1.1认识三角形（第2课时探索三角形三边的数量关系）（教学课件）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

该初中数学课件聚焦三角形的三边关系，涵盖按边分类及“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”定理。通过回顾三角形按角分类引入按边分类，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于采用“动手操作—归纳验证”探究模式，如用四组小棒实验发现三边关系，培养数学眼光中的几何直观与空间观念。结合分类讨论思想解决等腰三角形周长等问题，发展数学思维的推理意识，助力学生形成探究能力，也为教师提供系统教学资源。

【新教材】鲁教版五四制·七年级上册 第一章 三角形 1.1认识三角形 第2课时 三角形的三边关系 学 习 目 标 1 2 3 探索并掌握三角形三边关系定理——三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；能运用三边关系判断三条线段能否构成三角形；能利用三边关系解决简单的几何问题（如求第三边的取值范围）. 经历“动手操作—观察发现—归纳猜想—验证结论”的完整探究过程，体会从特殊到一般的归纳思想；通过对比分析，理解“两边之差小于第三边”与“两边之和大于第三边”的等价性. 在小组合作探究中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过发现三角形三边关系的对称美，感受数学的内在和谐；在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的信心. Q1. 什么是三角形？ 最基础的几何图形定义 Q2. 内角和是多少？ 一个非常重要的几何性质 Q3. 直角三角形的锐角关系 特殊三角形的角度特征 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，是几何中最基本的图形之一 三角形的三个内角之和恒定等于180°。这是进行角度计算和证明的核心依据。 直角三角形的两个锐角互为余角，即它们的度数之和一定等于 90°。 知识回顾 导入新课 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 除了按角分类，还有其他分类方法？ Q4. 按角如何分类？ 分为三类：锐角三角形(全锐角)、直角三角形(1个直角)、钝角三角形(1个钝角)。 新知探究 探究点1 三角形分类——按边分 议一议 （1）观察下图中的三角形，你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗? 三角形的三边 有的各不相等， 有的两边相等， 有的三边都相等. （2）有两边相等的三角形叫作什么三角形？ 等腰三角形. 新知探究 探究点1 三角形分类——按边分 议一议 （3）认识等腰三角形 Ａ C B 有两边相等的三角形叫作等腰三角形 📐 核心定义 🔍 各部分名称解析 腰：两条长度相等的边。 底边：第三条不相等的边。 顶角：两腰相交所成的夹角。 底角：腰与底边的两个夹角。 底边 腰 腰 顶角 底角 底角 （4）三边都相等的三角形叫什么三角形？它和等腰三角形之间什么关系？ 三边都相等的三角形叫作等边三角形。 等边三角形是一种特殊(腰与底边相等)的等腰三角形。 新知探究 探究点1 三角形分类——按边分 议一议 对三角形进行分类时，你是如何选择不同标准的? 按边分类 等腰三角形 三边都不相等的三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 三边都不相 等的三角形 ——按边分类 分类思想核心 分类的关键在于选择一个统一的标准，不能随意变更。 核心标准： “边长是否相等”。这决定了我们的分类结果。 💡 提示： 若更换标准，分类结果也会改变哦！ 在B点的小狗，为了尽快吃到C点的香肠，它选择B—C路线，而不选择B—A—C路线，难道小狗也懂数学？ C B A 新知探究 探究点2 哪条路最近？ 议一议 (1)如图，从Ｂ点到C点，可以走哪几条路线？哪条路线最短？为什么？ 新知探究 探究点2 哪条路最近？ 议一议 (2)如图，从Ｂ点到C点，可以走哪几条路线？哪条路线最短？为什么？ 路线1： B → C （直接走）; 路线2：B→Ａ→C（经过Ａ点） B→Ｄ→C（经过Ｄ点） 根据“两点之间，线段最短”，路线Ｂ→C最短. (3)在△ABC中，你能得到什么结论？ 根据“两点之间，线段最短”可得： AB + AC > BC 新知探究 探究点2 哪条路最近？ 