第一章 勾股定理 单元检测卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册勾股定理单元卷，通过基础巩固、实际应用及规律探究，全面考查勾股定理的理解与应用，适配单元复习，强化数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数判断（如3,4,5）、正方形面积与边长关系|结合《周髀算经》文化素材，基础概念辨析| |填空题|5/15|直角三角形边长计算、三角形形状判定|融入方向角实际情境，考查几何直观| |解答题|7/55|实际应用（放风筝高度、劳动基地面积）、勾股数规律探究|设计蚂蚁爬行最短路径等情境问题，通过秦九韶沙田面积题培养推理能力|

【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】 第一章 勾股定理 一.选择题：（每小题3分共30分) 1．（本题3分）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 2．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 3．（本题3分）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 4．（本题3分）下列各组数据中，不是勾股数的是（     ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，15，16 D．6，8，10 5．（本题3分）由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（本题3分）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（） A． B． C． D． 8．（本题3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 9．（本题3分）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（ ） A． B．3 C．4 D．5 10．（本题3分）如图，在三个正方形围成的图形中，两个小正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形的边长是（     ） A． B．2 C． D．5 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）在中，，，则_______． 12．（本题3分）已知的三边，，满足，则的形状为________． 13．（本题3分）如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向． 14．（本题3分）在中，，则的值为______ 15．（本题3分）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 17．（本题7分）在中，，，，求的长． 18．（本题8分）在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 19．（本题8分）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 20．（本题8分）在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 21．（本题9分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 22．（本题9分）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． ( 第 2 页 共 17 页 ) ( 第 1 页 共 17 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 第一章 勾股定理（解析） 一.选择题：（每小题3分共30分) 1．（本题3分）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为， ∴所代表的正方形的边长是10．故选D. 2．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 解：勾股数需满足三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方， A选项 ∵ ∴ 这组数是勾股数，符合题意； B选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； C选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； D选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意．故选A 3．（本题3分）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 解：∵，米，米， ∴（米）．故选A 4．（本题3分）下列各组数据中，不是勾股数的是（     ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，15，16 D．6，8，10 解：A选项，，且三个数都是正整数，是勾股数， B选项，，且三个数都是正整数，是勾股数， C选项，，，，不满足勾股数的条件，不是勾股数， D选项，，且三个数都是正整数，是勾股数.故选C 5．（本题3分）由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 解：选项A：最长边为， ∵，，， ∴不能构成直角三角形，A不符合题意； 选项B：最长边为， ∵，，， ∴不能构成直角三角形，B不符合题意； 选项C：最长边为， ∵，，， ∴不能构成直角三角形，C不符合题意； 选项D：最长边为， ∵，， ∴，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，D符合题意．故选D 6．（本题3分）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 解：如图所示：    由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是．故选B 7．（本题3分）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（） A． B． C． D． 解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意．故选C 8．（本题3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里， ，， ， 故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里 则沙田的面积为 （平方里）．故选C 9．（本题3分）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（ ） A． B．3 C．4 D．5 解：∵中，，，， ∴， 根据垂线段最短，可知的长不可小于3，当P和C重合时，， 由，即长不可能是．故选A 10．（本题3分）如图，在三个正方形围成的图形中，两个小正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形的边长是（     ） A． B．2 C． D．5 解：如图， ∵小正方形面积分别为、， ∴，， ∵， ∴， ∴正方形的边长．故选C 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）在中，，，则_______． 解：在中，， 故； ∴， ∵， 故， 即． 12．（本题3分）已知的三边，，满足，则的形状为________． 解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 13．（本题3分）如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向． 解：如图，由题意得，， ∴ ∴， ∴ ∴， 故公园在医院的北偏东的方向． 14．（本题3分）在中，，则的值为______ 解：如图， 在中，， ∴， ∴． 15．（本题3分）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 解：如图，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴为直角三角形 根据勾股定理可得：， ∴ ∵在中，根据勾股定理有，， ∴， ∴. 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． （1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 17．（本题7分）在中，，，，求的长． 解：在中，， 由勾股定理，得， 又∵，， ∴． 18．（本题8分）在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． （1）解：在中，， 由勾股定理得，，则； （2）解：在中，， 由勾股定理得，， 则 19．（本题8分）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． （1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆； （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 20．（本题8分）在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． （1）解 已知在中，，，，的对边分别为，，，由勾股定理得 ∵，， ∴； （2）解：在中，，， ． 21．（本题9分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ （1）解：在中， 由勾股定理得，，    米（负值舍去）， （米）， 答：风筝的高度为31.7米． （2）解：由题意得，米， 米， （米），    （米）， 他应该往回收线米． 22．（本题9分）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 解:（1）勾为7时，，； （2）勾为3时，股=，弦=； 勾为5时，股=，弦=； 可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦； （3）：，，； ：，，； ：，，； 可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． ∵弦长为， ∴，解得， ∴勾，股； （4）由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． $