专题05 函数（6大考点期末真题汇编，黑龙江专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦函数6大高频考点，汇编黑龙江多校高二期末真题，涵盖定义域、单调性、周期性等核心知识，题型包括单选、多选、填空、解答，梯度覆盖基础巩固与综合应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|29|定义域/值域、单调性/奇偶性等|结合实际情境（如废气过滤问题）| |多选题|9|抽象函数、指对幂函数性质|多考点综合（如奇偶性与单调性结合）| |填空题|20|周期性、函数应用|创新题型（如取整函数值域）| |解答题|3|抽象函数证明、指对幂函数应用|分层设问（如单调性证明与恒成立问题）|

专题05 函数 6大高频考点概览 考点01定义域/值域 考点02单调性/奇偶性 考点03周期性/对称性 考点04抽象函数综合问题 考点05指对幂函数 考点06函数应用 地 城 考点01 定义域/值域 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域求法，建立不等式组，解之即得. 【详解】依题意，函数有意义，等价于， 解得，即函数的定义域为. 故选：D 2．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)定义一种运算则函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】记，利用函数单调性的性质可知为定义域上的单调递增函数，进而化简函数的解析式，结合一次函数的单调性和指数函数的单调性可得出函数的最大值. 【详解】记， 由为定义域上的单调递增函数，为定义域上单调递减函数， 由单调性的性质可知为定义域上的单调递增函数， 又，故由可得，解得； 由可得，解得. 所以. 当时，； 当时，则，. 综上所述，当时函数取到最大值为. 故选：A 3．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由取，，解方程可求. 【详解】因为， 令，则； 令，则， 联立两式可得 ， 故选：A. 4．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)已知二次函数在区间上有最小值，是下面关系式一定成立的是 A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由于当时，函数值为，所以由二次函数的性质可知对称轴应位于中间，从而可得结果. 【详解】因为二次函数的对称轴，当时，函数值为， 所以要使函数在区间上有最小值，对称轴应位于中间， 所以或. 故选：A 二、多选题 5．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)（多选）（多选）若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【分析】由二次函数图象性质数形结合即可分析求解. 【详解】函数的图象如图，， 因为函数的定义域为，值域为， 所以实数的取值范围是. 故选：ABC． 三、填空题 6．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)若函数的定义域为，则实数取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意知恒成立，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 7．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知对一切都有意义，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】结合题意分类讨论m=0和m≠0两种情况求解实数m的取值范围即可. 【详解】①当m=0时，其定义域为R . ②当m≠0时，由定义域为R可知， 对—切实数x均成立， 于是有， 解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 8．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)函数的定义域是_____. 【答案】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】要使得函数有意义，则，解得且， 故函数的定义域为. 故答案为：. 9．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知函数，则________ 【答案】 【分析】根据函数解析式，代入数值计算即可得到答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 10．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)设函数，则________. 【答案】 【分析】由函数的解析式由内到外计算可得出的值. 【详解】，则，故. 故答案为：. 11．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)函数的值域为________． 【答案】 【分析】化简函数为，根据其单调性求解即可． 【详解】由， 函数在上单调递减， 所以当时，， 当时，， 所以函数的值域为． 故答案为：． 12．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知函数 的定义域与值域都为，则实数的值为______ 【答案】 【分析】利用二次函数的定义域即为满足条件的解集，即可判断开口方向和二次函数的零点，从而得到参数的两个关系式，再利用值域中的最大值，即为二次函数的最大值开方，则再得到一个相等关系，从而利用消元法，即可解得参数. 【详解】由于的值域为，所以， 的定义域为，则方程的两根为， 所以， 则抛物线的对称轴为 ， 故答案为：. 13．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．若，则______﹔已知，，则函数的值域为______． 【答案】 0 【分析】根据题意，由取整定义直接得到的结果，然后将变形，分析其取值范围，结合取整函数定义，分析得到的值域. 【详解】由取整函数定义可知，所以； 设，则， 当时，，，，， 当时，，，，， 所以，所以， 所以的值域为. 故答案为：0； 地 城 考点02 单调性/奇偶性 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据条件判断函数在上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可． 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 2．(24-25高二下·黑龙江大庆东风中学·期末)已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数在定义域内单调递减，结合分段函数解析式，每一段应是减函数，且分界点处左段函数的函数值不小于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可. 【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减， 则一定有，解不等式组得. 故选：B. 3．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 4．