1.3探索全等三角形条件（第2课时探索两角和一边分别相等的三角形全等)（教学课件）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

该初中数学课件聚焦三角形全等判定的ASA和AAS，通过回顾SSS引入“两角及一边”条件，以“画图—剪拼—比较—归纳”引导探究，构建从ASA到AAS（转化为ASA）的知识脉络，搭建学习支架。 亮点在于注重动手操作与逻辑推理结合，通过尺规作图培养几何直观和空间观念（数学眼光），借助AAS推导过程发展推理意识（数学思维），真题感知环节强化应用意识（数学语言）。学生提升探究与解决问题能力，教师可依托系统流程与实例优化教学。

【新教材】鲁教版五四制·七年级上册 第一章 三角形 1.3探索三角形全等的条件 第2课时 探索三边分别相等的三角形全等——AAS/ASA） 学 习 目 标 1 2 3 探索并理解“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”（ASA）；理解“两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等”（AAS）的推导过程；能运用 ASA 和 AAS 判定两个三角形全等，解决简单的几何问题. 经历“画图—剪拼—比较—归纳”的探究过程，体会几何探究的基本方法；通过尺规作图和实际操作，培养动手能力和空间观念；在小组合作中，培养交流表达能力和合作意识. 在探究活动中感受数学结论的严谨性和数学方法的内在联系，培养实事求是的科学态度. 基本事实 图示 符号语言 知识回顾 三角形全等判定方法一：“边边边”定理 三边分别相等的两个三角形全等. （简写成“边角边”或“SAS ”）． A B C D E F 在△ABC 和△DEF 中， ∵， ∴△ABC ≌ △DEF（SSS）。 导入新课 当两个三角形满足六个条件中的三个时，还有哪些可能的条件组合？ 三个条件 ① 三边 ② 三角 ③ 两角一边 ④ 两边一角 SSS 不能 形状相同，大小不同 今天我们来探究“两角及一边”这一条件组合 情况一 两角及其夹边（ASA ） 情况二 两角及其中一角的对边（AAS ） A B C A B C 新知探究 探究点1 两角及其夹边（ASA） 画一画 已知两角及其夹边对应相等，这两个三角形全等吗？请画图试试 如图，已知∠α，∠β，线段c， 用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。 β c α （1）如何作出符合条件的△ABC? 作图路径 C A B c β β 第二步:以A为端点作角等于∠ a ， 第一步:可以作线段AB＝c 第三步:在线段AB同侧以B为端点作角等于∠ β,两个角的另一边相交，交点为三角形的第三个顶点C 即可得到符合条件的△ABC α 新知探究 探究点1 两角及其夹边（ASA） 画一画 如图，已知∠α，∠β，线段c， 用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。 β c α 作法： B A C (2)以B为端点作∠DAC＝∠α (1)作线段AB＝c (3)在线段AB同侧以B为端点作∠EBA＝∠β,两个角的另一边相交于点C 则△ABC为所求三角形 A M C D E B 新知探究 探究点1 两角及其夹边（ASA） 议一议 如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。 α β c E A B D C F α β （2）剪下所画的三角形与同伴剪下的三角形进行比较，它们能重合吗？ 能重合，全等 （3）将数据改为BC=5cm，∠B=50°，∠C=70°，再画一次，同样与同伴比较. A B D C F 50° 70° E 5cm 发现：所有按照相同“两角及夹边”条件画出的三角形都全等. 新知探究 探究点1 两角及其夹边（ASA） 议一议 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”). 几何语言： ∠A=∠A′（已知）， AB=A′B′（已知）， ∠B=∠B′（已知）， 在△ABC和△A′B′C′中， ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA） A B C A′ B′ C′ 文字语言： 书写顺序: 角——边——角 注意：边是同一个三角形中两角的夹边，即两角的公共边 已知两角及其夹边对应相等 新知探究 议一议 探究点2 两角及其中一角的对边（AAS） 已知两角及其中一角的对边，你能画出唯一的三角形吗？ B A C 已知 ∠A = 60°，∠B = 45°， 边 BC = 3cm （BC 是∠A 的对边）， 学习任务单 画出符合条件的三角形 画图分析: ∵∠A = 60°，∠B = 45° ∴∠C =180°-60°- 45° =75° ∠B = 45°， 边 BC = 3cm ∠C = 75°， 已知的条件变为 45° 75° 3cm 两角及其夹边，可以按 ASA 作图 转化 三角形唯一确定. 60° 新知探究 探究点2 两角及其中一角的对边（AAS） 议一议 A B C 如图所示，已知∠A，∠B以及AC。 因为∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C的度数可求。 ∠A，∠B以及AC ∠A，∠C以及AC （ASA） 两角及其中一角的对边对应相等 转化 两角及其夹边对应相等 新知探究 探究点2 两角及其中一角的对边（AAS） 议一议 几何语言： 在△ABC和△DEF中， ∵， ∴△ABC≌△DEF（AAS）。 A B C D E F 推论： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。 AC是∠B的对边 核心关系：本质相通 AAS（角角边）可以通过“三角形内角和为180°”的定理，推导出第三个角也对应相等，从而转化为 ASA（角边角）。两者是相互推论的关系。 ASA (角边角) 注意：边是两个角的“夹边” 两角夹一边，位置在中间 AAS (角角边) 注意：边是其中一角的“对边”两角一边，位置在一旁 新知探究 探究点3 比较AAS和ASA 议一议 （1）AAS 与 ASA 有什么关系？ 新知探究 探究点3 比较AAS和ASA 议一议 边的位置必须与角的对应关系一致 ——相等的边应该是其中一组相等角的对边. （3）我们已经学习了判定三角形全等的方法？ 方法一：三边对应相等 三边分别相等的两个三角形全等，简记：SSS . 