1.4利用三角形全等测距离（教学课件）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

该初中数学课件聚焦“利用三角形全等测距离”，核心知识点为运用SAS、ASA等判定方法构造全等三角形测量不可直接到达的距离。课堂通过战争时期测碉堡、池塘测距离等实际问题导入，先回顾SSS、SAS、ASA、AAS等全等判定方法，再引导学生经历“实际问题—建立模型—设计方案—解释说明”的完整过程，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以真实情境激发兴趣，通过“做一做”实践活动（如教室模拟测量）引导学生用数学眼光观察现实问题，在构造全等三角形（如ASA测碉堡、SAS测池塘距离）中培养推理能力（数学思维），用规范证明和方案设计强化数学语言表达（模型意识）。小结提炼转化、构造思想，帮助学生形成解决实际问题的能力，教师可直接使用典例、真题提升教学效率。

【新教材】鲁教版五四制·七年级上册 第一章 三角形 1.4 利用三角形全等测距离 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握利用三角形全等（SAS、ASA、SSS等）测量不可直接到达的两点间距离的基本方法；能根据实际问题设计简单的测量方案，并说明方案的合理性；能运用全等三角形的性质进行相关的推理和计算. 经历“实际问题—建立模型—设计方案—解释说明”的完整过程，体会数学建模思想；通过小组合作探究，培养合作交流能力和创新思维能力；在解决实际问题的过程中，体会转化思想和构造思想. 在应用数学知识解决生活实际问题的过程中，感受数学的应用价值，增强学习数学的兴趣和信心；通过实践活动，培养严谨求实的科学态度和创新意识. SSS 三边相等 边角条件： 三边分别相等 关键特征： 三边定形 记忆口诀 边边边 SAS 两边及其夹角 边角条件： 两边及其夹角相等 关键特征： 夹角是关键 记忆口诀 边角边 ASA 两角及其夹边 边角条件： 两角及其夹边相等 关键特征： 夹边是关键 记忆口诀 角边角 AAS 两角及对边 边角条件： 两角及其中一角的对边相等 关键特征： 可转化为 ASA 记忆口诀 角角边 知识回顾 导入新课 在战争时期，我军要炸毁敌军的一座碉堡，但碉堡两侧都是沼泽地，无法直接测量碉堡与我军阵地之间的距离.战士想出了一个巧妙的办法，利用全等三角形的知识，不进入沼泽地就测出了距离。你知道战士们是怎么做到的吗? 导入新课 “调整帽子”“保持刚才的姿态”的数学意义是什么? 帽檐向上移动，视角变大， 观察到的范围变大 “保持刚才的姿态”即保持视角不变和身高不变。 “调整帽子”即可改变视角的大小。 帽檐向下移动，视角变小， 观察到的范围变小。 导入新课 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想要测量A、B之间的距离，但他无法直接测量.你能帮他设计一个测量方案吗?（无法直接到达A、B两点） 我们今天就来学习——利用三角形全等测距离. 测量不可直接到达的两点间的距离 B A 新知探究 探究点1 利用“ASA”构造全等三角形 议一议 在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出来这样一个办法：如图 （1）他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部； （2）他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上； （3）他用步测的方法量出自已与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离. 新知探究 探究点1 利用“ASA”构造全等三角形 做一做 （1）按这名战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证. 活动步骤： 第一步：确定好一个目标，教室前面黑板的底部地面 第二步：用一张纸或一个本子代替帽檐 第三步：调整“帽檐”，使视线通过“帽檐”望去恰好落在黑板的底部地上 第四步：保持“帽檐”不动，转过一个角度再望出去，视线所落的位置即为第二个目标 第五步：利用步测等方法测量出两个目标与观察者的距离 注意：可重复2~3次后求平均数，以避免出现较大的误差. 新知探究 探究点1 利用“ASA”构造全等三角形 议一议 A C B D 按这名战士的方法，请画出示意图 （1）他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部； （2）他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上； 视线 帽檐 视线 （3）他用步测的方法量出自已与那个点的距离，这个距离就是他与堡间的距离. “ASA”可判定两个三角形全等 （2）你能解释其中的道理验证战士做法的合理性吗？ 