精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

2022-2023学年度高二第二学期末 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据属于的定义，结合子集的定义，进行判断即可 【详解】集合，则，选项A错误，，选项B正确；，，选项C，D错误． 故选：B 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】特称命题的否定：将存在改为任意并否定原结论，即可得答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为. 故选：D 3. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到，再利用不等式的基本性质判断. 【详解】解：因为， 所以， 则，即， 则，即， 则，即， 故选：B 4. 已知： ，q: ，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断命题P和q之间的逻辑推理关系，即可判断出答案. 【详解】解不等式得或， 由已知即，则p成立时，q: 一定成立； 当q: 成立时，可能是，不一定是， 故p是q的充分不必要条件， 故选：A 5. 设函数为一次函数，且，则（ ） A. 3或1 B. 1 C. 1或 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】 利用待定系数法设一次函数，代入等式求解，求出函数解析式. 【详解】设一次函数， 则， ， ， 解得或， 或， 或. 故选：B. 【点睛】此题考查利用待定系数法求函数解析式，涉及多项式相等对应项系数相等建立方程组，准确计算即可求解. 6. 若函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性得到，解得答案. 【详解】函数在区间上是增函数，则，解得. 故选：D 7. 已知函数为偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数在区间上的单调性，由偶函数的性质得出，将不等式化为，变形为，再利用函数在区间上的单调性求解. 【详解】由于函数是偶函数，且在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减，且有， ，由，得，则有，， 解得，因此，不等式的解集为，故选B. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，在函数为偶函数的前提下，充分利用性质，借助函数在上的单调性求解，可简化计算，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题. 8. 函数为定义在上的偶函数，且满足，当 时，则（ ） A. -1 B. C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得函数周期为2， 结合解析式可求得 详解】由题：，必有， 所以，即函数周期， 当 时， 则. 故选：C 【点睛】此题考查函数周期性的辨析，对函数的代换要求较高，需要在平常的学习中积累常见函数周期的特征，另外，此题作为填空题，可以考虑计算出特殊值依次观察规律猜测周期，大题慎用. 二、多选题：（9-12题，每题5分，部分答对得2分，共计20分） 9. (多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A. B. C. ) D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式确定正确选项. 【详解】A选项，由于，所以，A选项错误. B选项，正确，B选项正确. C选项，，C选项错误. D选项，，D选项正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数x､y满足，则的最小值为3 D. 因为x､，，所以 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，当时，可以判断A选项；对于B选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可判断，对于C选项，可以利用基本不等式求出的最小值为3，所以C选项正确，对于D构造基本不等式的，就可得出结论. 【详解】对于A选项，当时，，故A选项错误， 对于B选项，当时，， 则， 当且仅当时，等号成立，故B选项正确， 对于C选项，若正数、满足，则， ， 当且仅当时，等号成立，故C选项正确， 对于D选项，因为x､，，所以 所以，于是 当且仅当即时取等号. 故选：BCD． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调增区间为 B. 函数为奇函数 C. 幂函数是减函数 D. 图像关于点成中心对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数性质相关的定义以及复合函数的同增异减性质逐项分析. 【详解】对于A， ， 是减函数， 在 是减函数， 在 是增函数，根据复合函数同增异减的性质，在 时是增函数，正确； 对于B， ，是奇函数，正确； 对于C， ，当 时， 并且是减函数， 所以 是增函数，错误； 对于D， ，相当于函数 先向左平移2个单位，再向上平移2个单位， 而 是关于原点对称的，所以 是关于 对称的，正确； 故选：ABD. 12. 已知（常数），则（ ） A. 当时，在R上是减函数 B. 当时，没有最小值 C. 当时，的值域为 D. 当时，，，有 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，比较时两段的值可判断；对B，分别判断和时函数单调性即可得出；对C，根据单调性求出值域即可判断；对D，求出和时范围即可得出. 【详解】对于A，当时，，，所以在R上不是减函数，A错误． 对于B，当时，在上是减函数，无最小值，又在上是减函数，也无最小值，因此无最小值；当时，在上是增函数，，但，所以无最小值． 综上，当时，无最小值，B正确． 对于C，当时，，当时，由，得是增函数，所以，所以的值域是，C错误． 对于D，当时，由，得，所以．而当时，，，因此，，使得，即，D正确． 故选：BD． 第Ⅱ卷（共90分） 三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分） 13. 已知，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】用配凑法求出，直接代入求解. 【详解】，把整体换成x，可得，所以． 故答案：6 14. 设函数的定义域为，则函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】 由函数的定义域，得到，令，即可求得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即， 所以在函数中，令，解得， 即函数的定义域是. 故答案为： 15. 已知函数的定义域是，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域为可得对恒成立，对参数的取值范围分类讨论，分别求出对应的范围，进而得出结果. 【详解】因为函数的定义域为，所以对恒成立， 当时，，符合题意； 当时，由，解得； 当时，显然不恒大于或等于0． 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 16. 已知正数满足，则的最大值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，表达出，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可. 【详解】设，则， 所以，当且仅当时取等号. 所以，解得，即的最大值，当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分） 17. 求下列函数的值域. （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，于是，由二次函数的性质求解． （2）设，于是，由反比例函数的性质求解． 【小问1详解】 设，则，且， 于是， 所以的值域为． 【小问2详解】 设，由，得，且， 于是， 由，得， 得， 所以的值域为： 18. 