1.3探索三角形全等的条件（第4课时）（教学课件）数学鲁教版五四制2024七年级上册

1.3探索三角形全等的条件(第四课时) 第一章 三角形 鲁教版2024（五四制）·七年级上册 三角形全等的综合运用 学 习 目 标 1 2 3 1. 熟练运用SSS、SAS、ASA、AAS判定全等三角形，并能根据条件选择合适方法。 1.利用全等性质证明相关线段、角相等，并能通过构造全等三角形解决综合问题。 。 规范书写证明过程，分析复杂图形中的全等关系，强化逻辑思维与空间想象能力。 知识回顾 全等三角形的定义 内容：两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，这两个三角形全等。 全等三角形的判定方法 2.基本判定定理 简称 全称 所需条件 SSS 边边边 三边对应相等 SAS 边角边 两边及其夹角对应相等 ASA 角边角 两角及其夹边对应相等 AAS 角角边 两角和其中一角的对边对应相等 3.注意事项 ①SSA不能判定全等.②AAA不能判定全等。 新课引入 学校图书馆三角形玻璃窗破损需要修复，为培养学生积极建设美丽校园的意识和考察学生学科知识运用能力，学校在校园发布修复任务。任务卡（内容如下）： 项目编号：MLXY-2025 修复目标：复制完全相同的三角形玻璃 约束条件： ✓ 仅允许3次测量 ✓ 可用工具：激光测距仪/角度仪 ✓ 误差范围＜0.1cm 思考：有几种方案，具体应该如何测量 4 合作探究 如图，在△ABC与△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，再增加一个什么条件就可以判定这两个三角形全等？ C A B F D E 判定方法 补充条件 说明 SAS AC=DF 已知角的另一邻边 ASA ∠B = ∠E 已知边的另一夹边角 AAS ∠C = ∠F 已知边的对角 根据全等三角形的判定定理（ “SAS”、“ASA”、“AAS”），已知一角（∠A=∠D），一边（AB=DE），因此只需补充一个条件即可全等。 记忆口诀：一角一边已知晓，再补一边或一角 注意：“SSS”判定法不适用（需要三边对应相等）。 新知讲授 C A B F D E 如果增加条件BC=EF，能判定△ABC≅△DEF吗？为什么？与同伴进行交流。 不能判定，”SSA”条件不能作为全等判定的普遍依据 B A D C 反例说明： 如左图：在△ABC和△ABD满足 AB=AB （公共边） AD=AC,（已知） ∠B=∠B,（公共角） 但△ABC与△ABD明显不全等. 归纳总结 3.已知两角 1.已知两边 2. 已知一边一角 情况A：已知边a及其邻角∠B [ASA] →确认角∠A（∠B + 边a + ∠A） [AAS] → 确认∠C 确认边b（需含夹角∠B） （2）情况B：已知边a及其对角∠A [AAS] → 只能确认∠B [ASA] 两角及夹边对应相等 → 已知∠B、∠C和夹边a [AAS] 两角及任意非夹边对应相等 → 已知∠B、∠C和边a（非夹边） 全等三角形的判定方法 [SSS] 三边对应相等→ 已知边a、b → 测量边c [SAS] 两边及夹角对应相等 → 已知边a、b → 确认夹角∠C 典例分析 例1 如图，已知△ABC△A1B1​C1​，D与D1​分别是BC，B1​C1​上的一点，且BD=B1​D1​。AD与A1​D1​相等吗？为什么？ B C A D B1 C1 A1 D1 解：AD=A1​D1​。理由如下： 因为△ABC≅△A1​B1​C1​， 所以AB=A1​B1​，∠B=∠B1​。 又因为BD=B1​D1​， 根据SAS，所以△ABD≅△A1​B1​D1​。 所以AD=A1​D1​。 本题先根据全等的性质求出AB=A1​B1​，∠B=∠B1，再由“SAS”定理得出△ABD≅△A1​B1​D1​，由全等三角形的性质得出AD=A1​D1 ，由此可得出结论． 思考延申：如果条件中未给出BD=B1​D1 ，而是设D、D1分别为BC、B1C1的中点，结论是否依然成立。说明理由。 合作探究 如图，已知△ABC△DEF， M、N分别为BC、EF的中点。AM和DN相等吗？为什么？由此得到什么结论？ B C A M E F D N 解：AM=DN​。理由如下： 因为△ABC≅△DEF​， 所以AB=DE​，∠B=∠E​，BC=EF​。 M、N分别为BC、EF的中点 所以BM= ½ BC, EN= ½ EF，BM=EN 根据SAS，所以△ABM≅△DEN。 所以AM=DN ​。 结论：全等三角形的对应中线相等 思考：若将中线改为（1）对应角平分线（2）对应高 上述结论是否依然成立？如何证明？ 全等三角形的性质探究—对应中线的关系 合作探究 如图，已知△ABC△DEF， AM、DN分别为∠BAC和∠EDF的角平分线。AM和DN相等吗？为什么？由此得到什么结论？ B C A M E F D N 解：AM=DN​。理由如下： 因为△ABC≅△DEF​， 所以AB=DE​，∠B=∠E​， ∠BAC=∠EDF ​ 因为AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线。所以∠BAM=∠DEN= ½∠BAC= ½∠EDF 根据ASA，所以△ABM≅△DEN。 所以AM=DN ​。 