2.2简单的轴对称图形（第3课时认识等腰三角形的轴对称性）（教学课件）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的轴对称性，涵盖定义、相关概念及“等边对等角”“三线合一”性质。导入结合衣架、红领巾等生活实例，通过回顾轴对称图形定义和性质，搭建从生活观察到几何探究的学习支架。 其亮点是采用“折叠观察—猜想验证—归纳提炼—应用巩固”流程，培养数学思维中的推理意识与几何直观，如自制纸片折叠发现对称轴及相等边角。通过符号语言精确表述性质，结合典例与拓展题，助学生发展抽象能力和应用意识，教师可提升教学效率与学生参与度。

【新教材】鲁教版五四制·七年级上册 第二章 轴对称 2.2 简单的轴对称图形 第 3 课 时 认识等腰三角形的轴对称性 学 习 目 标 1 2 3 理解等腰三角形的定义，厘清腰、底边、顶角、底角的相关概念；掌握等腰三角形是轴对称图形，能准确找出其对称轴；理解并掌握等腰三角形等边对等角、三线合一的性质，能进行简单表述、判断与基础计算、说理. 经历“折叠观察—猜想验证—归纳提炼—应用巩固”的探究过程，提升动手操作、观察分析、合作交流与合情推理能力；借助轴对称性质探究等腰三角形特征，体会数形结合、转化、从特殊到一般的数学思想. 在动手探究中获得成功体验，增强数学学习自信心；感受等腰三角形的对称美感，体会几何知识与生活的紧密联系，养成严谨思考、规范表达的学习习惯. 知识回顾 还记得什么是轴对称图形吗？ 定义 ： 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。而这条折痕所在的直线，就是它的对称轴。 判断一个图形为轴对称图形方法： （1）沿某条直线对折； （2）直线两旁的部分能够互相重合. 轴对称的性质： 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 导入新课 等腰三角形 观察这些物体的形状，它们有什么共同的几何特征？你能发现它们都含有哪种特殊的三角形吗？ 导入新课 说一说生活中的等腰三角形 红领巾 衣架 交通指示牌 锦旗 晾衣架 几何之美，源于实用。在建筑、生活装饰、安全标识与交通出行中，等腰三角形以其独特的结构特性——稳定性、易识别性与力学效率，成为了设计师们的经典选择。 新知探究 探究点1 回顾等腰三角形定义及相关概念 议一议 A B C 等腰三角形介绍 底角 底边 腰 顶角 腰 　相关名称：　 等腰三角形中，相等的两条边都叫做腰，另一边叫做底边 两腰的夹角叫做顶角 腰和底边的夹角叫做底角. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 新知探究 探究点1 回顾等腰三角形定义及相关概念 议一议 说说下面等腰三角形的腰、底边、顶角、底角， A B C A B C 底边 腰 腰 顶角 底角 底边 腰 腰 顶角 底角 注意：等腰三角形的底边不一定在下方， 判断标准：看哪两条边长度相等 △ABC中，若BC=AC， 则 BC、AC 为腰。AB为底 △ABC中，若AB=BC， 则 AB、BC 为腰,AC为底 ∠C就是顶角 ∠B 和 ∠A就是底角， 它们互为“底角”, ∠B就是顶角 ∠A 和 ∠C就是底角， 它们互为“底角”, 新知探究 探究点2 探究等腰三角形的轴对称性 做一做 自制等腰三角形纸片（△ABC，AB=AC），尝试沿直线折叠，使两腰AB与AC完全重合. A B C A B C 思考•交流 探究点2 探究等腰三角形的轴对称性 议一议 （2）等腰三角形是轴对称图形吗? （1）折叠后，等腰三角形的两部分是否完全重合？ 完全重合 腰 腰 底角 底角 顶角 底边 D 等腰三角形是轴对称图形. （3）如果是沿着它对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角? AB=AC， ∠B=∠C， BD=CD。 ∠BAD=∠CAD， ∠ADB=∠ADC。 C A B 新知探究 探究点2 探究等腰三角形的轴对称性 议一议 （4）等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线吗? ∵ BD=CD， ∴对称轴平分底边，即线段AD是等腰三角形底边上的中线 ∵ ∠BAD=∠CAD ∴对称轴AD平等腰三角形的顶角， 即线段AD是等腰三角形顶角平分线 ∵∠BDA=∠CDA且∠BDA+∠CDA=180° ∴ ∠BDA=∠CDA=90° 即线段AD是等腰三角形底边上的高线 ∴等腰三角形的对称轴是等腰三角形底边上的中线， 底边上的高线，顶角平分线所在的直线， 即等腰三角形底边上的中线，底边上的高线，顶角平分线重合 底角 底角 顶角 腰 腰 底边 D A B 由轴对称性质可得 C 等腰三角形性质 （5）你认为等腰三角形有哪些特征? ① 等腰三角形是轴对称图形。 ② 等腰三角形的两个底角相等。 ③ 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。 C 新知探究 探究点2 探究等腰三角形的轴对称性 议一议 底角 底角 顶角 腰 腰 底边 D A B 对称轴是直线，不是线段，不能表述为“顶角平分线”. 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线、 底边上的高重合（也称 “三线合一” ）， 它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 注意： 尝试•思考 探究点3 探究等腰三角形“等边对等角”的性质 议一议 如图，△ABC是一个等腰三角形，直线 l 是它的对称轴。 D 请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形？ A B C l （1）折叠后，∠B与∠C的位置关系是什么？两个角是否完全重合？ 等腰三角形沿对称轴折叠，∠B与∠C互相重合， 根据轴对称性质，重合的角相等， ∴∠B=∠C. 结论 文字语言： 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 符号语言： 在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C。 新知探究 探究点3 探究等腰三角形“等边对等角”的性质 练一练 （1）已知等腰三角形顶角为70°，求底角度数； （2）已知一个底角为45°，求顶角度数. A B C 小提示：在等腰三角形中 顶角=180°-2×底角 底角=（180°-顶角）÷2 （1）底角=（180°-70°）÷2=55° （2）顶角=（180°-45°）÷2=90° 尝试•思考 探究点3 探究等腰三角形“等边对等角”的性质 议一议 如图，△ABC是一个等腰三角形，直线 l 是它的对称轴。 D 请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形？ A B l C ∠BAD=∠CAD， △ABD和△ACD的形状、大小完全相同。 （4）形状、大小完全相同的三角形 （1）AD是否平分∠BAC？ （2）AD是否平分底边BC？ BD=CD （3）AD与BC是否垂直？ AD⊥BC 新知探究 探究点4 探究等腰三角形“三线合一”的性质 议一议 归纳:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称为“三线合一”. 分层符号表述： ① 在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC， 则AD⊥BC，BD=CD； ② 在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线， 则AD⊥BC，AD平分∠BAC； ③ 在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， 则AD平分∠BAC，BD=CD. 折痕AD同时具备哪几种特殊线段的特征？ B D A 1 2 C D 新知探究 探究点4 探究等腰三角形“三线合一”的性质 议一议 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、腰上的中线和高，看看它们是否重合？ F ∟ 不重合 “三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高 三线合一 思考•交流 探究点5 等边三角形的特征 议一议 （1）如果一个等腰三角形的腰长和底边长相等，那么三角形有什么变化? A B C 定义:三边都相等的三角形是等边三角形， 也叫正三角形。 （2）等边三角形有几条对称轴? 等边三角形有3条对称轴。 （3）你能发现它的哪些特征 ①三边相等，三个角相等，都是60°； ②三线合一。 结论 等边三角形有三条对称轴，三个内角相等，都等于60°. 典例分析 例1：已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数. 解:设这个等腰三角形顶角的度数为x°，由题意可得： ∴底角的度数=2x°. ∴ x+2x+2x=180 解得 x=36 ∴ 2×36=72. ∴这个三角形的三个内角分别是36°，72°，72°. 典例分析 例2：如图，是等边三角形的中线，以为斜边作等腰直角三角形，求的度数． 解：∵是等边三角形的中线， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 新知巩固 1.下面是由大小不同的等边三角形组成的图案， 请找出它的对称轴。 