议一议 （2）你能解释其中的道理验证战士做法的合理性吗？ 新知探究 探究点1 利用“ASA”构造全等三角形 A C B D 视线 帽檐 视线 “ASA”可判定两个三角形全等 战士所讲述的方法中，已知条件是什么? 要求的是什么? 已知条件: ①战士的身高不变，AC=AC； ②战士与地面是垂直的 (AC⊥BD)； ③视角不变，所以∠CAB=∠CAD。 要求的是: 敌碉堡 (B) 与我军阵地 (C) 的距离。 议一议 （2）你能解释其中的道理验证战士做法的合理性吗？ 新知探究 探究点1 利用“ASA”构造全等三角形 A C B D 视线 帽檐 视线 “ASA”可判定两个三角形全等 理由：在△ACB与△ACD 中， ∴△ACB≌△ACD（ASA） ∴BC = DC（全等三角形对应边相等） 新知探究 探究点1 利用“ASA”构造全等三角形 议一议 利用三角形全等可以测量两点之间的距离。 不可测量或不方便测量的线段 方便测量的线段 构造全等三角形 利用全等三角形的性质转移线段。 A C B D 视线 帽檐 视线 “ASA”可判定两个三角形全等 （2）你能解释其中的道理验证战士做法的合理性吗？ 新知探究 探究点2 利用“SAS”构造全等三角形 议一议 你能说明其中的道理吗？ 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位叔叔帮她出了这样一个主意: A B C E D 先在地上取一个可以直接到达 A 和 B 点的点 C; 连接 AC 并延长到 D，使CD = CA；连接 BC 并延长到E，使 CE = CB， 连接 DE 并测量出它的长度即为AB 之间的距离. 新知探究 探究点2 利用“SAS”构造全等三角形 议一议 你能说明小丽每一步的理由吗？ 小丽的思考过程如下 A B C E D 理由: 由测量可得： ， 在△ACB与△DCE 中， ∵ ∴△ACB ≌ △DCE（SAS） ∴AB = DE (全等三角形的对应边相等) 新知探究 探究点2 利用“SAS”构造全等三角形 议一议 A B C D 你能帮小丽设计一个方案，解决问题吗？ 如图，先作三角形 ABC ，再找一点 D，使AD∥BC，并使AD = BC，连结 CD，量CD 的长即得 AB 之间的距离。 理由: ∴△DAC ≌ △BCA（SAS） ∴ AB = CD (全等三角形的对应边相等) ∵AD∥BC ∴ ∠DAC = ∠BCA 在△DAC与△BCA 中， ∵ 新知探究 探究点3 三角形全等测距的一般步骤 议一议 1. 分析问题：明确要测量的两个点是否可以直接到达 2. 构造模型：选择合适的点，构造一个与含目标线段全等的三角形 3. 设计方案：确定测量哪些可以直接测量的线段或角度 4. 实施测量：用工具测量所需数据 5. 计算求解：根据全等三角形的性质得到目标距离 你能总结出利用三角形全等测距的一般步骤吗？ 典例分析 例1.如图，小明想要测量池塘的长，池塘西边有一座水房，在的中点处有一棵百年古树，小明从出发，沿直线一直向前经过点走到点三点在同一条直线上），并使，然后他测得点与水房之间的距离是10米，求池塘的长． 解：∵为中点, ∴, 在和中, ∵， ∴, ∴ 米, 答：池塘的长为米． 典例分析 例2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与垂直的方向向东走50米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走50米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，这时测得的距离为 ． 解：由题意得： ，， 在和中， ， ， 米， 27米 新知巩固 1.如图，把两根钢条 AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳 )。 只要量得 AC 的长度，就可知工件的内径 BD 是否符合标准。你明白其中的道理吗?与同伴进行交流。 A B D C 解：因为点O是AB，CD的中点， O 所以点AO=BO，CO=DO。 又因为在△AOC和△BOD中， 所以 △AOC≌△BOD (SAS) 所以AC=BD ， 拓展提升 1.如图是嘉淇荡秋千的示意图．静止时秋千位于点处，荡秋千过程中，秋千荡到点时，测得点到的距离为，秋千荡到点时，测得点到的距离为，且． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的长． （1）解：与全等； 由题意可得 ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∴， 即的长为． 