前项和为，则 A.若，，则恒成立 B.若，，则恒成立 C.数列一定是等差数列 D.若数列的前项和，则一定是等差数列 10.已知，函数，则 A.若的两个实数根为，（），则在区间上单调递减 B.的图象一定关于点对称 C.过函数图象上一点，可能作曲线的两条切线 D.若有三个实数根，，，则 11.已知，符号表示不小于的最小的整数，例如，，则 A.对于，都有 B.函数的值域为 C.不等式的解集是 D.若，且方程有且仅有两个相异实根，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分． 12.函数的值域是 . 13.若奇函数的定义域为，当时，，则当时，= . 14.若，函数和的公切线斜率为，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知函数. （1）若，使得，求实数的取值范围； （2）若，使得，求实数的取值范围. 16.（本小题满分15分）已知数列中，，，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列中，，求的前项和. 17.（本小题满分15分）已知函数的图象关于点对称. （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集. 18.（本小题满分17分）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.已知正项数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）判断数列是不是“速增数列”？请说明理由； （3）若数列是“速增数列”，求实数的取值范围. 19.（本小题满分17分）已知函数. （1）若是函数的极大值点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，求证：函数有且仅有1个零点. 数学试卷共4页 第4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙东十校联盟高二学年数学期末试题参考答案 一.单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A B D D C A 1.【解析】由，可得，即，又，图中阴影部分表示的集合为，所以选C. 2.【解析】因为是等比数列，所以，当时，单调递增，当时，是递减数列；当时，单调递减，当时，是递增数列，所以“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件，所以选D. 3.【解析】设，由，得，所以，即，所以，此函数的定义域为，是偶函数，在上单调递减，所以选A. 4.【解析】考虑函数的图象，可得当时，函数单调递增，当时，一定有，所以选B. 5.【解析】设第层小球的个数为，则，，，，以此类推，将上述式子累加可得，，所以选D. 6.【解析】因为函数（且）的图象恒过定点，所以函数恒过定点，因为点在直线上，所以， 由（当且仅当时取等号），所以选D. 7.【解析】因为的解集为，所以，，，即，，所以不等式为，因为，得，解得，所以选C. 8.【解析】因为是偶函数，且是奇函数，所以是奇函数，即，由此可得的图象关于点对称，所以，因为，所以，又因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，即的图象关于点对称，又因为，所以，由此可得函数是周期为的周期函数，当时，，由时，，且，所以单调递增，， 由的图象关于点对称可得，当时，，，所以时，应满足，且，所以选A. 二.多选题 题号 9 10 11 答案 BCD BC BC 9.【解析】因为是等差数列，且，，所以公差，，选项A错误；由，可得，，可得，因为，所以，即恒成立，选项B正确；因为是等差数列，所以选项C正确；设，则，由此可解得，所以 一定是等差数列，选项D正确. 综上所述，答案为BCD. 10.【解析】因为的两个实根为，（），当时，时，，在区间上单调递减；当时，时，，在区间上单调递增，所以选项A错误；由三次函数的图象与性质可知，选项B，C正确；若有三个实数根，，，则 ，所以，即，所以选项 D错误. 综上所述，答案为BC. 11.【解析】当时，，，，选项A错误；设，时，，所以，即的值域为，选项B正确；由可解得，又因为，所以或者，所以，选项C正确；当时，考虑函数和的图象有且仅有两个交点，可得，选项D错误. 综上所述，答案为BC. 三.填空题 题号 12 13 14 答案 12.【解析】因为，所以，即的值域是. 13.