1.3探索三角形全等的条件（第3课时）（教学课件）数学鲁教版五四制2024七年级上册

1.3探索三角形全等的条件(第三课时) 第一章 三角形 鲁教版2024（五四制）·七年级上册 “SAS”判定三角形全等 学 习 目 标 1 2 3 掌握“SAS”全等判定定理，能运用尺规准确作出满足条件的三角形。 通过作图探究理解“SAS”条件下三角形的唯一性，并能证明简单全等问题。 培养几何直观和逻辑推理能力，体会数学的严谨性与应用价值。 知识回顾 对应相等的两个三角形全等，简写为 . 1.三角形全等的条件1: . “边边边” 三边 “SSS” 2.三角形全等的条件2: . “角边角” 的两个三角形全等，简记为 . 的两个三角形全等. 简写 . 3.三角形全等的条件3: . “角角边” 两角分别相等且其中一组等角的对边相等 两角和它们的夹边对应相等 “ASA” “AAS” 新课引入 学校篮球架歪斜，需要重新安装一个三角形支架进行固定，已知之前三角形支架两边长度及两边夹角大小。 (2)如果给的角不是夹角，而是其中一个边的对角，情况会怎样？ 思考 （1）维修部门能做出完全相同的支架吗？ 新课引入 由前几节课我们知道，如果给出两个三角形三条相等边或者两角一边对应相等，那么两个三角形都全等。如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？ 每种情况下得到的三角形都是全等的吗？维修部门能做出完全相同的支架？现在，我们通过作图来探究这一问题 ` 两边及夹角 两边和其中一边的对角 合作探究 （1）两边及夹角（SAS） 如果“两边及一角”条件中的角是两边所夹的角，比如三角形的两边长为7cm和5cm，它们的夹角为40°，并用尺规作出这个三角形。 40° 5 cm 两个三角形完全重合，一定全等. 你作的三角形与同伴作的一样吗？ 7 cm 这是我 画的 40° 5 cm 7 cm 这是我 画的 新知讲授 三角形全等的条件(四):“边角边” 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 因为 AB = DE， 几何语言： 所以△ABC≌△DEF（SAS）. D E F A B C 在△ABC 和△DEF 中， BC = EF ∠B = ∠E 新知讲授 回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这个三角形”的方法和步骤. 如图，已知线段a，c，∠α,求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。 α a 1.作一条线段BC = a。 2.以 B 为顶点，BC 为一边，作 ∠DBC= ∠α 。 3.在射线 BD 上截取线段 BA = c； 4.连接 AC △ABC就是所要作的三角形。 c B C α D A a c 作法思路：固定边 构造角 截取边 连第三边。 典例分析 例1 如图，已知AB与CD相交于点O，OA = OB，OD = OC。△AOD与△BOC全等吗？请说明理由。 C B O D A 解：△AOD≌△BOC。理由如下： 在△AOD与△BOC中， 因为： OA = OB（已知）， ∠AOD = ∠BOC（对顶角相等）。 OD = OC（已知）， 根据SAS，所以△AOD≌△BOC。 利用对顶角相等得∠AOD=∠BOC，结合OA=OB、OD=OC，由SAS可证全等。 典例分析 例2 如图，小明想要测量池塘的长，池塘西边有一座水房，在的中点处有一棵百年古树，小明从出发，沿直线一直向前经过点走到点三点在同一条直线上），并使，然后他测得点与水房之间的距离是10米，求池塘的长 解∵为中点,∴, 在和中, ∵ （对顶角相等） ∴, ∴ 米, 答：池塘的长为米． 本题可以利用定理证明 ，根据全等三角形的性质可得解题即可． 合作探究 如果“两边及一角”条件中的角是两边和其中一边的对角，比如三角形的两边长为5cm和7cm， 边长5cm边的对角为40°，并用尺规作出这个三角形。 