真题感知 1．（2025•山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 解：在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， B 真题感知 2．（2025·榆林校考）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，为卡钳两柄交点（即交于点），且有．如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是的长．你能说明其中的道理吗？ 解：在和中 ∵， ∴， ∴． 真题感知 3．（2025·唐山统考）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F、C之间不能直接测量），点A、D在直线l的异侧，测得，，若，，求的长度． 证明：∵， ∴，， 在与中， ∴（）； ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 知 识 总 结 （1）核心方法：利用三角形全等测距离. （2）原理： 构造全等三角形 → 对应边相等 → 不可测距离转化为可测距离. （3）常用构造方式： SAS构造（两边及其夹角）， ASA构造（两角及其夹边）， 也可用AAS、SSS. （4）关键点：构造的三角形必须与目标三角形全等. 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 （1）模型思想：将实际问题抽象为几何模型. （2）转化思想：不可测→可测（通过全等变换）. （3）构造思想： 构造全等三角形是解决问题的关键. （4）优化思想： 比较不同方案的简便性，选择最优. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）构造的三角形与目标三角形不全等 必须满足SSS、SAS、ASA或AAS之一. （2）对应关系找错 构造时要确保对应顶点和对应边正确. （3）忘记理论解释 测量后必须用全等知识证明方案的合理性. 课后练习 1. 如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B 处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A，B间的距离。请你设计一个方案，测出A，B间的距离，并说明理由。 解:(1)先在地上取一个可以直接到达点A 和点B的点C， (2)连接AC并延长到点D，使DC=AC； (3)连接BC 并延长到点E，使EC=BC。 (4)连接DE 并测量出它的长度，DE的长度就是A，B 间的距离(如图所示)。 理由:在△ABC 和△DEC 中， 因为AC=DC， ∠ACB=∠DCE，BC=EC， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△ABC≌△DEC。 所以AB=DE。 D C E 课后练习 2.如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点处停有一艘游艇。他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点。然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点。那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离。你知道这是为什么吗? 解:由题意知BC = BA，∠C= ∠A=90°。 在△BCD 和△BAS 中， 因为∠C= ∠A，BC=BA， ∠CBD= ∠ABS， 根据三角形全等的判定条件“ASA”， 所以△BCD≌△BAS， 所以CD=AS。 因此，C，D两点间的距离就是在A 点处小明与游艇的距离。 课后练习 3.利用全等三角形测距离的道理是什么?请查阅资料，了解利用全等三角形测距离的更多具体方法或具体场景。 解:利用全等三角形测距离的关键是构造全等三角形。 01. 工业生产：卡钳测量内径 在机械加工中，工人使用卡钳测量工件内径。卡钳的结构设计保证了其构成的两个三角形全等（SAS原理），因此外部测量的距离就等于内部的直径。 02. 建筑与测绘：测障碍物宽度 测绘人员在遇到湖泊、建筑等障碍物时，会采用类似“测量池塘”的方法，通过构造全等三角形，精确计算出跨越距离，解决无法直接测量的难题。 03. 总结：核心思想回顾 利用全等三角形测量距离的核心是“构造”与“转化”。 1.构造全等：灵活运用SAS、ASA等定理构造三角形。 2.转化求解：将未知边转化为可测量的已知边。 谢谢聆听 $