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值. 故选：B. 5．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．-1 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出当时的解析式，再求出及目标值. 【详解】当时，，令，则，， 因此当时，，由函数是上的奇函数，， 得，则，解得， 所以. 故选：C 6．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先探讨函数的性质，再由所得性质去掉不等式中的法则“f”求解即得. 【详解】函数定义域为R，，即是偶函数， 在时，，于是得在上单调递增， 从而有， 两边平方整理得：，解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：A 7．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得则是定义在的偶函数，且在单调递减，则等价于，建立不等式组即可求解. 【详解】可知的定义域为，关于原点对称，且， 则是定义在的偶函数， ，可知在单调递减， 在单调递减， 则等价于， ，解得. 故选：D. 二、多选题 8．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 9．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)（多选）下列命题，其中正确的命题是（   ） A．函数的最大值为 B．函数的减区间是 C．若，则为1 D．已知在上是增函数，若，则 【答案】ACD 【分析】利用指数函数单调性即可对A判断；由函数的定义域为，可对B判断；运用指对数互化和换底公式，以及对数运算性质可对C判断；利用假设，再结合函数单调性得与题意矛盾，可证假设不成立，则可对D判断. 【详解】A：由，所以，故A正确； B：函数的定义域为，解得，因此函数的单调递减区间为,故B错误； C：若，则，，则，故C正确； D：假设，则，则,由于在上是增函数， 则，，所以，这与矛盾，则假设不成立，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 10．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)函数在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，求解即可. 【详解】因为在上单调递增，又在单调递增， 则需满足，解得， 则的取值范围为. 故答案为：. 11．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由函数的基本性质可得，若，则，进一步即可得解. 【详解】设，，首先定义域关于原点对称， 且，所以是奇函数， 不妨设，则， 所以. 故选：C. 12．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，_______． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】令，则，因为是定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：. 地 城 考点03 周期性/对称性 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先利用图象变换得出为偶函数，再利用得出的周期，进而利用周期性和对称性即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象， 由函数的图象关于直线对称， 可知函数的图象关于y轴对称，故为偶函数， 又由，得，则， 所以是周期为8的偶函数，则． 故选：B. 2．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 【答案】C 【分析】由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D. 【详解】由为奇函数有：，即，又，所以，所以， 即，所以，所以，故A正确； 由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称， 当时，，作出函数的图像：    由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数，所以， 所以当，，即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确； 由，又，在单调递减，所以，故C错误； 由于，，，， 所以，且是以4为周期的周期函数，所以，故D正确， 故选：C. 3．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知定义在上的函数满足，且函数为偶函数，当时，，则（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】根据函数对称性和偶函数的条件推出6是的一个周期，利用函数的周期性和解析式条件即可求得答案. 【详解】由可得①， 又由函数为偶函数可得，则②， 由① ②两式可得：，从而得， 即，故6是的一个周期. 因为当时，， 故. 故选：C． 4．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设条件可得是周期为4的周期函数，结合给定区间解析式，利用周期性、奇偶性求的值. 【详解】由题意，在上的奇函数，且，得， ∴，则，即， ∴，即是周期为4的周期函数， 当时，，则. 故选：B. 二、多选题 5．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)（多选）已知函数是上的奇函数，，且当时，．函数是上的偶函数，，且，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．是周期为4的周期函数 C．在上单调递增 D． 【答案】ABD 【分析】由及函数是上的奇函数推导出，判断A，推导出判断B，利用赋值法求得为常数函数判断C，由将所求式子转化为，求出函数的一个周期和，结合函数周期性可判断D. 【详解】因为，所以，所以， 又函数是上的奇函数，所以，则， 即函数的图象关于直线对称，故A正确； 由可得， 所以函数是周期为4的周期函数，故B正确； 函数是上的偶函数，，且， 令得，所以，令得， 所以，所以在上为常数函数，故C错误； 因为函数是上的奇函数，所以，又当时，， 所以，则，所以， 又，所以 ，故D正确. 故选：ABD 地 城 考点04 抽象函数综合问题 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知函数的定义域为，对于任意的实数，都有.且当时，.则下列结论不正确的是（ ） A． B．对于任意的，有 C．函数在上单调递增 D．若，则不等式的解集为 【答案】C 【分析】令，，结合可求得，知A正确；令，由可推导证得B正确；令，由可知C错误；将所求不等式转化为，结合单调性可得自变量大小关系，解一元二次不等式可知D正确. 【详解】对于A，令，，则； 由时，得：，，A正确； 对于B，令，则； 当时，，，， 对于任意，，B正确； 对于C，设， ； ，，即，又， ，在上单调递减，C错误； 对于D，，， 则可化为：， 又在上单调递减，，即， 解得：，即不等式的解集为，D正确. 故选：C. 2．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可. 