已知合，或． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入化简集合，再利用集合的交集运算，结合数轴法可得结果； （2）利用集合与充要条件的关系得到是的真子集，结合数轴法即可求得m的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以或或， 又因， 所以. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 又因为，或， 所以或，故或， 故实数m的取值范围为. 19. 今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划采用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万元，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且通过市场调研得知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完． （1）求出今年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额成本）； （2）今年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）依题意可得，代入即可得到函数解析式； （2）根据二次函数及基本不等式求出各段函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 解：由已知， 又， ， ，. 【小问2详解】 解：当时，， 当时，有最大值，最大值（万元）． 当时，，， 当且仅当，即时，等号成立，此时有最大值，最大值（万元）， 综上所述，当产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润为万元． 20. 如图，在五面体中，底面四边形为正方形，平面平面. （1）求证：； （2）若，，，，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）证明平面，即得证； （2）以D为坐标原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【详解】证明：（1）在正方形中，， 平面，平面， 平面， 又平面，且平面， . （2）四边形为正方形， ，平面, 平面， 平面， ， 又，以D为坐标原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，， 可知为平面的一个法向量， 设平面一个法向量为， ，则，令，， 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 21. 已知椭圆焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知是椭圆上的两点，以椭圆中心为圆心的圆的半径为，且直线与此圆相切.证明：以为直径的圆过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意联立方程组解出即可；（2）当直线直线垂直于轴时， 求出，验证即可；当直线不垂直于轴时， 即直线斜率存在时，设直线的方程，求出到直线的距离， 联立方程组消元，韦达定理，写出化简即可. 【小问1详解】 由题意可知， 解得 所以椭圆的标准方程. 【小问2详解】 ①当直线垂直于轴时，不妨设 此时， ， 故以直径的圆过定点； ②当直线不垂直于轴时， 设直线的方程为， 因为直线与圆相切， 所以到直线的距离， 即， 由可得， 所以， ， 所以， 即. 故以为直径的圆过定点， 综上所述：以为直径的圆过定点. 22. 已知函数． （1）若函数在，处取得极值，且函数的极小值为－1，求的解析式； （2）若，函数的图象上的任意一点的切线斜率为，有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据函数的极值点及极小值列出方程组，求出，，得到答案； （2）根据导函数的几何意义得到时，恒成立，参变分离，构造函数，得到其单调性和最值情况，从而得到实数的取值范围. 【小问1详解】 因为在，处取得极值，且， 所以，，解得． 故， 所以当或时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以当时，函数有极小值， 又因为函数极小值为-1，所以， 所以． 【小问2详解】 由题意，知时，恒成立， 即， 当时，成立，满足要求， 当时，，则在时恒成立， 设，． 由，知在内是单调递增的，所以． 所以，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年度高二第二学期末 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知： ，q: ，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设函数为一次函数，且，则（ ） A. 3或1 B. 1 C. 1或 D. 或1 6. 若函数在区间上是增函数，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 函数为定义在上的偶函数，且满足，当 时，则（ ） A. -1 B. C. 2 D. -2 二、多选题：（9-12题，每题5分，部分答对得2分，共计20分） 9. (多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A. B. C. ) D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数x､y满足，则最小值为3 D. 因为x､，，所以 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调增区间为 B. 函数为奇函数 C. 幂函数是减函数 D. 图像关于点成中心对称 12. 已知（常数），则（ ） A. 当时，在R上是减函数 B. 当时，没有最小值 C. 当时，的值域为 D 当时，，，有 第Ⅱ卷（共90分） 三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分） 13. 已知，则______． 14. 设函数的定义域为，则函数的定义域是______． 15. 已知函数的定义域是，则的取值范围为______． 16. 已知正数满足，则的最大值是___________. 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分） 17. 求下列函数的值域. （1）； （2） 18. 已知合，或． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 19. 今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划采用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万元，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且通过市场调研得知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完． （1）求出今年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额成本）； （2）今年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大，最大利润多少？ 20. 如图，在五面体中，底面四边形为正方形，平面平面. （1）求证：； （2）若，，，，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 21. 已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知是椭圆上两点，以椭圆中心为圆心的圆的半径为，且直线与此圆相切.证明：以为直径的圆过定点. 22. 已知函数． （1）若函数在，处取得极值，且函数的极小值为－1，求的解析式； （2）若，函数的图象上的任意一点的切线斜率为，有恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$