1.3探索全等三角形条件（第3课时探索两边及夹角分别相等的三角形全等)（教学课件）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

该初中数学课件聚焦“两边及其夹角分别相等的三角形全等（SAS）”，通过回顾SSS、ASA、AAS等已学判定方法，提出“两边及一角”的条件组合分类，搭建知识联系支架，引导学生逐步探究新知。 其亮点在于采用“作图—观察—比较—归纳”的探究流程，结合木棍转动实验、尺规作图等操作，直观呈现SSA反例，培养学生几何直观与推理意识。课堂小结提炼分类讨论、反例思想，典例与真题结合，助力学生掌握判定方法，教师可直接用于教学提升效率。

【新教材】鲁教版五四制·七年级上册 第一章 三角形 1.3探索三角形全等的条件 第3课时 探索两边及夹角分别相等的三角形全等——SAS 学 习 目 标 1 2 3 探索并理解“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”（SAS）这一判定方法；了解“两边及其中一边的对角相等”（SSA）不能作为两个三角形全等的条件，能通过具体反例说明；能运用SAS判定两个三角形全等，解决简单的几何问题；能用尺规作图作出给定两边及其夹角的三角形. 经历“作图—观察—比较—归纳”的探究过程，体会分类讨论思想和反例思想在数学探究中的应用；通过尺规作图，培养几何直观能力和动手操作能力；通过反例构造，理解“一个反例即可否定一个命题”的数学思想. 在探究活动中感受数学结论的严谨性，培养实事求是的科学态度；通过反例的构造，体会数学思维的批判性和严谨性. 基本事实 图示 符号语言 知识回顾 三角形全等判定方法一：“边边边”定理 三边分别相等的两个三角形全等. （简写成“边角边”或“SAS ”）． A B C D E F 在△ABC 和△DEF 中， ∵， ∴△ABC ≌ △DEF（SSS）。 书写顺序: 边—边—边 知识回顾 基本事实 图示 符号语言 三角形全等判定方法二：“角边角”定理 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.（简写成“角边角”或“ASA ”）． 在△ABC 和△ DEF中， ∴　△ABC ≌△ DEF（ASA）． ∵ 书写顺序: 角—边—角 A B C D E F 知识回顾 基本事实 图示 符号语言 三角形全等判定方法三：“角角边”定理 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS”）． 在△ABC 和△ DEF中， ∴　△ABC ≌△ DEF（AAS） 书写顺序: 角—角—边 A B C D E F ∵ 5 知识回顾 比较 ASA 和 AAS 逻辑关系：本质相通 AAS 判定可以通过“三角形内角和定理”推导出第三个角相等，从而转化为 ASA 判定。两者都只需要一组边和两个角的条件，逻辑内核一致。 核心区别：边的位置 ASA (角边角) 边是两角的夹边 AAS (角角边) 边是一角的对边 我们已经学习了三种三角形全等判定方法： SSS， ASA， ASA，边和角还有什么条件组合？ 两边及一角 ---今天我们来探究“两边及一角”这一条件组合. A B C A B C 01. 两边及其夹角 角位于两条已知边的中间，即两条边的公共端点处。 02. 两边及其中一边的对角 角位于其中一条已知边的对端，与另一条边不相邻。 新知探究 探究点1 两边及其夹角（SAS） 议一议 (1)如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢? ∠A 夹在边 AB 与 AC 之间， 这种位置关系是“夹”。 边 AC对着∠ B， 这种位置关系是“对”。 每种情况下得到的三角形是唯一的吗？满足条件的三角形都全等吗? 新知探究 探究点1 两边及其夹角（SAS） 画一画 已知两边及其夹角，画出的三角形唯一确定吗？ 如图，已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC= a，AB=c，∠ABC=∠α。 α a c a c C A B α E D 作图分析 第二步:以B为端点分别截取AB=c，BC=a，确定三角形顶点A、C， 第一步:可以作∠DBE＝∠α 第三步:连结AC, 即可得到符合条件的△ABC B A C 作法 图形 新知探究 探究点1 两边及其夹角（SAS） 画一画 如图，已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC= a，AB=c，∠ABC=∠α。 α a c 1.作一条线段BC= a 。 2.以点B为顶点，以BC为一边，作∠DBC=∠α。 3.在射线BD上截取线段BA=c。 △ABC就是所要作的三角形。 4.连接AC。 B C A D 请按照给的作法作出相应的图像（教材p103画图） 你作的三角形与同伴作的一定全等吗? 新知探究 探究点1 两边及其夹角（SAS） 议一议 B C A D （1）剪下所画的三角形.与同伴剪下的三角形进行比较，它们能重合吗？ 能重合，全等. （2）将条件改为两边分别为5cm和6cm，夹角为60°，再画一次，与同伴比较. 发现： 所有按照相同“两边及夹角”条件画出的三角形都全等. 5cm 6cm 60° A C D B △ABC就是所要作的三角形。 E 新知探究 探究点1 两边及其夹角（SAS） 归一归 几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∵ ∴△ABC ≌ △DEF（SAS）。 A B C D E F 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” 。 注意：书写时，相等的角必须是两条对应边的夹角 小实验： 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？ B A C D △ABC和△ABD满足AB=AB ,AC=AD,∠B=∠B, 但△ABC与△ABD不全等. 新知探究 探究点2 两边及其中一边的对角（SSA） 议一议 已知两边及其中一边的对角，画出的三角形唯一确定吗？ 学习任务单 已知两条边长分别为3cm和4cm，其中长度为3cm的边所对的角为30°，尝试画出满足条件的三角形. 新知探究 探究点2 两边及其中一边的对角（SSA） 议一议 已知两边及其中一边的对角，画出的三角形唯一确定吗？ 作法 图形 1.作一条线段BC= 4cm 。 2.