【详解】因为，所以，所以. 由，得，两式相加得，所以， 所以，所以是以6为周期的周期函数. 当时，，又，所以，所以，所以； 当时，，所以，因为， 所以 ， 所以 . 故选：D. 二、多选题 3．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)（多选）已知函数的定义域为，，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】按照各选项的形式，反复利用赋值法，逐个验证即可. 【详解】对于A，令，得到，又，则，所以A错误. 对于B，令，得到，由选项A知， 所以，故B正确. 对于C，令，则，即， 令可得，故，而， 所以，故C正确， 对于D，由，则， 所以， ，由可知， ，即，故D错误. 故选：BC. 4．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)（多选）已知定义在上的函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①；② ，当时，；③.则下列选项成立的是（    ） A．在上单调递减， B． C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】由①可得，为偶函数.由②可得，在上单调递增.后分析选项可得答案. 【详解】由得：在上单调递增，由，得：函数是上的偶函数. 对于A选项，因在上单调递增，且为偶函数，则在上单调递减，故A正确. 对于B，C选项，因为偶函数，则. 又在上单调递增，则故B错误； ，又函数的图像是连续不断的，则有，解得故C错误； 对于D选项，由及得： ，解得或， 由得：，解得 则可化为：或，解得或，即，故D正确. 故选：AD 三、填空题 5．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则_____. 【答案】2022 【分析】利用题干中函数的奇偶性，可以得到函数的两种对称性，通过替换变量推导，可以得到函数的周期，通过赋值求出的值，再看包含多少个完整的周期，余下几项，即可得到答案. 【详解】为奇函数，，即，关于点对称， 为偶函数，，关于直线对称， ，将其代入，得， 用替换，得， 将代入，得，即 故的周期为4， ，由，令，得； 由，令，得 ， ， 故答案：2022. 四、解答题 6．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对进行赋值，计算即可求得答案； （2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得； （3）利用（1）已得将不等式等价变形得到，再利用函数的单调性得到，求出函数的最小值，代入求解关于的一元二次不等式即可. 【详解】（1）由，取，可得：， 又当时，，则， 再取，可得：； （2） ， ，且，则，依题， 则， 即在上单调递减； （3）由已知， 又由（1）得，则有， 因在上单调递减，则恒成立， 即恒成立，又， 则，解得， 故实数的取值范围为. 地 城 考点05 指对幂函数 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知幂函数，则是（    ） A．偶函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递减 C．奇函数且在上单调递增 D．奇函数且在上单调递减 【答案】B 【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性再由幂函数的单调性可得. 【详解】为定义域上的偶函数且在上单调递减. 故选：B. 2．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)设，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数和幂函数的性质分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，得，即， 因为在上单调递增，且， 所以，得，即， 因为在上单调递增，且， 所以，得，即， ，， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 所以，即，则， 所以. 故选：A. 3．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可. 【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 4．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】A 【分析】根据函数为幂函数，得到方程，求出或1，由单调性排除，得到答案. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，，在上单调递增，不合要求， 当时，，在上单调递减，满足要求. 故选：A 5．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数定义结合对数运算可得，进而整理可得，利用换元法令，根据题意结合分类讨论解决二次函数的最值问题. 【详解】因为函数是偶函数，则， 则，则， 所以，则， 所以， 令，当且仅当，即时取等号，则， 由题意可得的最小值为，因的对称轴为， 则当，即时，在上单调递增，当时取到最小值， 则，解得：； 则当，即时，，在上单调递减，在上单调递增，当时取到最小值， 则，解得：（舍去）， 综上所述：，故B正确. 故选：B. 6．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知是奇函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由奇函数性质可得，列方程求，再检验所得结果即可. 【详解】由，可得，所以， 所以的定义域为， 因为是奇函数，所以， 又，， 所以，解得. 当时，， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以此时是奇函数 故选：D. 二、多选题 7．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)（多选）下列说法正确的是（   ） A．若函数是幂函数，则实数的值是或2 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若函数，则对于任意的，有 【答案】ABD 【分析】由幂函数可得，即可对A判断；由幂函数的性质，即可对B判断；由为偶函数且在上单调递减，即可对C判断；要证，即证，化简得，从而可对D判断. 【详解】A：函数是幂函数，则，解得或，经检验符合题意，故A正确； B：幂函数始终经过点和，故B正确； C：函数，， 则为偶函数且在上单调递减，所以在区间上单调递增，故C错误； D：则对于任意的，要证，即证， 即，即，则成立，故D正确. 故选：ABD. 8．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)（多选）若函数的图象经过平移后可以与的图象完全重合，则称与是“同形函数”.下列各组函数中，与是“同形函数”的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【分析】先将函数解析式进行变形，再根据图像平移变化的规律可判断选项A，C，D；根据函数与的定义域可判断选项B. 