1.4 利用三角形全等测距离 课件　2025-2026学年鲁教版(五四制)数学七年级上册

利用三角形全等测距离 学习目标 1.数学抽象：在利用三角形全等解决实际问题时，能从具体生活情境中抽象出三角形全等的数学模型，明确实际问题与三角形全等知识的联系，完成实际问题到数学问题的转化。 2.逻辑推理：解决实际问题过程中，运用三角形全等的判定方法和性质展开有条理的思考，形成清晰的推理路径，并用规范的数学语言表达推理步骤，提升表达的准确性。 3.数学建模：针对实际问题，构建三角形全等的数学模型，通过判定三角形全等解决线段相等、角相等等实际问题，认识数学建模在连接数学与生活中的作用。 4.直观想象：结合实际问题中的图形，感知其中的三角形全等关系，借助图形理解解决思路，增强对实际问题中图形关系的空间想象能力。 5.数学运算与数据分析：解决实际问题时，提取关键信息，分析三角形全等条件，运用相关知识推理；总结解决不同问题的方法，提高信息处理和归纳能力。 重难点 ••重点：有效利用三角形全等知识解决实际问题，体会数学与实际生活的紧密联系。 •难点：准确将实际问题转化为三角形全等的数学问题，进行有条理的推理并清晰表达。 新知导入 1.全等三角形的性质：对应边 ，对应角 . 2.判定三角形全等的方法有： , , , , 练习：如图：△ABC≌△ADE, ∠B=60°, BC=4cm, 则DE= ,∠D= . A B C D E 相等 相等 SSS ASA AAS SAS 4cm 60° 二、探究新知 一位经历过战争的老人讲述过这样一个故事：在抗日战争时期，为了摧毁与我军阵地隔河对峙的日本敌军的堡垒，必须计算出我军阵地至敌军堡垒的距离。由于缺乏任何测量设备，我八路军战士们费尽心思，这时一位机智的八路军战士提出了一个方案，为成功摧毁堡垒做出了贡献。 利用三角形全等测距离 这位聪明的八路军战士的方法如下： 战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离. 步测距离 碉堡距离 从战士的作法中你能发现哪些相等的量？ A C B D 你能用所学的数学知识说明BC=DC吗？ A B D ？ 如何求未知线段？ 途径：利用全等三角形的性质 关键：构造全等三角形 　小强为了测量一幢高楼的高度AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得在P点观察旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC=36°,测得在P点观察楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=54°,量得P到楼底的距离PB与旗杆的高度相等,均为10米,量得旗杆与楼之间的距离为DB=36米,如图：小强计算出了楼高,楼高AB是多少米? 分析　根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA),进而利用AB=DP=DB-PB求出楼高. 解析　因为∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,所以∠DCP=∠APB=54°. 在△CPD和△PAB中, 因为∠CDP=∠ABP,DC=PB,∠DCP=∠APB, 所以△CPD≌△PAB(ASA), 所以DP=AB.由DB=36米,PB=10米, 得AB=DP=36-10=26(米). 即楼高AB是26米. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案，解决此问题吗？ 1.说出你的设计方案； 2.你能用所学知识说明你设计方案的理由是什么吗？ 先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到D，使AC=CD，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，测得DE的长度就是A、B 间的距离. C D E · · · B A · · 3.你能说明设计出方案的理由吗？ · · · · · C D E 1.你能设计出其他的方案来吗？（构建全等三角形） 2.已知条件是什么？结论又是什么？ 在△ABC与△DEC中，已知：AB⊥BE，DE⊥BE，BE=EC，结论：AB=DE. 把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5 cm和3 cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为( ) A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.求不出来 解析：选C. 因为∠CEA=∠ADB=∠CAB=90°， 所以∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB=∠DAB+∠DBA=90°， ∠ECA=∠DAB，∠EAC=∠DBA， 又AC=AB，所以△AEC ≌△BDA， 所以AE=BD，AD=CE， 所以DE=AE+AD=BD+CE=3+5=8 (cm). 三、典例分析 B B A B C 6米 全等三角形对应边相等 一、选择题 1．如图，小明设计了一种测零件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，要使DC＝AB，则AO，BO，CO，DO应满足下列的条件是(　 　) A．AO＝CO B．AO＝CO且BO＝DO C．AC＝BD D．BO＝DO 2．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此，测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌△ABC的理由是(　 　) A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 3．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是(　 　) A．90° B．120° C．135° D．150° 4．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接BC并延长至E，使CE＝CB，连接ED.若量出DE＝44米，则A，B间的距离为(　 　) A．22米 B．44米 C．46米 D．88米 5．把等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式立在桌面上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点分别距离桌面5 cm和3 cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离即DE的长为(　 　) A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．无法确定 二、填空题 6．如图所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，AB表示一棵松树，A′B′表示一棵小杨树，同一时刻两棵树的影长相等，已知松树高6米，则小杨树高 　 . 7．如图1所示的折叠凳．图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm，依据是 　　　　　　　　　　 ． 三、解答题 8．在池塘两侧的A，B两处架桥，现需测量A，B两点的距离，如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA＝PD，连接BP并延长到C，使PC＝BP.测得CD＝35 m，就确定了AB也是35 m，说明其中的理由． 解：∵PA＝PD，PC＝PB， 又∠APB＝∠CPD， ∴△APB≌△DPC， ∴AB＝CD＝35 m． $