随堂练习 新知巩固 2.墙上钉了一根木条，李叔叔想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平。在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处挂了一个重锤。李叔叔将BC边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点A，如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的。请说明其中的道理。 解：根据等腰三角形“三线合一”的性质， 等腰三角形ABC底边BC上的中线DA应垂直于底边BC(即木条)。 如果重锤过点A，说明AD所在的直线垂直于水平线，那么木条就是水平的。 随堂练习 拓展提升 1．问题：如图，在中，．在的延长线上取点E，C，作，使．若，，求________． 思 考：（1）如果把以上“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？说明理由． （2）如果把以上“问题”中的条件“”去掉，再将“”改为“”，其余条件不变，求的度数． 解：∵，∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 拓展提升 1．问题：如图，在中，．在的延长线上取点E，C，作，使．若，，求________． （1）如果把以上“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？说明理由． 思 考： （1）的度数不改变，，理由如下： ∵，∴， ∵， ∴， ∴ ∵，∴， 又∵， ∴， ∴； 拓展提升 1．问题：如图，在中，．在的延长线上取点E，C，作，使．若，，求________． （2）如果把以上“问题”中的条件“”去掉，再将“”改为“”，其余条件不变，求的度数． 思 考： （2）∵，∴， ∵，∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 1．（2025.海南统考）如图，在中，，，则（　　） A． B． C． D． 真题感知 解：， ∴ ， ∴ 2．（2025·温州校联考）在中，，求的度数 解：∵， ∴， ∴ . D A B C 真题感知 3．（2025.济宁统考期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（   ） A． B． C．或 D．或 解：依题意， 当的角为等腰三角形的顶角时， 则底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时， 所以其底角为， ∴它的底角的度数是或． D 知 识 总 结 （1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线/底边上的中线/底边上的高所在的直线. （2）核心性质： ① 等边对等角：等腰三角形两底角相等； ② 三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 （1）探究方法： 动手折叠—观察猜想—验证归纳—应用巩固. （2）数学思想： 直观操作、数形结合、合情推理、分类讨论. （3）学习技巧： 借助轴对称性质，研究几何图形的边角、线段关系. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）对称轴是直线，不是线段，不可直接写顶角平分线、高. （2）“三线合一”仅限等腰三角形，且针对顶角、底边，不可随意推广. （3）等腰三角形角度计算，若未明确角是顶角还是底角，需分类讨论. （4）“等边对等角”前提是同一个三角形中两条边. 课后练习 1.如图，在下面的等腰三角形中，∠A是顶角，分别求出它们的底角的度数。 解:（1）∠B=∠C= (180°-60°)÷2=60°。 （2）∠B=∠C= (180°-90°)÷2=45°。 （3）∠B=∠C= (180°-120°)÷2=30°。 小提示：在等腰三角形中 顶角=180°-2×底角 底角=（180°-顶角）÷2 课后练习 2. 等腰三角形的底角可能是锐角吗?可能是直角吗?可能是钝角吗?请说明理由。 解:可能是锐角，不可能是直角或钝角。 3. 在等腰三角形ABC中，已知∠A=100°，你知道这个等腰三角形的底角是多少度吗?如果∠A=30°呢? 解:当∠A=100°时， ∠A只能为顶角， ∴底角=（180°-顶角）÷2 =（180°-100°）÷2 =40° 当∠A=30°时， ① ∠A为顶角， ∴底角=（180°-顶角）÷2 =（180°-30°）÷2=75° ② ∠A为底角，另一个角底角也是 30° 谢谢聆听 $