40° 这是我 画的 不一定全等 7 cm 这是我 画的 5 cm 5 cm 7 cm 40° 你作的三角形与同伴作的三角形全等吗？ 合作探究 已知△ABC的AB边和边长为l的AC边，以及AC边的对角∠B，你能用尺规确定顶点C的位置吗？把你作的三角形与同伴作的进行比较，由此你发现了什么？与同伴进行交流。 B △ABD和△ABC AB=AB AD=AC=l, ∠B=∠B, 但△ABC与△ABD不全等. 两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定全等 A D C 1.固定AB和∠B， 2.以A为圆心，半径l画弧，与∠B的另一边交于C、D两个点. 3.连接AC、AD l 归纳总结 注意 两边与其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 解题时要根据已知条件的情况来考虑，对于非特殊的三角形，只具备“SSA”条件时一般是不能判定三角形全等的． 1.“SSS”（边边边）三边对应相等。 2.“ASA”（角边角）两角及其夹边对应相等。 3.“AAS”（角角边）两角及其中一角的对边对应相等。 4.“SAS”（边角边）两边及其夹角对应相等。 目前已学习判定三角形全等的方法 归纳总结 知识卡片 基础等边 ①已知直接标注的等边.②公共边③等腰或等边三角形 。 2. 全等三角形的对应边 3. 特殊的图形（正方形、长方形等） 4.通过等量代换 ①等边的传递性.②比例关系转换 5.构造辅助线创造等边。 寻找等边的方法 随堂练习 A 本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 1．小亮设计了如下测量一池塘两端AB的距离的方案：先取一个可直接到达点A，B的点O，连接AO，BO，延长AO至点P，延长BO至点Q，使得OP=AO，OQ=BO，再测出PQ的长度，即可知道A，B之间的距离．他设计方案的理由是（　　） 解：在△OPQ和△OAB中， OP=AO∠POQ=∠AOBOQ=OB， ∴△OPQ≌△OAB(SAS)， ∴PQ=AB． A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 随堂练习 2．如图，已知∠1=∠2，∠C=∠B，则△ACD≌△ABD的依据是（    ） 解：在△ACD和△ABD中， ∵ ∠C=∠B, ∠1=∠2, AD=AD， ∴△ACD≌△ABD(AAS)． 故选：A． A．AAS B．ASA C．SSS D．SAS A 本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定 随堂练习 3．已知：如图，B，F，C，D在同一条直线上，∠ACB=∠EFD，BF=CD，AC=EF． 求证：∠B=∠D． 证明：∵BF=CD， ∴BF+FC=CD+FC，即BC=DF. 在△ABC与△EDF中， BC=DF ∠ACB=∠EFD AC=EF， ∴△ABC≌△EDF(SAS)， ∴∠B=∠D. 分析：先根据BF=CD得出BC=DF，再由“SAS”定理得出△ABC≌△EDF，由全等三角形的性质得出∠B=∠D，由此可得出结论． A B C D F E 随堂练习 4. 已知：如图，AB = AC，AD 是△ABC 的角平分线， 试说明：BD = CD. 解： 因为 AD 是△ABC 的角平分， 所以∠BAD =∠CAD. 在△ABD 和△ACD 中， AB = AC(已知)， ∠BAD =∠CAD（角平分线的性质） AD = AD (公共边) 所以△ABD≌△ACD (SAS). 所以 BD = CD. 先根据角平分线的性质求出角相等，再由“SAS”定理得出△ABC≌△ACD，由全等三角形的性质得出BD=CD，由此可得出结论． “SAS” （边角边） 作图 注意 1. “SAS”能证明三角形全等 2. “SSA”不一定证明三角形全等 探索三角形全等的条件（3） 条件：两边及其夹角对应相等 结论：两三角形全等 关键点：角必须是两边的夹角 已知两边及其夹角（“SAS”），可用尺规唯一作出三角形 课堂小结 感谢聆听! $$