做一做 小组合作 · 活动任务 领取实验材料 (共4组) ①组：3cm / 4cm / 5cm ②组：3cm / 3cm / 5cm ③组：2cm / 3cm / 5cm ④组：2cm / 3cm / 6cm 动手实践操作 尝试用每组的三根小棒首尾相连进行拼接，观察能否成功围成一个封闭的三角形。 活动1——摆三角形（小组合作）： 实验结果记录表 组别 小棒边长(cm) 能否围成 ① 3, 4, 5 ② 3, 3, 5 ③ 2, 3, 5 ④ 2, 3, 6 数据整理记录 能 能 不能 不能 观察•思考 探究点3 发现三角形三边的关系 议一议 当较小两边之和大于最大边时，能摆成三角形； 当较小两边之和等于或小于最大边时，不能摆成三角形. 能摆成三角形的三边，它们之间有什么关系？不能摆成三角形的三边，又有什么特征？ 实验结果记录表 组别 小棒边长(cm) 三边关系 ① 3, 4, 5 ② 3, 3, 5 ③ 2, 3, 5 ④ 2, 3, 6 3+4=7， 7 > 5 3+3=6 ，6 > 5 2+3=5， 5 = 5 2+3=5， 5 < 6 发现： 新知探究 探究点4 归纳定理——三角形三边关系 议一议 是否只需验证较小两边之和大于最大边，就能保证任意两边之和都大于第三边？ 如果a ≤ b ≤ c，且a + b>c，那么： A B C a b c 三角形的任意两边之和大于第三边。 a + c > b 一定成立 （因为a + c ≥ a + b > c ≥ b，且a + c > b显然） b + c > a 一定成立 （因为b + c ≥ a + b > c ≥ a，且b + c > a显然） 新知探究 议一议 是否只需验证较小两边之和大于最大边，就能保证任意两边之和都大于第三边？ A B C a b c 探究点4 归纳定理——三角形三边关系 如果a ≤ b ≤ c，且a + b>c，那么： a + b>c， |c – b| < a c + b>a， |a – c| < b a + c>b， |b – a| < c 三角形的任意两边之差小于第三边。 新知探究 探究点4 归纳定理——三角形三边关系 议一议 “两边之差小于第三边”与“两边之和大于第三边”有什么关系？ 两个结论，一个本质 💡 结论一：和的关系 三角形任意两边之和大于第三边。 这是三角形存在的最直观判定依据。 💡 结论二：差的关系 三角形任意两边之差小于第三边。这是由“和的关系”通过不等式变形直接推导而来的。 等价 技巧 A：快速判定三角形 无需检验所有组合，只需判断：最短两边之和 > 最长边。此方法能最高效地筛选出有效三角形。 技巧 B：求第三边取值范围 需同时结合两个结论： 两边之差 < 第三边 < 两边之和。这是解决此类取值问题的万能公式。 典例分析 例1：在△ABC中，AB=5cm，BC=8cm，求AC的取值范围. 解：由三角形三边数量关系得 AB+BC > AC， 即 5+8 > AC， ∴ AC < 13 ， ∵ BC-AB < AC， ∴ 8-5 < AC，得： AC > 3， 同理，AC+AB > BC，即AC+5 > 8， 得AC > 3，所以3cm < AC < 13cm. 归纳：三角形第三边的取值范围 ——大于两边之差，小于两边之和. 典例分析 例2.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗?为什么?用长度为13cm的木棒呢? 解：用长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8， 出现了两边之和小于第三边的情况， 所以它们不能摆成三角形. 用长度为13 cm的木棒时，由于5+8=13， 出现了两边之和等于第三边的情况， 所以它们也不能摆成三角形. 典例分析 例3：等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，求这个等腰三角形的周长. 解：若腰长为4cm，则三边为4，4，9 ， ∵4+4=8<9， ∴不能构成三角形，不合题意舍去. 若腰长为9cm，则三边为9，9，4 ， ∵9+4=13>9，能构成三角形. ∴ 周长=9+9+4=22cm. 新知巩固 1.一个三角形地两边长分别为3和5，第三边的长可以是8吗？可以是2吗？说说你的理由。 解:设第三边的长为x， 则 5-3<x<5+3，即 2<x<8， ∴第三边的长不可能是8， ∵另两边长度之和为8， ∴第三边的长度必须小于8，而不可能等于8; 第三边的长也不可能是2， ∵另两边长度之差为2， ∴第三边的长度必须大于2，而不能等于2. 新知巩固 2.在△ABC中，a=4，b=2，已知第三边c的长是偶数，求c的长。 解: 因为 a=4，b=2， 所以 2<c<6。 又因为 第三边 c 的长是偶数， 所以 c=4。 拓展提升 1.