【解析】当时，，所以，即时，. 14.【解析】设上的切点为，因为，所以在点的切线方程为，即，设上的切点为，因为，所以在点的切线方程为，即 ，所以由，两边取对数，可得，将，代入，得，所以公切线的斜率满足，令，则，所以当时，，单调递增；时，，单调递减，又因为，，所以由图象可知，，所以的取值范围是. 四.解答题 15.【解析】（1） ┄┄┄┄┄┄┄┄2分 当时，，符合题意； ┄┄┄┄┄┄┄┄3分 当时，在区间上单调， ┄┄┄┄┄┄┄┄4分 由条件可得，即且 ┄┄┄┄┄┄┄┄6分 综上所述，实数的取值范围是. ┄┄┄┄┄┄┄┄7分 （2）由条件可得或， ┄┄┄┄┄┄┄┄9分 由可得，解得 ┄┄┄┄┄┄┄┄10分 由可得，解得 ┄┄┄┄┄┄┄┄11分 综上所述，实数的取值范围是. ┄┄┄┄┄┄┄┄13分 16.【解析】（1）当为奇数时，； ┄┄┄┄┄┄┄┄2分 当为偶数时，， ┄┄┄┄┄┄┄┄4分 所以. ┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （2） ┄┄┄┄┄┄┄┄8分 令 两式相减，得 ┄┄┄┄┄┄┄┄10分 ， 所以， ┄┄┄┄┄┄┄┄13分 即. ┄┄┄┄┄┄┄┄15分 17.【解析】因为的图象关于点对称， 所以恒成立 ┄┄┄┄┄┄┄┄2分 即 所以 所以，即， ┄┄┄┄┄┄┄┄6分 所以. ┄┄┄┄┄┄┄┄7分 （2）因为，所以 ┄┄┄┄┄┄┄┄8分 由此可知，函数在区间单调递减 ┄┄┄┄┄┄┄┄9分 因为， ┄┄┄┄┄┄┄┄11分 所以，即 ┄┄┄┄┄┄┄┄12分 因为 ┄┄┄┄┄┄┄┄13分 当时，，不等式的解集为； ┄┄┄┄┄┄┄┄14分 当时，，不等式的解集为. ┄┄┄┄┄┄┄┄15分 18.【解析】（1）因为， 所以 ┄┄┄┄┄┄┄┄2分 因为，所以， 由此可得，即 ┄┄┄┄┄┄┄┄4分 所以时， ┄┄┄┄┄┄┄┄6分 又当时，也满足 ┄┄┄┄┄┄┄┄7分 所以数列的通项公式. ┄┄┄┄┄┄┄┄8分 （2）数列是“速增数列”. ┄┄┄┄┄┄┄┄9分 因为 所以数列是“速增数列”. ┄┄┄┄┄┄┄┄11分 （3）若是“速增数列”， 则对于恒成立 ┄┄┄┄┄┄┄┄12分 即， ┄┄┄┄┄┄┄┄13分 整理得对于恒成立， ┄┄┄┄┄┄┄┄15分 所以，即. ┄┄┄┄┄┄┄┄17分 19.【解析】（1） ┄┄┄┄┄┄┄┄2分 1 若，当时，，单调递增；当时，， 单调递减，是函数的极大值点，符合题意； ┄┄┄┄┄┄┄┄3分 ②若，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；时，，单调递增，是函数的极大值点，符合题意； ┄┄┄┄┄┄┄┄4分 ③若，则，当时，，单调递增，不是函数的极值点，不符合题意； ┄┄┄┄┄┄┄┄5分 ④若，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；时，，单调递增，是函数的极小值点，不符合题意； ┄┄┄┄┄┄┄┄6分 综上所述，实数的取值范围. ┄┄┄┄┄┄┄┄7分 （2）由（1）可知，当时，在单调递增，在上单调递减，所以. ┄┄┄┄┄┄┄┄9分 （3）由（1）可知， ①当时，在单调递增，且， 所以函数有且仅有1个零点； ┄┄┄┄┄┄┄┄11分 ②当时，在和单调递增，在上单调递减， 且， ┄┄┄┄┄┄┄┄12分 所以在区间无零点 ┄┄┄┄┄┄┄┄13分 ， 令， 所以 所以在上单调递减， 所以在上单调递减，， 即， ┄┄┄┄┄┄┄┄15分 又因为，，所以函数有且仅有1个零点在区间内； ┄┄┄┄┄┄┄┄16分 综上所述，若，函数有且仅有1个零点. ┄┄┄┄┄┄┄┄17分 数学试卷参考答案共8页 第8页 学科网（北京）股份有限公司 $龙东十校联盟高二学年数学期末试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.己知全集U=R,集合A=(x1og2(x+1)>1,B={x∈N|x2≤9}，则图中阴影部分表 示的集合为 A.{1 B.{3 C.{0,1 D.{2,3} 2.己知数列{a,}是等比数列，公比为g,则“q>1”是“{a,}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知幂函数y=f()的图象经过点（√2，马，则f()图象的大致形状为 A B. 4.已知a<b,且(c-a)(c-b)>(d-a)(d-b),则下列情况不可能成立的是 A.c<a<d B.b<c<d C.d<b<c D.a<d<c 5.