【详解】对于A：因为 故可将的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的图象，故A正确； 对于B：因为函数的定义域为，而的定义域为， 则两函数的定义域无法通过平移而重合，故函数和图象不能通过平移而重合，故B错误； 对于C：因为，故可将的图象向上平移个单位得到的图象，故C正确； 对于D：因为，故可将的图象向左平移个单位得到的图象，故D正确. 故选：ACD. 9．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．在上是减函数 C．的值域为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】A选项，计算出，A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，分离常数后求出函数值域；D选项，根据A选项得到，再得到函数的单调性，从而得到不等式，求出解集. 【详解】A选项，， 则， 故的图象关于点对称，A正确； B选项，，，，故在上不是减函数，B错误； C选项，因为，所以， 则，故的值域为，C正确； D选项，由A知，，故， 又，且， 则， 因为在R上单调递增，又，所以， 故，故在R上单调递增， 故，解得，D正确. 故选：ACD 三、填空题 10．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知函数，且，则________． 【答案】7 【分析】首先分析函数在上的取值范围，即可得到，再根据指数与对数的关系计算可得. 【详解】解：因为且， 当时，，故，则， ∴，解得， 故答案为：． 四、解答题 11．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知函数的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象上. (1)求实数a的值； (2)若函数有两个零点，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数图象的平移变换可得点A坐标，然后代入函数可解； （2）将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，作图可解. 【详解】（1）函数的图象可由指数函数的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到. 因为函数的图象过定点，故函数的图象恒过定点， 又因为A点在图象上，则 ∴解得 （2）， 若函数有两个零点，则方程有两个不等实根， 令，，则它们的函数图象有两个交点， 由图可知：，故b的取值范围为. 12．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知函数为上的奇函数 (1)求实数的值. (2)判断的单调性（不需要证明）. (3)若正实数满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)是上的增函数 (3) 【分析】（1）由条件结合奇函数性质可得，解方程可求得，再证明满足条件； （2）结合指数函数性质说明函数为增函数，再由幂函数性质说明为增函数，由此可得结论； （3）由条件结合函数性质可得，再结合基本不等式求的最小值. 【详解】（1）为上的奇函数 ， 当时，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以当时函数为奇函数， ∴ 时，符合题意，故； （2）因为， 又函数为增函数，且函数的值域为， 所以函数为上的增函数， 又为上的增函数， 为上的增函数 （3）因为为上的奇函数且为增函数 所以 所以， 因为为正实数， 所以， 当且仅当时，即时取最小值6. 故当时，取最小值，最小值为. 地 城 考点06 函数应用 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)方程的根所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在定理可得出结果. 【详解】令， 故函数为定义在上的连续函数，且显然为增函数， 因为，，， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为. 故选：C. 2．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数是（   ） A． B． C． D．多于 【答案】A 【分析】作出函数的图象与函数的图象，由图象可得交点个数． 【详解】，故为一个周期为2的周期函数，且时，， 且为偶函数， 由题意，同一坐标系内作出函数的图象与函数的图象， 则由图象可得，有个交点， 故选：A． 3．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（   ） A． B．8 C． D．12 【答案】A 【分析】作出函数的图象，结合函数的图象的对称性性，确定方程和的根，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，关于的方程，即，解得：或， 作出函数的大致图像，如图所示， 当时，有三个根，其中一个根为2，另两个根关于直线对称； 当时，有两个根，这两个根也关于直线对称. 所以原方程一共有5个根，可得，故A正确. 故选：A. 4．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出及，则有 ，然后利用函数单调性求解范围即可． 【详解】作出函数的图象如下图所示：    若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以 ，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 5．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么要消除一半的污染物需要花的时间大约是（    ）（参考数据：） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【分析】利用前9小时污染物减少，建立方程求解k，通过取对数将指数方程转化为线性方程，结合参考数据化简计算，把求得的k代入模型，计算污染物减少一半所需时间. 【详解】由题意得， ∴. 故选：D. 6．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据条件得出，再利用对数的运算法则解不等式即可. 【详解】由题意可知，， 解，即， 得 ， 该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为. 故选：C 二、填空题 7．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)已知偶函数满足，当时，，方程有10个根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先给出，故2为函数的周期，因为函数为偶函数，所以方程在上有5个根，结合图象求解． 【详解】由题意知偶函数满足， 即，故2为函数的周期； 因为函数为偶函数，所以方程在上有5个根， 作出函数在上的图象，如图： 结合图象可知需满足，即实数a的取值范围是 故答案为： 8．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于______. 【答案】 【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和-16，数形结合三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，得到答案. 