四条线段的长分别为2cm, 3cm, 4cm, 5cm，从中任取三条，能构成三角形的概率是多少？ 解:从4条线段中选3条，共有4种选法： 2，3，4：2+3=5>4，能构成； 2，3,5：2+3=5=5，不能构成（退化三角形）； 2，4，5：2+4=6>5，能构成； 3，4，5：3+4=7>5，能构成； 能构成三角形的有3种，概率 P（构成三角形） = . 真题感知 1．（2025•连云港）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 解： A、1+2＝3，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、2+3＞4，能构成三角形，故本选项符合题意； C、3+5＝8，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、5+4＜10，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B 真题感知 2．(2025霍山监测)在中，．若是整数，求的长． 解：在中， ， 即， 又∵是整数， ∴． 真题感知 3．（2025聊城校考）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米． (1)请用含m的式子表示第三条边长； (2)第一条边长能否为米？为什么？ （1）解：∵第二条边长为米， ∴米； ∴第三条边长为米； （2）解：不能， 因为当时，三边长分别为， 由于，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为米. 知 识 总 结 （1）三角形按边分类 不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形分为只有二边相等的等腰三角形和等边三角形. （2)三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边. （3）判断方法（优化） 只需计算较小两边之和，与最大边比较，第三边取值范围 |a-b| < c < a+b. 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 (1)归纳思想： 从具体实例中归纳出一般结论. (2)分类讨论思想： 等腰三角形问题中需要对腰的情况进行分类. (3)转化思想： 将几何问题转化为代数比较问题. (4)优化思想： 判断三角形存在性时，只需验证一种情况. 易 错 提 醒 课堂小结 (1)忽略“任意”： 只验证某两边之和大于第三边，忽视其他情况（但只要验证了最小两边之和大于最大边，其他情况自动成立）. (2)分类遗漏： 等腰三角形问题中，漏掉某种情况（如只考虑腰为4或只考虑腰为9）. (3)忘记检验： 求出边长后忘记用三边关系检验是否构成三角形. (4)取值范围遗漏： 求第三边范围时，只考虑“小于两边之和”，忽略“大于两边之差”. 课后练习 1.下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形吗?实际摆一摆，验证你的结论。 (1) 3cm，4cm，5cm； (2) 8cm，7cm，15 cm； (3) 13 cm，12 cm，20 cm； (4) 5cm，5cm，11cm。 判断技巧： 只需要验证 较短的两条边长度之和 > 最长边，即可组成三角形 解: (1)较短两边：3cm、4cm 3+4=7 cm，7>5 ✅ 能摆成三角形 （2）较短两边：7cm、8cm 7+8=15 cm,15=15 两边之和等于第三边，无法围成封闭三角形。不能摆成三角形 （3）较短两边：12cm、13cm 12+13=25 cm，25>20✅ 能摆成三角形 （4）较短两边：5cm、5cm 5+5=10 cm，10<11 两边之和小于最长边，无法首尾相接围成三角形。不能摆成三角形 课后练习 2.等腰三角形一边长 9 cm，另一边长 4 cm，它的第三边的长是多少?为什么? 解: 第三边的长是 9 cm。理由: 若腰长为 4 cm，则第三边的长为 4 cm， 此时三边长分别为9 cm，4 cm，4 cm。 因为4+4=8＜9，所以不能组成三角形。 若腰长为9 cm，则第三边的长为9 cm， 此时三边长分别为9 cm，4 cm，4 cm，符合题意。 综上所述，第三边的长是 9 cm。 课后练习 3. 小亮想用长度均为奇数(单位：cm)的三根小棒摆成一个三角形，其中两根小棒的长度分别为9cm 和3cm，第三根小棒的长度可以是多少厘米? 解:设第三根小棒的长度是 x cm， 则6＜x＜12。 因为 x 为奇数， 所以x = 7或9或11。 故第三根小棒的长度可以是 7 cm，9 cm，11 cm。 谢谢聆听 $