南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的“三角垛”如图所示，最顶层 有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，---，以此类推，则第10层 小球的个数为 A.44 B.45 C.54 D.55 数学试卷共4页第1页 6.已知函数y=a-+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,且点P在直线mx+ny-1=0 (m>0,”>0)上，则上+1的最小值为 m n A.4 B.4+2V5 C.8 D.9 7.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2)，则bx2+cx+a<0的解集为 A-1 8-U分 C.(-1-√2，-1+V2) D.(-0,-1-2)U(-1+√2，+∞) 8.若函数f(x)和它的导函数f'(x)定义域都是R,函数y=x·f(1-2x)和y=f'(x+2)都 是偶函数，又f(0)=0,当x∈0,1时，f'(x)>0恒成立，则当x∈[2025,2026)时，一定 有 A.f'(x)>0,且f(x)20 B.f'(x)<0,且f(x)≤0 C.f'(x)>0,且f(x)≤0 D.f'(x)<0,且f(x)≥0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知等差数列{an}的前n项和为S,则 A若a025<0,a2o26>0,则Sn≥S06恒成立 B.若S025>0,S2026<0,则Sn≤S1o1恒成立 C.数列3，S,S,…一定是等差数列 n 2n 3n D.若数列{bn}的前n项和Tn=n·an,则{b)一定是等差数列 10.已知a≠0，函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,则 A.若f'(x)=0的两个实数根为x,x2（x<x2),则f(x)在区间(x,x2)上单调递减 数学试卷共4页第2页 B的图象定关于点（品1（品）对称 3a C.过函数f(x)图象上一点，可能作曲线y=f(x)的两条切线 D.若fw=0有三个实数根x,x,,则x,= a 11.已知x∈R,符号{x}表示不小于x的最小的整数，例如{1.4}=2，{-0.2}=0，则 A.对于x,y∈R,都有{x+y}={x}+{y} B.函数y={x}-x的值域为[O,1) C.不等式{x}2-{x}-2<0的解集是(-1,1] D.若a>0,且方程ax-{x}-1=0有且仅有两个相异实根，则a的取值范围是[2，+∞) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数f(x)=4-x的值域是 13.若奇函数f(x)的定义域为R,当x∈0，+o)时，f(x)=x3-2x2-1,则当x∈(-o,0) 时，f(x)= 14.若b>0,函数f(x)=be和g(x)=e+b的公切线斜率为k,则k的取值范围 是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=mx2-4mx-1. (1)若Vx∈[-1，山，使得f(x)≤0，求实数m的取值范围： (2)若m∈-1,1]，使得f(x)≥x2-7,求实数x的取值范围. 数学试卷共4页第3页 an+4,n为奇数 16.(本小题满分15分)己知数列(a}中，a,=1,a2=1,且a+2=}1 aa,n为偶数 4 (1)求数列{an)的通项公式： (2)若数列{b)中，bn=a2m-1an,求{b}的前n项和Sn 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)= 1-+2ax-3的图象关于点(-1,2)对称 Γ2+-1 x+1 (1)求实数a的值： (2)求关于x的不等式f(x2+x+1)>f(2x2-2mx+m2)的解集 18.（本小题满分17分)如果数列{a)对任意的n∈N，a+2-a1>at-a.,则称(a) 为“速增数列”.已知正项数列{a}中，na+2-(n+2)a。2-2aaH=0,a,=1. (1)求数列{an)的通项公式： (2)判断数列{a,)是不是“速增数列”？请说明理由： (3)若数列”+之是“速增数列”，求实数2的取值范围。 a 2 19.（本小题满分17分)已知函数f(x)=ax-二-(a+2)nx. (1)若x=1是函数f(x)的极大值点，求实数a的取值范围： (2)若a≤0，求证：f(x)≤-2； (3)若a≥2，求证：函数f(x)有且仅有1个零点. 数学试卷共4页第4页