【详解】画出的图象，如下：    令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 根据对勾函数性质得，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，其在定义域内单调递减， 令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和-16， 由图象可知，三个整数根中，必有一个小于2， 显然只有满足要求，此时，故， 令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为， 所以最大整数解和最小整数解之积为. 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数 6大高频考点概览 考点01定义域/值域 考点02单调性/奇偶性 考点03周期性/对称性 考点04抽象函数综合问题 考点05指对幂函数 考点06函数应用 地 城 考点01 定义域/值域 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)定义一种运算则函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 3．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)已知二次函数在区间上有最小值，是下面关系式一定成立的是 A．或 B． C．或 D．或 二、多选题 5．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)（多选）（多选）若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 三、填空题 6．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)若函数的定义域为，则实数取值范围是______. 7．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知对一切都有意义，则实数m的取值范围为_______. 8．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)函数的定义域是_____. 9．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知函数，则________ 10．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)设函数，则________. 11．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)函数的值域为________． 12．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知函数 的定义域与值域都为，则实数的值为______ 13．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．若，则______﹔已知，，则函数的值域为______． 地 城 考点02 单调性/奇偶性 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·黑龙江大庆东风中学·期末)已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 5．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．-1 6．(24-25高二下·黑龙江佳木斯第八中学·期末)已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 9．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)（多选）下列命题，其中正确的命题是（   ） A．函数的最大值为 B．函数的减区间是 C．若，则为1 D．已知在上是增函数，若，则 三、填空题 10．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)函数在上单调递增，则的取值范围是______． 11．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 12．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，_______． 地 城 考点03 周期性/对称性 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25高二下·黑龙江大庆大庆中学·期末)定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 3．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知定义在上的函数满足，且函数为偶函数，当时，，则（    ） A． B．2 C． D．0 4．(24-25高二下·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第二高级中学·期末)（多选）已知函数是上的奇函数，，且当时，．函数是上的偶函数，，且，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．是周期为4的周期函数 C．在上单调递增 D． 地 城 考点04 抽象函数综合问题 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知函数的定义域为，对于任意的实数，都有.且当时，.则下列结论不正确的是（ ） A． B．对于任意的，有 C．函数在上单调递增 D．若，则不等式的解集为 2．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 二、多选题 3．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)（多选）已知函数的定义域为，，，且，则（ ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)（多选）已知定义在上的函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①；② ，当时，；③.则下列选项成立的是（    ） A．在上单调递减， B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 5．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则_____. 四、解答题 6．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 地 城 考点05 指对幂函数 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知幂函数，则是（    ） A．偶函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递减 C．奇函数且在上单调递增 D．奇函数且在上单调递减 2．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)设，，则（　　） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2 5．