结论：全等三角形的对应角平分线相等 全等三角形的性质探究—对应角平分线的关系 合作探究 如图，已知△ABC△DEF,BC与EF是对应边，那么这两个边上的高（如AM⊥BC于D，DN⊥EF于N）是否相等？ B C A M E F D N 解：AM=DN​。理由如下： 因为△ABC≅△DEF​， 所以AB=DE​，∠B=∠E​， 又因为AM⊥BC于D，DN⊥EF于N ， 所以∠AMB=∠DNF=90°​ 根据AAS，所以△ABM≅△DEN。 所以AM=DN ​。 结论：全等三角形的对应高相等 全等三角形的性质探究—对应高线的关系 新知讲授 全等三角形对应线段的性质总结 2.​对应中线相等​​ 若△ABC≌△A'B'C'，则对应边BC和B’C‘的中线AE和A'E'相等（AE=A'E'）。 ​​对应角的平分线相等​​ 若△ABC≌△A'B'C'，则对应边BC和B'C'的中线AD和A'D'相等（AD=A'D'）。 3.​对应高相等​​ 若△ABC≌△A'B'C'，则对应边BC和B'C’的高AF和A'F'相等（AF=A'F'）。 证明思路: ​​利用全等三角形的基本性质​​ ​​构造小三角形​​： 判定定理选择​​ 典例分析 例2.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.找出图中的全等三角形,并证明它们全等. 解:图中的全等三角形有:△ABD≌△ACD, △ABE≌△ACE, △BDE≌△CDE; ∵D是BC的中点, ∴BD=DC, ∵AB=AC, AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SSS); ∴∠BAE=∠CAE, ∵AE=AE, ∠BAE=∠CAE, AB=AC, ∴△ABE≌△ACE(SAS); ∴BE=CE, ∵BE=CE, BD=DC, DE=DE, ∴△BDE≌△CDE(SSS). 分析：本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS，已知完成全等的判定。 随堂练习 1、如图，已知AD平分∠BAC，∠C=∠B，则△ACD≌△ABD的依据是（ ）。 A. AAS B. ASA C. SSS D. SAS 解：在△ACD和△ABD中， ∠C=∠B（已知） ∠1=∠2（角平分线性质） AD= AD（公共边） 根据两角及其中一角的对边相等（AAS），判定全等。 本题考查全等三角形的判定，关键掌握判定条件。 A 随堂练习 本题考查了全等三角形的判定，根据所添加的条件进行逐一判断即可求解；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． B 2．如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，若只添加一个条件，不能判定的是（    ） 解：， ， ，又， 添加，则（），故选项A不符合题意； 添加，无法证明，故选项B符合题意； 添加，则（），故选项C不符合题意； 添加，则（），选项D不符合题意； 随堂练习 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．利用的判定方法求解． 3．如图，已知，利用“”加上条件 ，可以证明． AB = AC 解：∵， ∴当添加时，． 故答案为：． 随堂练习 本题考查了全等三角形的判定（SAS），结合角平分线性质。明确已知条件（AD为角平分线→∠EAD=∠FAD，AD公共边）。根据目标（△AED≌△AFD），优先选择SAS，补充边相等（AE=AF） 4.如图,已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______________，并给予证明. 解：添加条件：AE＝AF， 证明：在△AED与△AFD中， ∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS） AE＝AF 随堂练习 本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等． 5.如图,△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明. 解：△BCF≌△CBD. △BHF≌△CHD.        △BDA≌△CFA.        证明△BCF≌△CBD. ∵AB=AC. ∴∠ABC=∠ACB.    ∵BD、CF是角平分线.  ∴∠BCF=∠ACB，∠CBD=∠ABC. ∴∠BCF=∠CBD.            又BC=CB. ∴△BCF≌△CBD.            还有答案供参考： △BAE≌△CAG，△AGF≌△AED 全等三角形的判定 探索三角形全等的条件（4） 课堂小结 依题意标图、关注图形特征、挖掘隐藏条件. 巩固判定方法，根据已知条件灵活选择判定方法. 从结论入手，结合已知，双向推理. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等 全等三角形的对应角的平分线相等、​对应中线相等、对应高相等​​ ​​​​ 感谢聆听! $$