方法二：两角一边对应相等 两角及其夹边相等的两个三角形全等（夹边是关键），简记：ASA ； 两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等， 简记： AAS ，AAS可转化为ASA. （2）在 AAS 的符号语言中，如何确定哪条边是对边？ 例1.如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗? 为什么? ∴ △AOC ≌ △BOD（ASA）。 ∵ O是 AB 中点， ∴ OA = OB。 在△AOC 和△BOD ∵ 解：全等。理由如下： 典例分析 典例分析 A D B C O E 例2.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C. 求证：AD=AE. 分析: 如果能证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE 已知：∠B=∠C. 已知：AB=AC 公共角： ∠ A= ∠ A △ACD与△ABE具备“角边角”的条件 由题意可知： ∠A 既是 △ACD 的 角,又 是△ABE 的 角称为公共角 注意：证两个三角形 全 等时,公 共 角 和 公 共 边一样可作为已知 条 件使用 在 用 大 括 号 列 举证全等的条件时 ∠A要备 注公共角 ∠A＝∠A (公共角) AC＝AB ∠C＝∠B, 证明: 在△ACD 和△ABE 中, ∵ ∴△ACD≌△ABE (ASA)． ∴AD＝AE． 公共角 典例分析 例3．已知：如图，点在同一条直线上，．求：． 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 拓展提升 1.如图，，，，求证： (1)； (2)． （1）证明：在与中， ∵， ， ， ， 即； （2）由（1）得， ， 在与中， ， ． 真题感知 1．（2025•福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD．求证：AB＝AD． 证明：∵∠CBE＝∠CDF， ∴180°﹣∠CBE＝180°﹣∠CDF， ∵∠ABC＝180°﹣∠CBE， ∠ADC＝180°﹣∠CDF， ∴∠ABC＝∠ADC， 在△ABC和△ADC中， ∵， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴AB＝AD． 真题感知 2．（2025•河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD． （1）求证：△ABC≌△AFD； 证明：（1）∵AC，BD相交于点E， ∠ACB＝∠ADB，点F在ED上， ∴∠ACB＝∠ADF， ∵∠BAF＝∠EAD， ∴∠BAF﹣∠CAF＝∠EAD﹣∠CAF， ∴∠BAC＝∠FAD， 在△ABC和△AFD中， ∵， ∴△ABC≌△AFD（ASA）． 真题感知 3．（2025•苏州）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE． （1）求证：△DAC≌△ECB； （1）证明：∵CD∥BE， ∴∠DCA＝∠B， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝CBAB， 在△DAC和△ECB中， ， ∴△DAC≌△ECB（ASA）； 真题感知 4．（2025•云南）如图，AB与CD相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠D．求证：△AOC≌△BOD． 解：在△AOC和△BOD中， ∵ ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）． 知 识 总 结 （1）两个判定： 两角及其夹边相等 （ASA ）或两角及其中一角的对边相等 (AAS )的两个三角形全等. （2）重要关系： AAS 可通过三角形内角和定理转化为 ASA. 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 （1）转化思想： AAS → ASA（利用内角和定理）. （2）分类讨论： 对“两角及一边”分情形讨论： （3）操作验证： 画图—比较—归纳. （4）观察识别： 寻找隐含条件（公共边、公共角、对顶角等） 易 错 提 醒 课堂小结 （1）证明时对应关系错乱： 对应顶点没写在对应位置. （2）忽略隐含条件： 注意公共边、公共角、对顶角. （3）书写不规范，缺少逻辑链 ： 按“在△和△中→已知条件→全等结论”格式书写. 课后练习 1.图中的两个三角形全等吗？说明理由。 解:图中的两个三角形全等。 理由： 这两个三角形有两角分别相等，且其中一组等角的对边是公共边，一组对应边相等，符合“AAS”的判定条件，故两个三角形全等。 课后练习 2.图中的两个三角形有几对相等的角?这两个三角形全等吗?请说明理由。 解:有三对相等的角，这两个三角形全等。 理由： 这两个三角形的两角及其夹边分别相等(或两角和其中一组等角的对边分别相等)，所以这两个三角形全等。 课后练习 解:作法: (1)作角∠DAF= ∠α， (2)在射线 AF 上截取线段AB=a。 (3)以B 为顶点，以BA 为一边， 作角∠ABE=2∠α，BE交AD于点C。 △ABC 就是所要作的三角形(如图所示)。 3. 如图，已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使它的一个内角等于∠α，另外一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a。 课后练习 4.两个锐角分别相等的两个直角三角形全等吗? 为什么? 解:不一定全等。 理由: 如图。 △ABC 与△DEC 都是直角三角形， ∠C=90°，∠A= ∠EDC，∠B=∠DEC ， 很明显△ABC 与△DEC 并不全等。 课后练习 5.如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，∠B与∠D相等吗? 小丽的思考过程如下。 在△ABC和△ADE中， 因为AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE， 所以△ABC≌△ADE， 所以∠B=∠D。 请说明小丽每一步的理由。 解:第一步:根据三角形全等的判定条件“SAS”， 可以得到△ABC≌△ADE； 第二步:全等三角形的对应角相等。 谢谢聆听 $