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 6．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)已知是奇函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 二、多选题 7．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)（多选）下列说法正确的是（   ） A．若函数是幂函数，则实数的值是或2 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若函数，则对于任意的，有 8．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)（多选）若函数的图象经过平移后可以与的图象完全重合，则称与是“同形函数”.下列各组函数中，与是“同形函数”的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．在上是减函数 C．的值域为 D．不等式的解集为 三、填空题 10．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知函数，且，则________． 四、解答题 11．(24-25高二下·黑龙江双鸭山部分学校·期末)已知函数的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象上. (1)求实数a的值； (2)若函数有两个零点，求实数b的取值范围. 12．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)已知函数为上的奇函数 (1)求实数的值. (2)判断的单调性（不需要证明）. (3)若正实数满足，求的最小值. 地 城 考点06 函数应用 一、单选题 1．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)方程的根所在的区间为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数是（   ） A． B． C． D．多于 3．(24-25高二下·黑龙江牡丹江第一高级中学·期末)定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（   ） A． B．8 C． D．12 4．(24-25高二下·黑龙江绥化哈尔滨师范大学青冈实验中学校·期末)设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·黑龙江龙东联盟·期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么要消除一半的污染物需要花的时间大约是（    ）（参考数据：） A．22 B．24 C．26 D．28 6．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 7．(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)已知偶函数满足，当时，，方程有10个根，则实数的取值范围是__________. 8．(24-25高二下·黑龙江大庆实验中学·期末)已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $耐学科网 www.zxxk 专题05 目目 考点01 定义域/值域 一、 单选题 1.D 2.A 3.A 4.A 二、多选题 5.ABC 三、填空题 6.[0,8) 7.[0,1] 8.(-∞，-3)U(-3,-2] 9.-3. 10.2 11.[2,6] 12.-4 13. 0{1,2,3} 目目 考点02 单调性/奇偶性 一、单选题 1.D 2.B 3.A 4.B. 5.C 6.A 7.D 二、多选题 8.AD 1/5 com 让 函数 教与学更高效 耐学科网 www.zxxk.com 9.ACD 三、填空题 10.[-号，-1] 11.C. 12.-3x2-2x. 目目 考点03 周期性/对称性 一、单选题 1.B 2.C 3.C 4.B 二、多选题 5.ABD 目目 考点04 抽象函数综合问题 一、 单选题 1.C 2.D 二、多选题 3.BC 4.AD 三、填空题 5.2022 四、解答题 6.【详解】(1)由f(x+y)=f(x)f(y),取x=1,可得： 又当x>0时，0<f(x)<1,则f(1)=青， 再取x=1,y=2,可得：f(3)=f(1)·f(2)=7: (2):f(x)≠0·fx=f等+)=[f()>0, 2/5 让教与学更高效 f(2)=f2(1)=, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VX1X2∈R,且x1<X2,则x2-X1>0,依题0<f(x2-x)<1, f (x2)=f(2-x+x)=f(x2-x))f(x<f(x). 即f(x)在R上单调递减； (3)由已知3f(2x2-a2+a)≤f(x-5)f(3x-4)=f(4x-9), 又由(1)得f(1)=青，则有f(2x2-a2+a)≤青f(4x-9)=f(1)f(4x-9)=f(4x-8), 因f(x)在R上单调递减，则2x2-a2+a≥4x-8恒成立， 即2x2-4x+8≥a2-a恒成立，又2x2-4x+8=2(x-1)2+6≥6， 则a2-a≤6，解得-2≤a≤3， 故实数a的取值范围为[-2,3] 目目 考点05 指对幂函数 一、单选题 1.B 2.A 3.A 4.A 5.B 6.D 二、多选题 7.ABD 8.ACD 9.ACD 三、填空题 10.7. 四、解答题 11.【详解】(1)函数g(x的图象可由指数函数y=(a+1)的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移 1个单位长度得到 因为函数y=(a+1的图象过定点(0,1)，故函数g(x)的图象恒过定点A2,2, 3/5 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又因为A点在f(x)图象上， 则f2)=1og2+-2 2十a=3解得a=1 (2)h(x)=g(x+2)-2-2b=|2-1-2b, 若函数h(x)有两个零点，则方程2-1=2b有两个不等实根， 令(x)=2-1,x)=2b,则它们的函数图象有两个交点， 由图可知：0<2b<1,故b的取值范围为(0，专) 4” u() 2 1 v(x) 方之101立$按 -1 -2 -3引 12.【详解】(1)f8)=3+寺为R上的奇函数→f0)=梦=0→k=1, 当k=1时，函数(8)=x3+号的定义域为R,定义域关于原点对称， 且f(-x刘=(-x3+号=-x3+=-f, 所以当k=1时函数)=x3+吊为奇函数， :k=1时，符合题意，故k=1: 2)因为y==1-异， 又函数y=3+1为增函数，且函数y=3+1的值域为(1，+o), 所以函数y==1-为R上的增函数， 又y=x3为R上的增函数， :f区)=x3+希为R上的蜡函数 (3)因为fx)为R上的奇函数且为增函数 所以f(2a-1)+f(b-1)=0→f2a-1)=-fb-1)=f1-b)→2a-1=1-b 所以2a十b=2, 4/5 命学科网 www.zxxk.com 因为a,b为正实数， 所以唱+告=贵+地=贵+兽+2≥2唱鲁+2=6， 台=号 ∫a=方 当且仅当 ,2a+b=2 时，即b=1 时取最小值6. 故当a=,b=1时，台+号取最小值，最小值为6. 目目 考点06 函数应用 一、单选题 1.C 2.A 3.A 4.D 5.D 6.C 二、填空题 7.5,7） 8.-128 5/5 让教与学更高效