以点C为顶点，以BC为一边，作∠DCB=30°。 3.以B为圆心，3cm长为半径作弧角CD于A 和A ′。 △ABC和△ABC′就是所要作的三角形。 4.连接AC和AC′。 B C A D 30° A′ 4cm 画出的三角形不唯一 新知探究 探究点2 两边及其中一边的对角（SSA） 议一议 A B C C′ A B C A B C′ 发现: 顶点 C 可能存在两个位置。 结论： 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。 SSA中对角的位置不固定，可能出现两种情形. 可以画出两个形状不同的三角形：一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形。它们满足SSA条件，但明显不全等。 新知探究 探究点3 SAS与SSA的区别 议一议 SAS (边角边) （唯一确定） 判定条件：两边及其夹角分别相等 判定结果：所构成的三角形形状、大小唯一确定 最终结论：✔ 可以判定全等 SSA (边边角) （可能不唯一） 判定条件：两边及其中一边的对角分别相等 判定结果：三角形形状不唯一，通常存在两种不同的情况 最终结论：✖ 不可以判定全等 典例分析 例1．如图，，，；求证． 证明：∵， ∴， ∴． 在 和 中 ∵， ∴． 已知条件梳理 • 边：DF = BE (一组边对应相等) • •角： •边：， ， 典例分析 例2. 解：。理由如下： 在与中， 因为与是对顶角，所以 。 又因为，， 根据，所以。 如图 ，已知与相交于点，，。 与全等吗？请说明理由。 典例分析 例3．如图已知，，，求证： 证明：， ∴， 即， 在和中 ， ． 💡 核心思路： 证明三角形全等 (SAS) 1. 证 ∠ACB = ∠DCE (∠1+∠2 = ∠3+∠2)。 2. 利用SAS判定 △ABC ≌ △DEC。 3. 由全等三角形性质得出 AB = DE。 新知巩固 1.分别找出各图中的全等三角形，并说明理由。 解：(1) △ABC≌△EFD (SAS) ； (2) △ABC≌△CDA (SAS) 。 新知巩固 解：在△DEH 和△DFH 中， ∴△DEH ≌ △DFH（SAS）。 ， ∴ EH = FH 。 2.小明做了一只如图所示的风筝，其中∠EDH =∠FDH，ED = FD 。将上述条件标注在图中小明不用测量就知道EH = FH ，请你说明理由 拓展提升 1.如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 解：（1）∵， ∴， 即 在和中， ， ∴； （2）由（1）知 ， ∴， ∵， ∴ ， ∴的长为9． 真题感知 1．（2025•陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求证：BE＝AC． 证明：∵点D是BC延长线上一点，DE∥AB， ∴∠D＝∠ABC， 在△BDE和△ABC中， ∵， ∴△BDE≌△ABC（SAS）， ∴BE＝AC． 真题感知 2．（2025•湖北）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：∠B＝∠D． 证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， 在△ABC和△ADC中， ∵， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴∠B＝∠D． 真题感知 3．（2025•自贡）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF． 证明：∵∠ABE＝∠BAF， ∴CB＝CA， ∵CE＝CF， ∴CB+CE＝CA+CF， 即BE＝AF， 在△ABE和△BAF中， ∵， ∴△ABE≌△BAF（SAS）， ∴AE＝BF． 知 识 总 结 ✅ SAS 判定全等 两边及其夹角分别相等，可以判定两个三角形全等。 ❌ SSA 不能判定 两边及其中一边的对角分别相等，不能判定两个三角形全等。 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 （1）分类讨论思想： 将“两边及一角”分为SAS和SSA两种情况分别探究. （2）反例思想： 一个反例即可否定一个命题（SSA不能判定全等）. （3）操作验证思想： 通过画图、比较得出结论. （4）转化思想： 将未知问题转化为已学方法. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）误用SSA判定全等 ：必须强调“夹角”，SSA不能判定. （2）对应关系错乱： 用SAS证明时，相等的角必须是两边的夹角. （3）隐含条件忽略： 注意公共边、公共角、对顶角. （4）书写不规范 ：按“在△和△中→已知条件→全等结论”格式 （5）反例理解不深：记住典型的SSA反例图形. 课后练习 1.如图，点E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，△ACE与△ADE全等吗? △ACB与△ADB呢?请说明理由。 解: △ACE ≌ △ADE ，△ ACB ≌△ ADB 理由: 在△ACE 和△ADE 中， 因为AC=AD，∠CAE =∠DAE，AE=AE， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△ACE ≌ △ADE 。 在△ACB 和△ADB 中， 因为AC=AD，∠CAB=∠DAB，AB=AB， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△ ACB ≌△ ADB 。 课后练习 α 2.如图，已知直角α和线段a，b，用尺规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于a，b。 解:作法: (1)作∠DBE 等于题中直角。 (2)在射线 BD 上截取线段BA= a，在射线BE上截取线段BC=b。 (3)连接AC。△ABC 就是所要作的三角形(如图所示)。 课后练习 3.如图，小颖作业本上画的三角形被污染，她想重新画出一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办?请帮助小颖想出一个办法，并说明你的理由。 解: 观察图形可知，未被墨迹污染的有两条边及其夹角， 故根据三角形全等的判定条件“SAS”，可以作一个与原来完全一样的三角形。 谢谢聆听 $