2.2　一元二次方程的解法第4课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦利用公式法解一元二次方程，通过对比直接开平方法的局限性和配方法的繁琐，引出公式法，以旧知为支架构建新知学习脉络，系统涵盖求根公式推导、根的判别式及应用。 其亮点在于通过配方法推导求根公式培养推理意识，例题与跟踪训练强化运算能力，根的判别式教学发展抽象能力。采用问题驱动和分层练习，课堂小结分步骤梳理流程，帮助学生形成解题规范，教师可直接使用提升教学效率。

第二章　2.2　一元二次方程的解法 第4课时　利用公式法解一元 二次方程 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用根的判别式判断一元二次方程根的情况.(难点) 2.会用公式法解一元二次方程.(重点) 3.在利用公式法解一元二次方程的过程中，提高运算能力，体会公式法“降次”的思想. 情境引入 利用直接开平方法只能解一些简单的一元二次方程，利用配方法虽然可以解任意一个一元二次方程，但配方法比较麻烦，下面学习一种既比较简单又能适用于任意一个一元二次方程的方法——公式法. 一、 利用公式法解一元二次方程 问题　利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0). 移项，得ax2+bx=　　， 二次项系数化为1，得x2+x=　　，   配方，得x2+x+　　　=-+　　　，即=.  开平方，得x+=　　　　　.  ∴x=. -c - ± 知识梳理 1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是x= .这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为 . 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤： (1)把方程化成一般形式，即ax2+bx+c=0(a≠0)，确定a，b，c的值； (2)判断b2-4ac的值的符号； (3)当b2-4ac的值为非负数时，把a，b，c的值代入求根公式x=，通过计算，求出方程的根. 公式法 例1　(课本P42例3)解方程： (1)x2-7x-18=0； 解　这里a=1，b=-7，c=-18. 因为b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=121>0， 所以x==， 即x1=9，x2=-2. 例1　(课本P42例3)解方程： (2)4x2+1=4x. 解　将原方程化为一般形式，得4x2-4x+1=0. 这里a=4，b=-4，c=1. 因为b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0， 所以x==， 即x1=x2=. 反思感悟 用公式法解一元二次方程时，要注意的易错点：一定要先把方程整理为一般形式，否则不能正确得到a，b，c的值，后续解题则随之出现错误. 跟踪训练1　解方程： (1)2x2+3=-7x； 解　方程化为一般形式，得2x2+7x+3=0， ∴a=2，b=7，c=3， ∵b2-4ac=72-4×2×3=49-24=25>0， ∴x==， 解得x1=-3，x2=-. 跟踪训练1　解方程： (2)x2-2(3x-1)=0. 解　方程化为一般形式，得x2-6x+2=0. ∴a=1，b=-6，c=2， ∵(-6)2-4×1×2=36-8=28>0， ∴x=， 解得x1=3+，x2=3-. 二、 一元二次方程的根的判别式 知识梳理 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac 0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac 0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac 0时，方程没有实数根. 由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定.我们把 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示. > = < b2-4ac 例2　不解方程，判断下列方程的根的情况. (1)2x2+3x-4=0； 解　∵a=2，b=3，c=-4， Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=9+32=41>0， ∴原方程有两个不相等的实数根. 例2　不解方程，判断下列方程的根的情况. (2)16y2+9=24y； 解　原方程化为一般形式为16y2-24y+9=0. ∵a=16，b=-24，c=9， Δ=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=0， ∴原方程有两个相等的实数根. 例2　不解方程，判断下列方程的根的情况. (3)5(x2+1)-7x=0. 解　原方程化为一般形式为5x2-7x+5=0. ∵a=5，b=-7，c=5， Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=49-100=-51<0， ∴原方程无实数根. 反思感悟 判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况，其解题过程：化成一般形式→求Δ(判断Δ>0，Δ=0，Δ<0)→确定根的情况. 跟踪训练2　关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0的根的情况为 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定根的情况 解析　∵b2-4ac=(m-2)2-4×1×(-3)=(m-2)2+12>0， ∴方程有两个不相等的实数根. √ 课堂小结 1.用求根公式解方程2x2-3=x时，a，b，c的值是 A.a=2，b=1，c=-3 B.a=2，b=-1，c=-3 C.a=2，b=-1，c=3 D.a=2，b=1，c=3 随堂演练 √ 解析　2x2-3=x，整理，得2x2-x-3=0，∴a=2，b=-1，c=-3. 2.一元二次方程2x2-x-4=0的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定是否有实数根 随堂演练 √ 解析　∵Δ=(-1)2-4×2×(-4)=33>0，∴方程有两个不相等的实数根. 3.下列关于x的一元二次方程一定有实数根的是 A.ax2-x+2=0 B.x2-2x+1=0 C.x2-x-m=0 D.x2-mx-1=0 随堂演练 √ 随堂演练 解析　A项，ax2-x+2=0，Δ=1-8a，只有a≤且a≠0时，Δ≥0，所以原方程不一定有实数根，故A选项不符合题意； B项，x2-2x+1=0，Δ=4-4<0，所以原方程没有实数根，故B选项不符合题意； C项，x2-x-m=0，Δ=1+4m，只有m≥-时，Δ≥0，所以原方程不一定有实数根，故C选项不符合题意； D项，x2-mx-1=0，Δ=m2+4>0，所以原方程一定有实数根，故D选项符合题意. 4.已知一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为 A.k=4 B.k=-4 C.k=±4 D.k=±2 随堂演练 √ 解析　∵一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根， ∴Δ=(-k)2-4×1×4=0，解得k=±4. 5.解下列方程： (1)x2+3x+2=0； 随堂演练 解　∵a=1，b=3，c=2， Δ=32-4×1×2=1>0， ∴x==， ∴x1=-1，x2=-2. 5.解下列方程： (2)2(x2-2)=7x； 随堂演练 解　把方程2(x2-2)=7x化成一般形式，得2x2-7x-4=0， ∵a=2，b=-7，c=-4， Δ=(-7)2-4×2×(-4)=81>0， ∴x==， ∴x1=-，x2=4. 5.解下列方程： (3)x2-2x+3=0. 随堂演练 解　x2-2x+3=0， a=1，b=-2，c=3， Δ=(-2)2-4×1×3=4-12=-8<0， ∴该方程无实数根. 谢谢观看 $